基于壓縮感知的MIMO-OFDM信道估計中的導頻設計方案

周煜澄 何雪云 梁 彥

（南京郵電大學通信與信息工程學院，南京，210003）

引 言

多輸入多輸出-正交頻分復用(Multiple input multiple output-orthogonal frequency division multiplexing，MIMO-OFDM)能有效地抵抗無線傳輸系統(tǒng)中的多徑效應，并提高頻譜利用率。而信道估計作為MIMO-OFDM通信系統(tǒng)的關鍵技術之一，也受到了廣泛的研究。近年來新興的稀疏信道估計也被稱為壓縮信道感知，利用無線信道的稀疏性，將壓縮感知(Compressed sensing,CS)技術[1-3]應用到信道估計中。與傳統(tǒng)的最小二乘(Least squares,LS)和最小均方誤差(Minimum mean square error,MMSE)信道估計方法相比，壓縮感知技術能有效減少導頻開銷，并且提高頻譜利用率和信道估計的精度[4-6]。目前，正交匹配追蹤(Orthogonal matching pursuit,OMP)，壓縮采樣匹配追蹤(Compressive sampling matching pursuit,CoSaMP)以及基追蹤(Basis pursuit,BP)等算法已被應用到OFDM系統(tǒng)的稀疏信道估計中，相比LS和MMSE取得了更優(yōu)的信道估計性能[7-9]。

在傳統(tǒng)的信道估計中，導頻符號均勻放置在OFDM系統(tǒng)的子載波上通常是最優(yōu)的，然而在基于壓縮感知的信道估計中，該結論并不成立，其導頻符號和導頻位置的設計方法與傳統(tǒng)的信道估計不同。文獻[10]提出的隨機序貫搜索(Stochastic sequential search，SSS)算法用于解決基于壓縮感知的OFDM信道估計中的導頻優(yōu)化[11]問題，考慮以最小化觀測矩陣的互相關為目標進行優(yōu)化，通過改變外循環(huán)和內循環(huán)次數(shù)，對導頻序列的每個位置進行替換和優(yōu)化操作，并將此算法拓展到MIMO系統(tǒng)中，提出兩種導頻優(yōu)化方案。然而，此方案在天線數(shù)增加后無法保證每個天線都能獲得滿意的導頻設計。本文結合文獻[10]提出的基于遺傳算法和移位機制的導頻分配理論，對SSS算法進行改進，提出隨機搜索移位(Stochastic sequential search-shift mechanism，SSS-SM)算法。仿真結果表明，在相同條件下，同SSS算法相比，SSS-SM算法能以更低的算法復雜度獲得更優(yōu)的導頻位置設計，該設計可以使得信道估計性能更優(yōu)。

1 系統(tǒng)模型

對于一個MIMO-OFDM系統(tǒng)，定義Nu為發(fā)射天線數(shù)，Nv為接收天線數(shù)。假設一個OFDM系統(tǒng)具有N個子載波，其中Np個導頻子載波用于頻域導頻輔助信道估計，假定則=表示第i根發(fā)射天線的導頻圖案。為不失一般性，假設假設對于i≠l，p(i)∩p(l)=? ，即不同發(fā)射天線的導頻圖案相互正交，因此，接收機可以對來自每個發(fā)射天線的信道執(zhí)行獨立的稀疏信道估計。這樣的信道可以建模為一個有限脈沖響應（Finite impulse response，F(xiàn)IR）濾波器

式中：L表示信道抽頭的總數(shù)，αiu,iv(l)表示第l個信道抽頭的復增益。對于稀疏度為K的信號而言，向量只有K個非零元素且K?L。則第iv根接收天線上獲得的接收信號可以表示為

為保證每對接收與發(fā)射天線之間較好的信道估計性能，當?shù)趇根發(fā)射天線發(fā)送導頻時，其他發(fā)射天線將不會向任何用戶發(fā)送數(shù)據(jù)或導頻，即x()=0(n=1,…,Np；1≤i,j≤Nu；i≠j)。則第iu根發(fā)射天線和第iv根接收天線之間的導頻圖案可以表示為

