具非均勻剪切項的耦合振子系統(tǒng)的同步分析

李娜 劉輝昭

摘要 討論了具非均勻剪切項的全局耦合相位振子系統(tǒng)由非同步狀態(tài)向同步狀態(tài)轉(zhuǎn)變的動力學(xué)問題，其中剪切項的強(qiáng)度服從洛倫茲分布。利用改進(jìn)的Kuramoto模型，通過運(yùn)用OA約化方法，得到了相位振子系統(tǒng)的約化方程，進(jìn)而利用微分方程的穩(wěn)定性理論，得到了系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)差閾值，這里得到標(biāo)準(zhǔn)差閾值方法與現(xiàn)有文獻(xiàn)中通過構(gòu)造擬設(shè)的方法所求得標(biāo)準(zhǔn)差閾值方法更為一般，此外還通過作出約化方程的波形圖、相圖以及序參量隨時間變化的圖像來進(jìn)一步驗證所得結(jié)果。當(dāng)剪切強(qiáng)度標(biāo)準(zhǔn)差超過該閾值時，系統(tǒng)在任意耦合強(qiáng)度下不可能同步，當(dāng)剪切強(qiáng)度標(biāo)準(zhǔn)差小于該閾值時，系統(tǒng)在耦合強(qiáng)度超過某一定值時會產(chǎn)生同步。這與在無剪切項作用下，系統(tǒng)可以通過調(diào)整耦合強(qiáng)度最終達(dá)到同步狀態(tài)的結(jié)果不同，說明了剪切項對耦合相位振子系統(tǒng)具有重要的影響。

關(guān) 鍵 詞 耦合振子系統(tǒng)；Kuramoto模型；剪切項；標(biāo)準(zhǔn)差閾值；同步

中圖分類號 O29 文獻(xiàn)標(biāo)志碼 A

同步現(xiàn)象涉及物理、生物、化學(xué)等自然科學(xué)、工程學(xué)甚至社會科學(xué)等許多領(lǐng)域[1-6]。該類問題最早是由惠更斯于1673年發(fā)現(xiàn)2個相鄰的鐘擺出現(xiàn)同步擺動而引發(fā)學(xué)者廣泛關(guān)注。1955年，Wiener[7]開始在數(shù)學(xué)上來研究含大量耦合振子的系統(tǒng)同步現(xiàn)象。1967年Winfree[8]利用平均場理論給出了簡化的耦合振子摸型。1975年，Kuramoto[9]在Winfree的研究基礎(chǔ)上提出了如式（1）的全局耦合相位振子平均場模型：

[θi（t）=ωi+KNj=1Nsin（θj（t）-θi（t）），i=1，2，...，N，] （1）

式中：[θi]為第[i]個振子的相位；[ωi]為第[i]個振子的滿足一定分布的固有頻率；[N]為系統(tǒng)總振子數(shù)目；[K]為耦合強(qiáng)度。

為了刻畫系統(tǒng)中振子相位的有序程度，通常引入如式（2）的復(fù)序參量：

[r（t）=R（t）eiψ（t）=N-1k=1Neiθk（t）]， （2）

來描述系統(tǒng)的有序程度，式中：[ψ（t）]為系統(tǒng)中所有振子的平均相位；[R（t）]表示系統(tǒng)中所有振子的平均振幅。文獻(xiàn)[10]指出，當(dāng)系統(tǒng)達(dá)到完全同步時，即[θi（t）=θj（t），?i，j=1，2，...，N]，此時[r（t）=1]；而當(dāng)振子之間相位沒有固定關(guān)系時（非同步），在[N→∞]時，[r（t）=0]，因此序參量可以描述振子系統(tǒng)有序程度。

Kuramoto[11]利用平均場理論得到[r（t）]的自洽方程，進(jìn)而得到如下的結(jié)論：當(dāng)耦合強(qiáng)度從零增加至某一定值[K0]時，序參量會經(jīng)歷從零到非零轉(zhuǎn)變，相應(yīng)的系統(tǒng)隨著耦合強(qiáng)度的增加由非同步狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)橥綘顟B(tài)。

