切比雪夫逼近在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

王浩

摘要：函數(shù)不等式是高中數(shù)學(xué)中的重要題型，其解法五花八門(mén)。我們強(qiáng)調(diào)通性通法，從而達(dá)到事半功倍的效果。本文利用切比雪夫逼近理論對(duì)一類帶絕對(duì)值的含參函數(shù)的最值問(wèn)題進(jìn)行探究。

關(guān)鍵詞：切比雪夫逼近;最小偏差;最值

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1003-2177（2019）20-0088-02

1 背景

函數(shù)構(gòu)造論是數(shù)學(xué)分析的一個(gè)分支，起源于數(shù)學(xué)家切比雪夫的偉大工作：內(nèi)插理論，機(jī)械求積，矩量問(wèn)題。它所研究的是利用簡(jiǎn)單的分析工具來(lái)研究近似表達(dá)任意函數(shù)的問(wèn)題。在函數(shù)的一致逼近理論中，我們遇到過(guò)一種問(wèn)題：能不能用多項(xiàng)式去逼近一個(gè)任意給定的函數(shù)，并且具備已給定的精度。1885年 Weierstrass第一定理給我們指出，閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)可以用多項(xiàng)式來(lái)表示并具有預(yù)先給定的精度。 然而， 這樣給出的多項(xiàng)式次數(shù)可能很高。自然要問(wèn)：如果預(yù)先對(duì)多項(xiàng)式的次數(shù)進(jìn)行限制，那么能達(dá)到什么樣的精度？這就是切比雪夫逼近。在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中，我們會(huì)經(jīng)常遇到一類帶絕對(duì)值的含參函數(shù)f（x）-Ax-B求最大值的最小值問(wèn)題，其本質(zhì)是用直線y=Ax+B對(duì)函數(shù)f（x）進(jìn)行切比雪夫逼近， 即求f（x）的一次最小偏差多項(xiàng)式。

2 切比雪夫逼近理論簡(jiǎn)介

我們用H表示一次多項(xiàng)式的集合， C[a，b]表示閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)函數(shù)的集合。

定義：（1）設(shè)f（x）為[a，b]中的任一函數(shù)， P（x）∈H， 令?（P）=max|P（x）-f（x）|， 稱?（P）為多項(xiàng)式P（x）和f（x）的偏差， 稱E（f）=inf{?（P）}為H中多項(xiàng)式與f（x）的最小偏差， 或H中多項(xiàng)式對(duì)f（x）的最佳逼近。

（2）若x0∈[a，b]，使得P（x0）-f（x0）=E（f），則x0稱為（+）點(diǎn)，若P（x0）-f（x0）=-E（f）， 則x0稱為（-）點(diǎn)。

定理1：f（x）∈C[a，b]，P（x）∈H使得?（P）=E（f）。

定理2：（+）與（-）都存在。

定理3： f（x）∈C[a，b]，H中只存在一個(gè)最小偏差多項(xiàng)式。

定理4：f（x）∈C[a，b]，Q（x）∈H，令M=max|Q（x）-f（x）|，若存在a≤x1

定理5：若函數(shù)f（x）在閉區(qū)間上有不變號(hào)的二階導(dǎo)數(shù)，則f（x）的最佳逼近直線為：

g（x）=k（x-）+，其中k=，

c由f'（c）=k確定。

幾何意義：g（x）實(shí)際上就是函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]的極值點(diǎn)和函數(shù)f（x）圖像的兩個(gè)端點(diǎn)連成的兩條線段的中點(diǎn)所在的直線。

3 解題應(yīng)用

例題1：g（x）=∣-ax-b∣，a，b，∈R，x∈[0，4]

求{g（x）max}min。

解析：令g（x）=，則f（x）在閉區(qū)間[0，4]上的最佳逼近直線為g（x）=x+

由幾何意義得到E（f）=

所以{g（x）max}min=E（f）=。

例題2：f（x）=|x2+ax+b|，x∈[-1，1]，f（x）max=，求2a-3b的值。

解析：令f（x）=x2，則f（x）在閉區(qū)間上的最佳逼近直線為g（x）=，由幾何意義得到E（f）=

所以a=0，b=，2a-3b=-。

例題3：f（x）=|x3-ax-b|，x∈[-1，1]，f（x）的最大值為M[a，b]，求M[a，b]的最小值。

解析：令p（x）=x3，pn（x）=6x，由于pn（x）二階導(dǎo)數(shù)在區(qū)間[-1，1]上變號(hào)，因此不能直接利用定理5的結(jié)果，我們考慮一次最佳逼近的幾何意義， 發(fā)現(xiàn)最佳逼近直線就是兩條夾逼區(qū)間內(nèi)圖像的直線的中線。

如圖1所示，分別過(guò)圖形的兩個(gè)端點(diǎn)A，C求出切線，易得切線分別為：3x-4y+1=0，3x-4y-1=0。所以最佳逼近直線為3x-4y=0。

M[a，b]的最小值為 。

例題4：已知f（x）=acosx-4cosx3，若對(duì)任意的x∈R，都有|f（x）|≤1，求a的值。

解析：令cosx=t∈[-1，1]，則函數(shù)f（x）=at-4t3， 類似于例題3，可以求出最佳逼近直線為y=3t， 所以a=3。

4 思考與感悟

函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的主要模型，函數(shù)的變化特征反應(yīng)了自然規(guī)律的變化特征。研究函數(shù)就是要研究數(shù)量之間的相互關(guān)系。函數(shù)的內(nèi)容豐富，我們可以從不同的角度研究，比如單調(diào)性、奇偶性、周期性。函數(shù)題目靈活多變，主要考察學(xué)生對(duì)性質(zhì)的整體把控，以及對(duì)性質(zhì)的進(jìn)一步研究。本文通過(guò)對(duì)利用切比雪夫一次逼近解題的研究，筆者得到一些啟發(fā)。對(duì)于求最大值的最小值問(wèn)題我們可以從切比雪夫逼近的角度挖掘問(wèn)題的本質(zhì)，關(guān)注幾何和代數(shù)的聯(lián)系，轉(zhuǎn)化其中解題的通性通法。通過(guò)對(duì)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化、變換，可以激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性。高考數(shù)學(xué)突出考察學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，而這其中多學(xué)生的基本思想考察尤為重視。轉(zhuǎn)化思想、數(shù)學(xué)結(jié)合的思想在考題中都有很充分的體現(xiàn)。我們要教會(huì)學(xué)生從“形”和“數(shù)”兩方面來(lái)思考問(wèn)題。數(shù)學(xué)教學(xué)的核心是要突出主體性和思維性。學(xué)生的思維廣度和深度的提高、解題能力的提升、對(duì)于數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)的加深都是自身逐步內(nèi)化的過(guò)程。我們?cè)诮虒W(xué)過(guò)程中既要精準(zhǔn)施教也要注意培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)一步探究的能力。

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（編輯：楊梅）