式中：Siu∈CNp×N是從一個N×N的單位矩陣中抽取行號為導頻位置索引的Np行得到的，為一個選擇矩陣，它可以從一個N維向量中選取與導頻位置相對的元素。同時由于等式成立，于是式（3）可以改寫為

然而，由于更關注Np＜L的情形，在此情形下可以節(jié)約更多的導頻從而提高數(shù)據(jù)傳輸速率。實際上，由于采樣周期通常遠小于信道時延擴展，hiu,iv的大部分都是零或者接近零，即hiu,iv為一個稀疏向量。在此先驗條件下，可以使用比未知信道系數(shù)更少的導頻，即Np＜L，并且通過CS算法來估計hiu,iv。大量研究已經證明在信道估計中CS算法性能優(yōu)于LS算法[12]。然而,在基于壓縮感知的信道估計中,導頻設計問題與傳統(tǒng)信道估計中的方法并不相同,需要專門研究。

2 導頻優(yōu)化

2.1 OFDM信道估計中的導頻優(yōu)化準則

在單天線的OFDM系統(tǒng)中，發(fā)射天線數(shù)Nu和接收天線數(shù)Nv皆為1，可將式（7）簡化為

式中：r為接收導頻符號構成的向量，Np×1維；A=XF，X為由發(fā)送導頻構成的對角陣，Np×Np維；F為一個Np×L維的傅里葉子矩陣；h為等效的離散信道沖擊響應，L×1維；η表示OFDM子載波上的加性高斯白噪聲，Np×1維。

CS研究的最新進展表明，在無噪條件下，當測量矩陣A滿足有限等距性（Restricted isometry property，RIP）[13-14]時，利用測量矩陣r能以很高概率重建h。然而，目前沒有方法可以從多項式復雜度上檢驗一個給定矩陣是否滿足RIP。另外，根據(jù)文獻[15]，可以最小化A的相關性，即互不相干特性（Mutual incoherence property，MIP）。MIP條件更強于RIP，因為MIP滿足RIP，反過來卻不一定[16]。此外，MIP比RIP更加直觀，更加實際。因此，本文將MIP作為導頻設計準則。

在OFDM系統(tǒng)中，對于給定的導頻圖案p={p1,p2,…,pNp}，其中1≤p1≤p2≤ … ≤pNp≤N，定義A的相關性為A的任意不同兩列之間的最大絕對相關，即

對于導頻圖案p，此目標函數(shù)用于最小化A的相關性，即

求解式（7）中的最優(yōu)問題，即最優(yōu)導頻圖案，可以表示成

假設所有OFDM導頻符號的傳輸功率相同，即

2.2 OFDM信道估計中基于SSS算法的導頻優(yōu)化方案

直觀地說，通過窮舉搜索所有可能導頻圖案的方法，可以獲得最小MIP的最優(yōu)導頻圖案。然而當N和Np不是很小時，很難通過計算搜索所有（N，Np）個候選集,因為該搜索空間非常龐大。顯然，由于要占用大量的計算資源，窮舉搜索對于未來的節(jié)能無線系統(tǒng)來說并不是一個好的選擇[17]。

針對任意給定的（N，Np）的組合以及L的值，文獻[10]提出了一種導頻優(yōu)化方案SSS。這是一種基于隨機搜索的導頻優(yōu)化方案，通過兩層迭代循環(huán)來搜索次最優(yōu)的導頻圖案。首先確定外循環(huán)和內循環(huán)的最大迭代次數(shù)，即M1和M2。

在每次外循環(huán)的迭代中，隨機生成一個導頻圖案p?N={1,…,N}作為內循環(huán)的初始化。在內循環(huán)的每次迭代中，根據(jù)以下步驟對p的每個位置進行有順序的更新。

在k=1,…,Np次循環(huán)中，對于從上一次迭代中獲得的最新p，以最小化MIP為準則從序列N{p(i)|i=1,…,Np,i≠k}選取一個最佳位置來更新p的第k個位置。經過第k個位置更新的結果導頻圖案p^在數(shù)學上可以表示為