近年來關(guān)于耦合振子系統(tǒng)的同步研究持續(xù)增多，Tanaka等考慮了系統(tǒng)中有阻尼作用的情況[12-13]，在原模型中添加了慣性項，發(fā)現(xiàn)在具有阻尼作用下系統(tǒng)出現(xiàn)不連續(xù)的相變和滯后現(xiàn)象，與實驗結(jié)果相吻合。文獻(xiàn)[14]研究了振子系統(tǒng)在單向最近鄰耦合項作用下的情況，利用改進(jìn)簡化的Kuramoto相位模型，發(fā)現(xiàn)振子數(shù)在小于臨界值時系統(tǒng)只出現(xiàn)同步狀態(tài)或者非同步狀態(tài)，不會出現(xiàn)部分同步狀態(tài)，而當(dāng)振子數(shù)目大于該臨界值時，系統(tǒng)呈現(xiàn)規(guī)律的同步狀態(tài)與非同步狀態(tài)共存的現(xiàn)象，并且對系統(tǒng)中出現(xiàn)的部分同步狀態(tài)規(guī)律及其穩(wěn)定性進(jìn)行了理論分析，得到了部分同步狀態(tài)的漸近穩(wěn)定解。文獻(xiàn)[15]討論了耦合振子系統(tǒng)在具全局耦合作用的網(wǎng)絡(luò)上，分別在有噪聲和無噪聲的情況下的同步現(xiàn)象，并且得到了相應(yīng)的振子系統(tǒng)平均場的振幅與頻率的顯式解。

剪切項是振子振動出現(xiàn)復(fù)雜行為的非常關(guān)鍵的非線性成分[9]，亦是振子系統(tǒng)重要的組成成分，剪切項對耦合振子系統(tǒng)的作用卻是不可忽視的，但在耦合振子系統(tǒng)中關(guān)于剪切項的研究是稀缺的，所以對具剪切項的耦合振子系統(tǒng)的研究是非常有必要的。在剪切項固定（為常數(shù)）時，文獻(xiàn)[17]通過對實際的耦合納米機(jī)械振子組成的耦合振子系統(tǒng)的研究，得到系統(tǒng)達(dá)到同步（鎖相）狀態(tài)的邊界解，并得到系統(tǒng)從非同步態(tài)向同步狀態(tài)轉(zhuǎn)化的結(jié)果。

文獻(xiàn)[18]通過OA流形理論，并利用構(gòu)造擬設(shè)的方法研究了耦合相位振子在非均勻剪切項的作用下振子族之間的同步動力學(xué)，得到了臨界耦合強(qiáng)度與剪切強(qiáng)度的關(guān)系式，并說明了剪切項的標(biāo)準(zhǔn)差可能阻礙系統(tǒng)同步的發(fā)生。

本文主要研究振子之間的非均勻剪切項在服從指定分布時，對耦合振子系統(tǒng)的動力學(xué)行為的影響，利用OA流形約化方法以及微分方程定性理論，發(fā)現(xiàn)了在非均勻剪切項作用下，剪切項的標(biāo)準(zhǔn)差對耦合振子系統(tǒng)的同步行為有重要的影響，在超過剪切項標(biāo)準(zhǔn)差的閾值時，會阻止系統(tǒng)中振子同步行為的發(fā)生，耦合振子系統(tǒng)處于穩(wěn)定的非同步狀態(tài)。

本文中根據(jù)經(jīng)典的Kuramoto相位模型考慮具非均勻剪切項的全局耦合相位振子系統(tǒng)，系統(tǒng)描述如下[9]，其中振子i所受系統(tǒng)內(nèi)其他振子的非均勻剪切項表示為[qi]：

