一類偏微分算子組廣義次譜的顯式上界

黃振明

（蘇州市職業(yè)大學(xué) 數(shù)理部，江蘇 蘇州 215104）

近數(shù)十年來，眾多學(xué)者根據(jù)微分算子的特征值理論，采用變分法、有限元法、逐次逼近法和Galerkin法等各種方法，對微分算子或算子組的特征值進行估計或近似計算，取得了不少進展，其中文獻[1]作者討論了下列著名的Buckling問題

其中Ω?Rm（m≥2）是一個邊界逐片光滑的區(qū)域，n是邊界?Ω的單位外法向量，并得到了用問題(1)前n個特征值來估計第n+1個特征值的一個較復(fù)雜的隱式不等式[1]，在此基礎(chǔ)上，進一步考慮下列微分算子組低階特征值估計問題

其中X=（x1，x2，…，xm），為推導(dǎo)方便，記二維函數(shù)列向量其中二階算子矩陣，A（Δ）＝▽和Δ分別是Nabla算子和Laplace算子，算子▽或Δ等作用在向量上表示其作用在向量的各分量上，例則可將問題(2)寫成如下等價的矩陣形式：

1 預(yù)備知識與引理

特征值又稱離散譜，根據(jù)算子譜理論知[2]，問題(3)具有正的離散譜，設(shè)其主次譜分別為λ1和λ2（λ1≤λ2），λ1對應(yīng)的特征向量為且滿足

問題(3)中微分算子組，經(jīng)分部積分可得

選取連續(xù)的測試向量函數(shù)φk=xku（k=1,2,…,m），并進行恰當?shù)淖鴺俗儞Q，使得

根據(jù)φk的定義和式(6)，計算得

由此可知φk與u廣義正交，且滿足齊次邊界條件于是，由Rayleigh定理知問題(3)的次譜λ2滿足下列不等式

根據(jù)問題(3)，經(jīng)計算可得

利用式(7)和(12)有

引理1設(shè)u是問題(3)對應(yīng)主譜λ1的特征向量，ν1和ν2分別是u的第一和第二分量，則

證明(a)利用分部積分、問題(3)的邊界條件、Schwarz不等式、式(4)和(5)，有

同樣，利用式(4)、分部積分、Schwarz不等式、(5)和(14)，有

化簡即得引理1(a)。

(b)類似地，利用分部積分、算子的運算性質(zhì)，有

于是，可得

利用分部積分、式(15)和(4)，有

即得引理1(b)。

引理2設(shè)u是問題(3)對應(yīng)主譜λ1的特征向量，則u的第二分量ν2滿足

證明利用分部積分、算子Δ的運算性質(zhì)，并注意到問題(3)的齊次邊界條件，有

從而由式(16)和(14)，有

即為引理2。

引理3對本文定義的I和J，有如下估計

證明 (a)利用分部積分，有

再由引理1(a)得

即為引理3(a)。

(b)將φk的定義代入J中，根據(jù)引理1-2，有

證畢。

引理4對于上述φk和λ1，有下列不等式成立

證明由φk的定義，利用分部積分、引理1(b)和(4)，有

利用式(17)、Schwarz不等式有

利用分部積分和式(5)、(14)，上式右端第二項

即得引理4。

2 主要結(jié)果

根據(jù)上述一系列引理，可得本文的主要結(jié)果:用主譜λ1來估計次譜λ2上界的一個顯式不等式，其界僅與空間維數(shù)m有關(guān)，而與區(qū)域Ω的幾何度量無關(guān)，其研究過程對今后討論更高階的微分算子組也有一定的借鑒作用。

定理1設(shè)λ1和λ2分別是問題(3)對應(yīng)的主、次譜，則有估計式

證明根據(jù)引理4，可得

將上式和引理3估計結(jié)論同時代入式(13)，即得定理1中的式(18)。