在求出之后，令p=。對于外循環(huán)的每個初始導頻圖案，最終得到一個相應的導頻圖案。在M1次外循環(huán)中，得到M1個最優(yōu)結果，并從中選取MIP最小的一個作為最終結果輸出。

2.3 MIMO-OFDM信道估計中的導頻優(yōu)化方案

2.3.1 基于ES2算法的導頻優(yōu)化方案

文獻[10]將SSS算法擴展到MIMO系統(tǒng)中進行改進，提出了一種通過聯(lián)合設計以達到一定公平性的改進算法ES2。為不失一般性，為Nu根發(fā)射天線設計Nu個正交導頻圖案，表示為

在w的定義中存在著一種隱式順序，即p(i)={w((i-1)Np+1),…,w(iNp)}。然而，每個特定的p(i)中位置的順序并不重要。于是，把此聯(lián)合導頻設計的目標函數(shù)定義為Nu個導頻圖案的加權和相關，表示為

式中：bi為第i根傳輸天線的權重。此聯(lián)合設計方案的目的就是尋找最小的目標函數(shù)值w，可表示為

ES2算法由1個外循環(huán)和兩個內循環(huán)組成。令M1，M2和M3分別表示外循環(huán)次數(shù)、第1個內循環(huán)次數(shù)以及第2個內循環(huán)的次數(shù)。ES2的具體算法如算法1所示。

算法1基于SSS的MIMO聯(lián)合導頻優(yōu)化算法（ES2）

步驟 1初始化階段：M1為外循環(huán)次數(shù)，M2為第1個內循環(huán)次數(shù)，M3=NpNu為第2個內循環(huán)次數(shù)。D=0M1×M3用于存放導頻序列，v=0M1用于存放D中的導頻序列對應的ζ(w)。

步驟2迭代循環(huán)階段：

(1)外循環(huán)階段：在每次外循環(huán)l中，從子載波集合c中隨機選取M3個元素，構成導頻序列w，=。跳轉至(2)內循環(huán)階段。w存放至D的第l行，并將w對應的ζ(w)存放至v的第l個元素位置。

(2)內循環(huán)階段：

①SSS步驟：在每次內循環(huán)中，若w與相同，跳出內循環(huán)；否則進行逐位優(yōu)化(對于w的每個導頻位置索引m=1,2,…,M3,保持w中除了第m個元素以外的其他M3-1個元素不變，對w的第m個導頻索引位置選取優(yōu)元素，具體方法與SSS相同，計算ζ(w)的最小值ζ(w*)以及對應的w*，w=w*。)。將w的每一個元素賦值給，跳轉至①排列步驟。

②排列步驟：對于每一次內循環(huán)，若w與相同，跳出內循環(huán)；否則進行排序優(yōu)化(對于w的每一個位置m=1,2,…,M3，依次交換第m個元素位置與其他天線上的每個元素位置，并計算目標函數(shù)ζ(w)，從中選出最小值ζ()以及對應的，w=。)。將w的每一個元素賦值給w^。

步驟3結果輸出階段：從v的所有M1個元素中選出最小值，輸出矩陣D中對應的導頻序列，即為導頻優(yōu)化結果。

2.3.2 基于改進的SSS-SM算法的導頻優(yōu)化算法

基于SSS的ES2算法將導頻優(yōu)化問題轉化為求解最小目標函數(shù)的問題，通過多層迭代循環(huán)來搜索次最優(yōu)的導頻圖案，相對于窮舉算法而言節(jié)約了大量的計算資源。然而，多層嵌套的循環(huán)搜索對于計算資源有限的無線通信系統(tǒng)仍是巨大的負擔，并且ES2排列步驟中交換w序列位置的方法無法保證每根傳輸天線都能獲得最優(yōu)的導頻圖案。

本文結合文獻[18]提出了移位機制理論，并對SSS算法進行改進，提出了SSS-SM算法。移位機制能夠使所有導頻位置集合具有盡可能小且全部相同的互相關值。下面將對移位機制進行詳細介紹。