[θi（t）=ωi+Kqi+KNj=1N[sin（θj（t）-θi（t））-qicos（θj（t）-θi（t））]，i=1，2，...，N]。 （3）

1 理論分析

在系統(tǒng)式（3）中引入復(fù)序參量[r（t）]可得

[θi（t）=ωi+Kqi+KR（t）[sin（ψ（t）-θi（t））-qicos（ψ（t）-θi（t））]]。 （4）

考慮系統(tǒng)在[N→∞]的熱力學(xué)極限情況下，[N]個耦合振子的運(yùn)動由如下的方程描述[19]：

[θ=v（θ，t）]。 （5）

本文中所考慮的具剪切項的耦合振子系統(tǒng)式（3）中的速度項[v（θ，t）]為

[v（θ，t）=ω+Kq+K2i（r（t）e-iθ（1-iq）-r*（t）eiθ（1+iq））]。 （6）

引入相位的概率密度函數(shù)[fθ，ω，q，t][20]，則[fθ，ω，q，tdθdωdq]表示振子相位處于[θ]到[θ+dθ]，固有頻率處于[ω]到[ω+dω]，剪切強(qiáng)度處于[q]到[q+dq]之間的振子比率。

[r（t）]是序參量在[t]時刻的值，可以用來刻畫耦合系統(tǒng)在[t]時刻的狀態(tài)，[r*（t）]表示[r（t）]的共軛

[r（t）=-∞∞-∞∞02πf（θ，ω，q，t）eiθdθdωdq]， （7）

由不存在擴(kuò)散項的Feynman-Kac公式，得到系統(tǒng)式（5）等價于不帶擴(kuò)散項的Fokker-Planck方程，即連續(xù)方程

[??tf+??θ（vf）=0]。 （8）

由上述討論可得密度函數(shù)[fθ，ω，q，t]服從連續(xù)方程

[??tf+??θ（{ω+Kq+K2i[r（t）e-iθ（1-iq）-c.c.]}f）=0]， （9）

式中，c.c.代表前一項[r（t）e-iθ（1-iq）]的復(fù)共軛量。

由于密度函數(shù)[fθ，ω，q，t]是實的且其中[θ]以[2π]為周期的，可將[fθ，ω，q，t]以傅里葉展開式展開，得到

[fθ，ω，q，t=p（ω，q）2πl(wèi)=-∞∞fl（ω，q，t）eilθ]， （10）

式中：[fl=f*-l]；[f0=1]；且[p（ω，q）]是固有頻率[ω]和剪切強(qiáng)度[q]的聯(lián)合概率密度函數(shù)。密度函數(shù)[fθ，ω，q，t]的傅里葉展開式的第1項決定了序參量因而十分重要。

[r*（t）=-∞∞-∞∞p（ω，q）f1（ω，q，t）dωdq]。 （11）

將傅里葉展開式（10）代入到連續(xù)性方程（9）中可得到

[??tf+il（ω+Kq）fl-Kl2[r*（t）（1+iq）fl-1-r（t）（1-iq）fl+1]=0]， （12）

由Ott和Antonsen發(fā)現(xiàn)下列擬設(shè)是Kuramoto模型帶有固有頻率分布系統(tǒng)式（3）的一個特殊解[21]

[fl（ω，q，t）=a（ω，q，t）l]。 （13）

由OA流形約化理論[21]，在此處借助于上面得到的積分微分方程（7）、（12），將[a（ω，q，t）]代入到方程（7）、（12）中得到

[?a（ω，q，t）?t+i（ω+kq）a（ω，q，t）+k2[r（t）（1-iq）a（ω，q，t）2-r*（t）（1+iq）]=0]。 （14）

在上述討論中假設(shè)固有頻率[ω]與剪切強(qiáng)度[q]是彼此相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，即有[p（ω，q，t）=g（ω）h（q）]，在本文中取固有頻率[ω]與剪切強(qiáng)度[q]分別具有如下的服從洛倫茲分布的概率密度函數(shù)：

