高中數(shù)學(xué)基本不等式解題技巧研究①

何麗梅

摘 要：新課改的快速推進(jìn)與持續(xù)深入，高考試題呈現(xiàn)出的靈活性不斷提高，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提出更為嚴(yán)格的標(biāo)準(zhǔn)。高考試卷對(duì)基本不等式的考點(diǎn)始終是學(xué)習(xí)的關(guān)鍵內(nèi)容，同樣成為學(xué)習(xí)階段交易產(chǎn)生錯(cuò)誤的環(huán)節(jié)，其解題方法較為靈活，學(xué)習(xí)掌握存在一定的難度，基于此，教師與學(xué)生務(wù)必加以高度重視，對(duì)不等式解題技巧做出深入分析研究，提高不等式解題正確率。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);基本不等式;解題技巧

前言：數(shù)學(xué)作為學(xué)生各個(gè)學(xué)習(xí)階段非常關(guān)鍵的基礎(chǔ)學(xué)科之一，存在相應(yīng)的規(guī)律性以及邏輯性?；静坏仁阶鳛楦咧袛?shù)學(xué)教育教學(xué)階段的關(guān)鍵內(nèi)容，在高考數(shù)學(xué)考試中占有相應(yīng)的比例。高中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)階段，如果對(duì)基本不等式解題技巧、方法與思路的學(xué)習(xí)與掌握存在不足，致使在解題過程中出現(xiàn)困難問題，使得解題速度無法有效提高?；诖耍咧袛?shù)學(xué)學(xué)教育教學(xué)階段，對(duì)基本不等式的學(xué)習(xí)，教師務(wù)必教授學(xué)生學(xué)習(xí)并掌握科學(xué)正確的解題技巧、方法與思路，從而提高基本不等式的教學(xué)效果。

一、反證法解不等式技巧

針對(duì)反證法來講，實(shí)質(zhì)主要為部分不等的正式，正面證明相對(duì)較難，因此可通過反向思考問題的角度進(jìn)行證明，即若對(duì)不等式A>B做出證明，可假設(shè)A≤B，通過題設(shè)與不同性質(zhì)，推斷獲得矛盾，以此得出A>B。若是需要證明不等式屬于否定命題或以及唯一命題或是存在特定的詞語情況下，可運(yùn)用反證法做出合理正確解答。運(yùn)用反證法對(duì)不等式做出正確合理的證明階段，務(wù)必需對(duì)命題結(jié)論相反的情況全部導(dǎo)出矛盾。針對(duì)幾何與不等式問題方面的解題，反證法的應(yīng)用較為普遍[1]。

比如，已知a+b+c>0，ab+bc+ca>0，abc>0，求證：a>0，b>0，c>0。解：假設(shè)a、b、c并非全部為正數(shù)，其中之上存在一個(gè)為非正數(shù)。假設(shè)a≤0，則分別對(duì)a=0以及a<0做出證明討論。若a=0的情況，則abc=0，同條件發(fā)生矛盾，因此該假設(shè)不成立。若a<0，通過abc>0能夠求得bc<0。同時(shí)由于a+b+c>0，因此得知b+c>-a>0，得知ab+bc+ac=a（b+c）+bc<0，同條件發(fā)生矛盾，所以，a<0不成立。通過上述證明得知，a>0，同理能夠求得b>0，c>0同樣成立，因此命題結(jié)論成立。針對(duì)此種類型題目來講，解題時(shí)從正面對(duì)做出證明存在一定的解題難度，通過采用反證法運(yùn)用反向思想做出解答，可以使解題的難度明顯降低，解題速度明顯提高，并確保解題正確率。

二、絕對(duì)值不等式解題技巧

絕對(duì)值不等式作為不等式考查的重點(diǎn)內(nèi)容，是存在一定難度的題型。對(duì)其作出解答時(shí)，針對(duì)不等式存在的式子，運(yùn)用同解原理將式子轉(zhuǎn)變成不等式組。通常來講，不等式組一般有一次或二次不等式構(gòu)成。針對(duì)超過兩個(gè)絕對(duì)值構(gòu)成的不等式，可分別假設(shè)絕對(duì)值式子等于零的情況，分別求出未知數(shù)值，然后將不等式內(nèi)等于零的情況下求得的未知數(shù)值在數(shù)軸做出準(zhǔn)確標(biāo)注，并對(duì)數(shù)軸內(nèi)等于零的點(diǎn)做出畫線，最終準(zhǔn)確寫出相同的區(qū)域，以此做出正確解答[2]。

比如，A：|y-1|<5，B：（y+3）（y+b）<0，如果A是B的充分不必要條件，求解b的具體取值范圍？正確的解題過程為：通過|y-1|<5，可知-46，故a<-6。

三、換元法解不等式技巧

針對(duì)換元法來講，實(shí)質(zhì)主要為在對(duì)基本不等式做出解答階段，對(duì)相對(duì)復(fù)雜或反復(fù)出現(xiàn)的式子，通過數(shù)學(xué)符號(hào)或變量的方法將其做出有效替換，并帶入替換到原式，可以使原始得到有效的簡(jiǎn)化，使題目復(fù)雜程度降低，便于做出解答。換元法通常存在三角代換法以及增量換元法。針對(duì)三角代換法來講，通常在不等式證明的應(yīng)用較多，題目條件相對(duì)較為復(fù)雜的情況下，單個(gè)變量無法通過其他變量做出有效替換表示，則可以運(yùn)用三角代換，對(duì)兩個(gè)變量全部使用相同參數(shù)做出表示。該種方法若運(yùn)用合理，能夠使三角同代數(shù)之間做出緊密聯(lián)系，使復(fù)雜代數(shù)問題通過三角問題進(jìn)行求解證明;針對(duì)增量換元法來講，對(duì)稱式與未知數(shù)順序已知的不等式，可運(yùn)用增強(qiáng)法作出換元，主要是運(yùn)用換元實(shí)現(xiàn)減元的下過，將問題變得簡(jiǎn)單化。三角換元中，因?yàn)橐阎獥l件存在約束，對(duì)引入角產(chǎn)生相應(yīng)的約束，務(wù)必加以關(guān)注與重視。不然可能引起錯(cuò)誤的解題證明。這也成為換元法使用過程中關(guān)注的知識(shí)點(diǎn)，同時(shí)需重視整體思想的科學(xué)應(yīng)用。

結(jié)論：綜上所述，高中數(shù)學(xué)教育教學(xué)階段，基本不等式屬于十分關(guān)鍵的學(xué)習(xí)內(nèi)容，同樣也是考試中較易丟分的關(guān)鍵考點(diǎn)?；诖?，學(xué)生需從根本思想意識(shí)方面對(duì)基本不等式做出重新認(rèn)識(shí)，并對(duì)不等式解題階段問題的產(chǎn)生原因做出分析與總結(jié)，對(duì)基本不等式解題技巧、方法與思路做出學(xué)習(xí)與掌握，增強(qiáng)對(duì)基本不等式的學(xué)習(xí)與理解，提高解題速度，從而使學(xué)習(xí)成績(jī)達(dá)到增加。

參考文獻(xiàn)：

[1]徐勤政.高中數(shù)學(xué)基本不等式的學(xué)習(xí)技巧[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2018（19）：131.

[2]李王梅.高中數(shù)學(xué)不等式解題技巧初探[J].中華少年，2018（17）.