挖掘隱含圖形條件，強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合思想

馬玉紅

一、問題的提出

聚焦高考，歷年來解析幾何都是高考考查的重要內(nèi)容，因此，也是高考命題的重點(diǎn)、熱點(diǎn)?？陀^題以中、低檔題為主，主觀題以中、高檔題為主，難度較大。一般學(xué)生都感覺計算量大且復(fù)雜，費(fèi)時費(fèi)力卻不易得出結(jié)果。

究其原因，解析幾何是建立在坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上，用坐標(biāo)表示點(diǎn)，用方程表示曲線，通過代數(shù)運(yùn)算處理幾何問題的一門學(xué)科。基本思想就是通過坐標(biāo)將幾何圖形轉(zhuǎn)化為方程，通過對方程的研究達(dá)到研究幾何圖形性質(zhì)的目的，坐標(biāo)法將形與數(shù)統(tǒng)一起來，從而達(dá)到定性定量的研究。但是一味強(qiáng)調(diào)解析幾何中的定量計算，有時會導(dǎo)致大量的繁瑣解題過程，學(xué)生在進(jìn)行大量的計算以后而得不出結(jié)果。如果在進(jìn)行計算的同時恰當(dāng)?shù)貞?yīng)用平面幾何的一些相關(guān)知識，則可以往往產(chǎn)生一些意想不到的效果。

如2013年江蘇高考數(shù)學(xué)第17題第（2）問：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（0，3），直線I：y=2x-4。設(shè)圓的半徑為1，圓心在l上。若圓C上存在點(diǎn)M，使MA=2MO，求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍。

本題第（2）問中，如果先利用幾何條件MA=2MO得出點(diǎn)M的軌跡是圓P，由題意得同時點(diǎn)M在圓C上，則問題轉(zhuǎn)化為圓與圓有公共點(diǎn)，即轉(zhuǎn)化為為兩圓的位置關(guān)系，利用圓心距和半徑列出不等式就可求出答案。而部分學(xué)生設(shè)P點(diǎn)利用方程組恒有解，則計算繁難，不易得出結(jié)果。

這道題在用解析幾何方法解題時，如果充分結(jié)合圓的有關(guān)幾何知識則問題馬上解決，且計算比較簡單。

本文試著探索平面幾何與解析幾何之間的依存關(guān)系。如何將兩種幾何存在的客觀事實由幾何問題向代數(shù)問題轉(zhuǎn)化，實現(xiàn)形與數(shù)的高度統(tǒng)一，又結(jié)合幾何性質(zhì)約束簡化代數(shù)計算問題，以“圓”為例加以分析說明。

二、具體的做法

（一）抓住變形方程代表特定曲線挖掘幾何圖形

解析幾何主要運(yùn)用代數(shù)方法解決幾何問題，反之，如代數(shù)問題解決困難時，也可以用幾何問題處理。如：若直線y=x+b與曲線y=3- 有公共點(diǎn)，則b的取值范圍為____。本題若用代數(shù)方法處理x+b=3- 在x∈[0，4]有解的話，需要分類討論，運(yùn)算量較大，不易解出正確答案。如細(xì)心觀察，善于挖掘，不難發(fā)現(xiàn)曲線y=3- 是以（2，3）為圓心，2為半徑的圓的下半圓，轉(zhuǎn)化為直線與半圓有公共點(diǎn)問題，得到b∈[-1-2 ]

（二）從題目蘊(yùn)涵幾何定義挖掘幾何圖形

幾何定義是解析幾何的基礎(chǔ)，對學(xué)生來說尤為重要，但學(xué)生在學(xué)習(xí)時不善于把握定義，不能準(zhǔn)確給出定義，做題目時就發(fā)現(xiàn)不了幾何圖形。如：若圓（x-2）2+y2=1上存在兩個點(diǎn)P，O，它們到直線y=kx+1的距離都等于1，則實數(shù)k的取值范圍為____。如對平面幾何知識掌握的比較好，善于發(fā)現(xiàn)，會得到到直線距離等于1的點(diǎn)，在與這條直線距離為1的兩條平行線上，題目轉(zhuǎn)化為兩直線與圓有兩個公共點(diǎn)問題。如：若與點(diǎn)A（2，2）距離為1，且與點(diǎn)B（m，0）距離為3的直線恰有兩條，則m的取值范圍是____。本題結(jié)合圓的定義，借助兩圓公切線問題轉(zhuǎn)化為兩圓的位置關(guān)系，用圓心距和半徑比較，圖形語言向代數(shù)語言轉(zhuǎn)化即可得到結(jié)果。如：已知圓C：（x-a）2+（y-a）2=9，在圓C上總存在兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離等于1，則實數(shù)a的取值范圍是____。如能發(fā)現(xiàn)到原點(diǎn)的距離等于1的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓O，題目就轉(zhuǎn)化為圓O與圓C相交，列出2

（三）從圖形中挖掘滿足幾何性質(zhì)的幾何圖形

解析幾何雖然提倡用代數(shù)方法解題，但屬于幾何范疇，如把握好幾何圖形及性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合，會更有效解決問題。

如：定理：已知圓C中弦AB的中點(diǎn)為M，則CM垂直平分AB即CM⊥AB，AM=BM利用該定理，構(gòu)造直角三角形，可以解決一類軌跡方程問題，減少大量的代數(shù)計算。

如：已知圓C：x2+y2=a2，點(diǎn)A為圓內(nèi)任一點(diǎn)，過點(diǎn)A作互相垂直的兩條射線分別交圓C于P，Q，以AP，AQ為邊作矩形APDQ，則點(diǎn)D的軌跡是什么？

此題可設(shè)AC=b，作CE⊥DP交DP于E，AQ于F，作CG⊥AP令

所以點(diǎn)D的軌跡是以C為圓心， 為半徑的圓。

應(yīng)用1：已知圓O：x2+y2=16內(nèi)的一點(diǎn)M（1，2）過M作互相垂直的兩條射線分別交圓于P，O，兩點(diǎn)，且 = + ，求 的范圍。

由問題1結(jié)論得D的軌跡是以O(shè)為圓心， = 為半徑的圓，即圓D：x2+y2=27，而 的范圍轉(zhuǎn)化為圓D上任一點(diǎn)與定點(diǎn)M間兩點(diǎn)間距離的取值范圍，所以3 -OM≤MD≤OM+3 即 ∈[3 - ，3 + ]若問題延伸為兩個同心圓問題，則可得如下結(jié)論：

如圖，已知小圓半徑為R1，大圓半徑為R2，過定點(diǎn)A作互相垂直的兩條射線分別交小圓，大圓于P，Q兩點(diǎn)，則矩形APDQ的頂點(diǎn)D的軌跡是以O(shè)為圓心，半徑為 的圓。

應(yīng)用2：已知兩圓x2+y2=4，x2+y2=16，M（1，0），過點(diǎn)M作MP⊥MQ分別與兩圓交于P，Q兩點(diǎn)，求PQ的取值范圍。由上述結(jié)論，得矩形MPDQ的頂點(diǎn)D的軌跡是以O(shè)為圓心， = 為半徑的圓，即x2+y2=19，所以MD的范圍是[ -1， +1]

解析幾何雖然注重用代數(shù)方法處理幾何問題，但過于繁雜也不是考查的要點(diǎn)，不能過于強(qiáng)調(diào)死算，處理解析幾何的有關(guān)問題時，要善于挖掘圖形中所隱含的幾何因素，利用有關(guān)的平面幾何知識使解題過程變得簡潔優(yōu)美。

（責(zé)編 田彩霞）