[g（ω）=δπ（ω-ω0）2+δ2，h（q）=γπ（q-q0）2+γ2，] （15）

式中：[ω0]為固有頻率的均值；[δ]為固有頻率的標(biāo)準(zhǔn)差；[q0]為剪切強(qiáng)度的均值；[γ]為剪切強(qiáng)度標(biāo)準(zhǔn)差。因而[δ]以及[γ]均不小于0，即[δ≥0]和[γ≥0]。

在系統(tǒng)中的振子的固有頻率[ω]以及剪切項的強(qiáng)度[q]分別服從的洛倫茲分布式（15）可以化為下列形式：

[g（ω）=12πi（1ω-ω0-iδ-1ω-ω0+iδ） ，h（q）=12πi（1q-q0-iγ-1q-q0+iγ） 。] （16）

再者，[a（ω，q，t）]在選取適當(dāng)?shù)腫ω]復(fù)平面上是解析延拓的[22]，那么方程（11）可以通過在復(fù)[ω]平面的下半平面上作一無窮大的圍道，利用留數(shù)定理可計算出關(guān)于固有頻率[ω]的極點[ωp=ω0-iδ]的積分值

[r（t）=-∞∞a*（ωp，q，t）h（q）dq]。 （17）

同樣的選取適當(dāng)?shù)腫q]復(fù)平面，使[a（ωp，q，t）]在[q]復(fù)平面上是的解析延拓的，在[q]復(fù)平面的下半平面上利用留數(shù)定理計算出關(guān)于剪切項強(qiáng)度的極點[qp=q-iγ]的積分

[r（t）=a*（ωp，qp，t）]。 （18）

令式（18）中[ωp=ω0-iδ] ，[qp=q0-iγ]，并將得到結(jié)果代入式（14）中，可以得到具剪切項的耦合振子系統(tǒng)的約化方程

[r*（t）=-i（ω0-iδ+K（q0-iγ））r*（t）+K2{r*（t）[1+i（q0-iγ）]-r（t）[1-i（q0-iγ）]r*（t）2}]。 （19）

在接下來的討論中，不妨考慮振子之間的耦合強(qiáng)度[K>0]。為了使對復(fù)序參量[r（t）]討論更簡便直觀，令[r*（t）=x（t）+iy（t）]代入式（19）中可得

[x（t）+iy（t）=-（ω0-iδ+K（q0-iγ））（ix（t）-y（t））+K2{x（t）-（q0-iγ）y（t）+i[（q0-iγ）x（t）+y（t）]-]

[[x（t）-（q0-iγ）y（t）]（x2（t）-y2（t））-i[x（t）-（q0-iγ）y（t）]2x（t）y（t）+]

[i[（q0-iγ）x（t）+y（t）]（x2（t）-y2（t））-[（q0-iγ）x（t）+y（t）]2x（t）y（t）}。] （20）

分離式（20）的實虛部得到

[x（t）=-（δ+K2（γ-1））x（t）+（ω0+K2q0）y（t）+K2（γ-1）x3（t）-K2q0y3（t）-K2（1-γ）x（t）y2（t）-K2q0x2（t）y（t） ，y（t）=-（ω0+K2q0）x（t）-（δ+K2（γ-1））y（t）+K2q0x3（t）+K2（γ-1）y3（t）+K2q0x（t）y2（t）+K2（γ-1）x2（t）y（t） 。] （21）

微分方程組（21）就是以復(fù)序參量為變量式（19）的等價方程，亦是具剪切項的耦合振子系統(tǒng)式（3）的約化系統(tǒng)。通過研究等價方程組（21）的動力學(xué)，進(jìn)而研究復(fù)序參量的演化，最終可以得到有關(guān)具剪切項的耦合振子系統(tǒng)式（3）的有關(guān)同步狀態(tài)和非同步狀態(tài)的動力學(xué)。