定理1將第1根發(fā)射天線的導頻圖案Λ1={y1,y2,…,yP}作為核心導頻圖案，元素排列順序為升序，若其他發(fā)射天線上的導頻圖案滿足Λiu={y1+iu-1,y2+iu-1,…,yP+iu-1},iu=2,…,Nu。那么所有導頻位置集合Λiu,iu=1,2,…,Nu將有相同的互相關值，即μiu=μ1,iu=2,…,Nu。

定理1的證明參見文獻[19]。結合以上的移位機制理論，提出了SSS-SM算法。SSS-SM主要思想為首先通過SSS算法搜索出滿足最小MIP的最優(yōu)導頻圖案p，并將p作為第1根發(fā)射天線的導頻圖案，其余發(fā)射天線的導頻圖案皆為p的移位，即p(i)={+i-1,+i-1,…,+i-1}，i=1,…,Nu。導頻集合即為Nu根發(fā)射天線的最優(yōu)導頻圖案。SSS-SM的具體算法如算法2所示。

算法 2隨機搜索-移位算法（SSS-SM）

步驟 1初始化階段：發(fā)射天線數(shù)Nu，外循環(huán)次數(shù)M1，內循環(huán)次數(shù)M2，D=0M1×Np用于存放導頻序列，r=0M1用于存放D中M1種導頻序列對應的g(p)。

步驟2循環(huán)迭代階段：

(1)外循環(huán)階段：在每次外循環(huán)中，從子載波集合N中隨機選取Np個元素，構成導頻序列p=0Np。跳轉至(2)內循環(huán)階段。p存放至D的第l行，并將p對應的g(p)存放至r的第l個元素位置。

(2)內循環(huán)階段：在每次內循環(huán)中，若p與相同，跳出內循環(huán)；否則跳轉至 (3)逐位優(yōu)化階段。=p。

(3)逐位優(yōu)化階段：對于p={p(1),p(2),…,p(k-1),p(k),p(k+1),…,p(Np)}的每個導頻位置索引k=1,2,…,Np，保持除第k個元素以外的k-1個元素不變，候選集為Λ=N{p(i)|i=1,…,Np,i≠k}，每一次將Λ的每個元素放到第k個位置上，計算g(p)的最小值g(p*)以及對應的，令p=。如果相鄰導頻位置間隔小于Nu，則跳出此循環(huán)。

步驟3結果輸出階段：從r的所有M1個元素中選出最小值，將矩陣D中對應的導頻作為第1根發(fā)射天線的導頻p(1)，其他發(fā)射天線的導頻皆為p(1)的移位，即p(i)={+i-1,+i-1,…,+i-1},i=2,…,Nu。最后輸出結果導頻圖案

在SSS-SM中，將MIMO系統(tǒng)中搜索多發(fā)射天線最優(yōu)導頻圖案的問題等效為使用SSS求單根天線的最優(yōu)導頻問題，此方案既保證了每根發(fā)射天線都滿足最小的MIP，又節(jié)省了大量的計算時間和計算資源。

2.3.3 ES2算法與SSS-SM算法復雜度分析

從算法復雜度來比較，兩種算法中主要的計算量皆為計算目標函數(shù)值部分，ES2的目標函數(shù)為ζ(w)，而SSS-SM的目標函數(shù)為g(p)，由式（12）可知，ζ(w)為Nu個g(p)的加權和，于是通過統(tǒng)計兩種算法計算目標函數(shù)g(p)的次數(shù)來估算算法復雜度。ES2算法計算g(p)的次數(shù)為：M1×M2×Np××N；SSS-SM算法計算g(p)的次數(shù)為：M1×M2×Np×(N-Np+1)，由于Np?N，則可以近似為M1×M2×Np×N。通過此方法估計的算法復雜度，ES2約為SSS-SM的倍，因此，隨著發(fā)射天線數(shù)的增加，ES2計算目標函數(shù)的次數(shù)也在增加，在發(fā)射天線越多的情形下，占用的計算資源也越多；而SSS-SM由于只需要優(yōu)化第1根發(fā)射天線，所以其計算目標函數(shù)的次數(shù)與發(fā)射天線數(shù)無關，可以很好地適應MIMO-OFDM系統(tǒng)。