顯然，（0， 0）是微分方程組（21）的平衡點。

再者令

[Φ（x，y）=K2（γ-1）x3（t）-K2q0y3（t）-K2（1-γ）x（t）y2（t）-K2q0x2（t）y（t） ，Ψ（x，y）=K2q0x3（t）+K2（γ-1）y3（t）+K2q0x（t）y2（t）-K2（1-γ）x2（t）y（t） 。] （22）

在（0， 0）鄰域內(nèi)，[Φ（x，y），Ψ（x，y）]對[x，y]連續(xù)可微，且[Φ（0，0）=Ψ（0，0）=0]，則方程（21）在平衡點（0， 0）處可以得到如下線性近似系統(tǒng)：

[x（t）=-（δ+K2（γ-1））x（t）+（ω0+K2q0）y（t） ，y（t）=-（ω0+K2q0）x（t）-（δ+K2（γ-1））y（t） 。] （23）

線性近似系統(tǒng)式（23）在（0， 0）處行列式為

[I0，0=-（δ+K2（γ-1））-（ω0+K2q0）ω0+K2q0-（δ+K2（γ-1））]。 （24）

可得到特征方程為

[（λ+δ+K2（γ-1））2+（ω0+K2q0）2=0]。 （25）

從而系統(tǒng)式（23）在（0， 0）點對應(yīng)的特征值為

[λ1，2=-δ+K2（1-γ）±i（ω0+K2q0）]。

當(dāng)[Re（λ1，2）<0]時，即[γ>1-2δK]時，[（0，0）]點是線性近似系統(tǒng)式（23）的穩(wěn)定的平衡點，由于[（0，0）]是原系統(tǒng)式（21）的雙曲平衡點[23]，[Φ（x，y），Ψ（x，y）]在原點鄰域內(nèi)對[x，y]連續(xù)可微，且[Φ（x，y），Ψ（x，y）=o（r），][r→0（r=x2+y2）]，因此[（0，0）]亦是原系統(tǒng)式（21）的穩(wěn)定的平衡點。

當(dāng)[Re（λ1，2）=0]，即[γ=1-2δK]時，對原系統(tǒng)式（21）進(jìn)行極坐標(biāo)變換化為

[r=K（γ-1）2r3 ，θ=-ω0+Kq02（r2-1） 。] （26）

對式（26）積分后可得到解為

[r=±1-K（γ-1）t-C1 ，θ=-（ω0+Kq02）t-lntC1K（γ-1）+C2 ，] （27）

式（27）中[C1，C2]為任意常數(shù)。由此可見，當(dāng)[t→+∞]時，此時剪切強(qiáng)度標(biāo)準(zhǔn)差需滿足[γ<1]以保證[r]有意義，[r→0，θ→+∞]，因此[（0，0）]是系統(tǒng)式（21）穩(wěn)定的焦點。

當(dāng)[Re（λ1，2）>0]，即[γ>1-2δK]時， 顯然[（0，0）]在線性近似系統(tǒng)式（23）中是不穩(wěn)定的，從而在系統(tǒng)式（21）中[（0，0）]是不穩(wěn)定的。

通過以上分析，以及微分方程的定性理論[23]，對于系統(tǒng)式（21）的平衡點[（0，0）]有如下的結(jié)論：當(dāng)[γ≤1-2δK]時，[（0，0）]是系統(tǒng)式（21）不穩(wěn)定的平衡點；而當(dāng) [γ>1-2δK]時，[（0，0）]是系統(tǒng)式（21）穩(wěn)定的平衡點。

最后，由前面復(fù)序參量的定義式（2）以及[r*（t）=x（t）+iy（t）]可知，在[（0，0）]點處，此時[x（t）=0，y（t）=0]，相應(yīng)的復(fù)序參量的模[r（t）=0]，對應(yīng)的耦合振子系統(tǒng)處于非同步狀態(tài)。