3 仿真分析

3.1 重建性能的比較

對于一個MIMO-OFDM系統(tǒng)，假設子載波數(shù)目N=512，最大時延對應的抽樣時間倍數(shù)L=50，信道稀疏度K=6,每根發(fā)射天線的導頻數(shù)Np=24，Nu為發(fā)射天線數(shù)，Nv為接收天線數(shù)，外循環(huán)次數(shù)M1=200，內循環(huán)次數(shù)M2=100。使用SSS-SM和ES2進行導頻優(yōu)化，將生成的導頻應用于系統(tǒng)并使用OMP算法進行信道估計，通過信道估計的均方誤差（Mean square error，MSE）來比較兩種算法獲得的導頻性能的優(yōu)劣。很明顯，好的導頻將使得信道估計的MSE更小。在發(fā)射天線數(shù)Nu=4時，使用以上兩種算法獲得的導頻對應的信道估計MSE如圖1所示。在0～5 dB的低信噪比情況下，SSS-SM的MSE比ES2高約0.6 dB；而隨著信噪比的提升，SSS-SM的MSE下降更快。圖1中出現(xiàn)MSE的交點說明同ES2算法相比，由SSS-SM算法獲得的導頻在高信噪比的條件下更容易獲得較低的MSE。將發(fā)射天線數(shù)Nu增加至8，如圖2所示，低信噪比情況下，兩者幾乎相等；隨著信噪比的增加，SSS-SM的MSE下降更為明顯，SNR為35 dB時，相比ES2的MSE低約5.5 dB?？梢钥闯?，兩種算法性能比較接近，隨著天線數(shù)的增加，SSS-SM獲得的導頻更具優(yōu)勢。

圖1 Nu=4時SSS-SM和ES2的MSE比較Fig.1 Comparison of MSE between SSS-SM and ES2 with Nu=4

圖2 Nu=8時SSS-SM和ES2的MSE比較Fig.2 Comparison of MSE between SSS-SM and ES2 with Nu=8

3.2 算法復雜度比較

本文通過研究算法復雜度來比較兩種算法的性能。通過統(tǒng)計計算目標函數(shù)g(p)的次數(shù)來比較兩種算法的算法復雜度。外循環(huán)和內循環(huán)次數(shù)分別為M1=200和M2=100，在發(fā)射天線數(shù)Nu=4和8時，SSS-SM和ES2計算目標函數(shù)的次數(shù)如表1中所示。從表1中可以看出，Nu=4時，ES2計算目標函數(shù)的次數(shù)是SSS-SM的16.8倍左右，Nu=8時約為67倍。

表1 ES2和SSS-SM算法復雜度比較Tab.1 Comparison of algorithm complexity between ES2 and SSS-SM

綜合以上兩點可以得出結論，SSS-SM能以更少的計算復雜度獲得與ES2性能相似的導頻圖案設計。因為將兩種算法獲得的導頻應用到系統(tǒng)中，比較它們各自的信道估計性能發(fā)現(xiàn)，二者信道估計性能比較接近；在多天線高信噪比情況下，SSSSM的MSE比ES2平均低約3～5 dB，表明SSS-SM算法獲得的導頻在多天線高信噪比條件下能取得更優(yōu)的信道估計性能。

4 結束語

本文首先研究了基于壓縮感知的OFDM系統(tǒng)的導頻優(yōu)化問題，將信道估計問題轉化為壓縮感知理論中的稀疏信號重建問題，將最小化測量矩陣的互相關作為導頻優(yōu)化的目標，并將此思想擴展到MIMO-OFDM系統(tǒng)中。著重介紹了已有的SSS及ES2兩種算法，并針對其優(yōu)缺點進行改進，結合移位機制提出了SSS-SM算法。仿真結果表明，SSS-SM算法相較于ES2具有更低的算法復雜度，可以節(jié)約大量計算時間并達到與ES2相近的導頻優(yōu)化性能；并且隨著發(fā)射天線數(shù)增加，在高信噪比情形下，SSSSM的MSE比ES2平均低約3～5 dB。這表明對于計算資源極其有限的MIMO-OFDM系統(tǒng)，SSS-SM算法具有更大的優(yōu)勢與發(fā)展前景。