根據(jù)以上分析可以得到，當(dāng)[γ≤1-2δK]時，具剪切項的耦合振子系統(tǒng)處于不穩(wěn)定的非同步狀態(tài)，耦合振子系統(tǒng)可能會發(fā)生向同步狀態(tài)的轉(zhuǎn)化；當(dāng)[γ>1-2δK] 時，耦合振子系統(tǒng)處于穩(wěn)定的非同步狀態(tài)，此時具剪切項的耦合振子系統(tǒng)在剪切項的作用下振子不能達(dá)到同步狀態(tài)。故而具剪切項的耦合振子系統(tǒng)的剪切項的強(qiáng)度的標(biāo)準(zhǔn)差的臨界值為[γc=1-2δK]。

下面，通過數(shù)值模擬來進(jìn)一步驗證本文中得到的結(jié)論。

2 數(shù)值模擬

對系統(tǒng)式（21）進(jìn)行分析，選取參數(shù)值：[K=2，q0=0.5，ω0=3，δ=0.1]。利用上文理論分析可知剪切強(qiáng)度的標(biāo)準(zhǔn)差臨界值[γc=1-2δK=1-0.1=0.9]。下面通過MATLAB作出系統(tǒng)式（21）的波形圖與相圖，來說明剪切項強(qiáng)度的標(biāo)準(zhǔn)差[γ]對耦合振子系統(tǒng)同步狀態(tài)的影響，得到與上文分析的結(jié)果是相一致。

通過選取不同的剪切強(qiáng)度的標(biāo)準(zhǔn)差[γ]來對比剪切強(qiáng)度標(biāo)準(zhǔn)差對耦合振子系統(tǒng)的同步狀態(tài)與非同步狀態(tài)的穩(wěn)定性的影響。分別取[γ=0]，[γ=0.85]，[γ=0.90]，[γ=0.95]得到結(jié)果如圖1～圖6。

根據(jù)前面參數(shù)選擇可知曉[γc=1-2δK=0.9]，分別取[γ]的值為0，0.85，0.90，0.95，作出系統(tǒng)式（21）的波形圖、相圖以及復(fù)序參量的模值隨時間變化圖。從圖1可以觀察到，當(dāng)[γ=0]時，此時系統(tǒng)中的剪切項的強(qiáng)度固定（[q]為常數(shù)），系統(tǒng)式（21）平衡點（0， 0）是不穩(wěn)定且有周期解產(chǎn)生，相對應(yīng)的是系統(tǒng)式（19）處于部分同步狀態(tài)，再者由圖2序參量的的變化趨勢是在較短的時間內(nèi)從0向1趨近，可知耦合振子系統(tǒng)從非同步態(tài)迅速地轉(zhuǎn)化為穩(wěn)定的同步態(tài)；隨著[γ]從0增大到0.85，此時[γ<γc]，由圖3可觀察到系統(tǒng)式（21）的平衡點是不穩(wěn)定的，系統(tǒng)中的周期解個數(shù)逐漸增多，相應(yīng)的系統(tǒng)式（19）處于穩(wěn)定的部分同步狀態(tài)，由圖4可知序參量的模值[r（t）]也是從零逐漸趨于某一常數(shù)（大于零），與圖2相比，在相同的耦合強(qiáng)度的作用下，[γ=0]時序參量[r（t）]在8秒內(nèi)達(dá)到穩(wěn)定值0.97，而在[γ=0.85]時，序參量[r（t）]在約在100秒達(dá)到定值0.56，說明隨著耦合振子系統(tǒng)內(nèi)剪切強(qiáng)度的標(biāo)準(zhǔn)差的增大，耦合振子系統(tǒng)能夠達(dá)到穩(wěn)定的同步狀態(tài)或部分同步狀態(tài)所需時間逐漸增加，系統(tǒng)中振子能達(dá)到的同步的比例是逐漸減小的。當(dāng)[γ]增大至0.90時，此時[γ=γc]，由圖5可知系統(tǒng)式（21）的平衡點是不穩(wěn)定的，系統(tǒng)中周期解的個數(shù)逐漸的減少到1個，由圖6序參量的值[r（t）]接近于0，從0.012逐漸減小到0，說明在此剪切強(qiáng)度標(biāo)準(zhǔn)差作用下，耦合振子系統(tǒng)由不穩(wěn)定的非同步狀態(tài)向穩(wěn)定的非同步態(tài)轉(zhuǎn)變；當(dāng)[γ]達(dá)到0.95時，即此時[γ>γc]，圖7可觀察到系統(tǒng)式（21）的平衡點是漸近穩(wěn)定的，圖8中序參量[r（t）]接近于1，且在一段時間內(nèi)能較快速地趨于0，即對應(yīng)的振子系統(tǒng)較快的達(dá)到穩(wěn)定的非同步狀態(tài)。由以上分析，可以說明在耦合強(qiáng)度一定時，剪切強(qiáng)度的標(biāo)準(zhǔn)差[γ]從零增大到[1-2δK]，耦合振子系統(tǒng)是處于同步或部分同步的狀態(tài)，但超過該值時，耦合振子系統(tǒng)處于非同步狀態(tài)，以上分析結(jié)果與前文中結(jié)論相一致。

本節(jié)中對具服從指定分布函數(shù)剪切項的耦合振子系統(tǒng)應(yīng)用Matlab做出數(shù)值模擬結(jié)果，選取適當(dāng)?shù)膮?shù)值分別畫出了系統(tǒng)的波形圖與相圖，研究剪切項標(biāo)準(zhǔn)差對耦合振子系統(tǒng)同步狀態(tài)的影響，發(fā)現(xiàn)能較好的說明之前得到的關(guān)于具剪切項耦合陣子系統(tǒng)的剪切項強(qiáng)度標(biāo)準(zhǔn)差對系統(tǒng)同步有極大的影響，驗證了存在剪切項的臨界標(biāo)準(zhǔn)差，當(dāng)耦合振子系統(tǒng)在超過這一臨界值時，系統(tǒng)就不能達(dá)到同步狀態(tài)。并且也作出復(fù)序參量在一定的剪切項標(biāo)準(zhǔn)差下隨時間變化趨勢的圖像，進(jìn)一步說明了在剪切強(qiáng)度的標(biāo)準(zhǔn)差超過臨界值時，耦合振子系統(tǒng)在非均勻剪切項作用下不能達(dá)到同步狀態(tài)。

3 結(jié)論

本文利用改進(jìn)的Kuramoto模型研究了具非均勻剪切項對全局耦合相位振子系統(tǒng)同步行為的影響以及作用，通過引入序參量來描述系統(tǒng)的同步（有序）程度，得到關(guān)于序參量的微分方程組。通過對該方程組的穩(wěn)定性分析，得到了系統(tǒng)穩(wěn)定性與剪切強(qiáng)度標(biāo)準(zhǔn)差的關(guān)系，從而揭示了具剪切項Kuramoto系統(tǒng)的剪切強(qiáng)度對系統(tǒng)同步的影響。利用數(shù)值模擬，進(jìn)一步證明了剪切強(qiáng)度的標(biāo)準(zhǔn)差在較大時會阻止耦合振子系統(tǒng)的同步，使耦合振子系統(tǒng)在充分大的耦合強(qiáng)度作用下保持非同步狀態(tài)。本文方法更具一般性.本文研究的是具剪切項的全局耦合的Kuramoto模型，而在耦合結(jié)構(gòu)不同時，例如局部耦合結(jié)構(gòu)下，具剪切項的振子系統(tǒng)的同步動力學(xué)行為以及剪切項對耦合振子系統(tǒng)同步的影響等將在今后工作中深入研究。

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[責(zé)任編輯 楊 屹]