一道高考函數(shù)壓軸題的分析與啟示

顧肖逸

函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)內(nèi)容的一條主線，貫穿于高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終，并在高考中扮演著重要的角色——它常常以壓軸題的形式出現(xiàn)，函數(shù)問題憑借其結(jié)構(gòu)形式多變、分類討論情況復(fù)雜等特點(diǎn)，成為高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)之一.那么面對一道函數(shù)壓軸題，我們應(yīng)該如何對其進(jìn)行分析，從而獲解呢？下面以一道高考函數(shù)壓軸題為例，談?wù)勎以诮鉀Q函數(shù)壓軸題過程中的學(xué)習(xí)心得，與各位同學(xué)分享.

二、試題的分析與解

1.第一問

第一問比較簡單，可直接利用定義解決.首先，函數(shù)-廠（z）的定義域為R，關(guān)于原點(diǎn)對稱，其次又因為f（-x）=e^-x+e^x=f（x），所以函數(shù)f（x）是R上的偶函數(shù).

2.第二問

第二問的分析與解，我采取了以下步驟進(jìn)行分析：

（l）認(rèn)知過程一：這是什么問題？

從題干條件不難看出，這是一個典型的恒成立問題.

（2）認(rèn)知過程二：我以前有沒有處理過類似的問題，如果有，當(dāng)時是怎么解決的？

可以套用解決恒成立問題的一般方法：參數(shù)分離法或構(gòu)造函數(shù)法.

（3）認(rèn)知過程三：在具體進(jìn)行操作時，如何選擇合適的方法進(jìn)行研究？

我在學(xué)習(xí)和研究函數(shù)問題的過程當(dāng)中，積累了如下的解題經(jīng)驗：

①一般來說，如果容易分離的就進(jìn)行參數(shù)分離;

②在參數(shù)分離之前，可考慮用換元法將問題進(jìn)行簡化，

由以上的認(rèn)知過程的分析，我嘗試給出了以下解法：

（注：解法2在參數(shù)分離后利用基本不等式方法求得函數(shù)的最小值.）

（4）認(rèn)知過程四：本題如果利用構(gòu)造函數(shù)的方法進(jìn)行研究，如何對參數(shù)進(jìn)行分類討論呢？

通過構(gòu)造函數(shù)解決恒成立問題，分類討論是無法避免的，那么如何有效進(jìn)行參數(shù)的分類討論呢？我的體會和經(jīng)驗是如果要分類討論，一定是產(chǎn)生解題沖突的結(jié)果.

3.第三問

第三問的分析與解，可以類比第二問的步驟進(jìn)行分析：

（l）認(rèn)知過程一：這是什么問題？

從題干條件不難看出，本題可分解為兩個小問題：

問題1是一個典型的不等式有解問題，問題2則是一個比較代數(shù)式的大小問題.事實(shí)上，很多函數(shù)壓軸題都可以進(jìn)行這樣的難題分解.將難題進(jìn)行分解，然后逐一解決，有時即使解決不了最終的問題，但能解決分解后的幾個小問題，從考試來說，也能得到可觀的分?jǐn)?shù).

（2）認(rèn)知過程二：我以前有沒有處理過類似的問題，如果有，當(dāng)時是怎么解決的？

不等式有解問題方法和恒成立問題一致，仍然可考慮參數(shù)分離法或構(gòu)造函數(shù)法.

對于比較大小問題，可考慮構(gòu)造函數(shù)的方法解決.

由以上的認(rèn)知過程的分析，我嘗試給出了以下解法：

（注：可能會有同學(xué)一陣眩暈，別怕，先從函數(shù)解析式的角度進(jìn)行觀察，在定義域上，分子部分是單調(diào)遞增的函數(shù)，分母部分是單調(diào)遞減的函數(shù)，且分子和分母均大于0恒成立，g（x）還不是單調(diào)遞增嗎？有了這個目標(biāo).對接下去的證明工作起了很好的導(dǎo)向作用，通過觀察，我們猜想g（x）是一個單調(diào)遞增的函數(shù)，那還不應(yīng)該大于0恒成立嗎？）

三、試題解決的啟發(fā)

通過以上的分析，我們不難總結(jié)出一些解決函數(shù)壓軸題的思路，也同時能獲得一些良好的解決函數(shù)問題的活動經(jīng)驗，

首先，我們對問題進(jìn)行總體感知，確定問題模型，即明確該問題涉及的基本問題是什么，以及主要的解決方案是什么，從而形成良好的解題結(jié)構(gòu)，以本題為例，本題涉及了高中函數(shù)的重要問題：恒成立問題和存在性問題.由此，我們利用解題學(xué)習(xí)獲得的經(jīng)驗明確這類問題的解題方向：對函數(shù)的最值加以研究，并對命題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，而對于這兩類問題，常見的研究方法是參數(shù)分離法和構(gòu)造函數(shù)法.

其次，對條件的結(jié)構(gòu)加以觀察，選取解決問題的最優(yōu)方法，以本題為例，在第二問的解決過程中不等式的結(jié)構(gòu)形式較為清晰，容易進(jìn)行參數(shù)分離，參數(shù)分離是本題的最優(yōu)方案，避免了冗雜的分類討論，但在第三問中，結(jié)構(gòu)形式較為復(fù)雜，我們傾向于選擇直接構(gòu)造函數(shù)的方法，事實(shí)也證明了我們的分析——第三問如果進(jìn)行參數(shù)分離，最后得到的結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，容易造成恐慌，因此，在解決問題之前，選擇合適的解題策略也應(yīng)包含在問題解決的過程之中.

最后，對難題進(jìn)行分解.綜合題之所以成為綜合題，可能是由多個知識點(diǎn)組合而成的，或是由多個基本題拼湊形成的，對于一些較難的函數(shù)問題，當(dāng)實(shí)在啃不動時，一個明智的做法是：可以將它劃分為幾個子問題或一系列的步驟，嘗試去解決問題的一部分，得到相應(yīng)的得分，從而盡可能提高壓軸題的得分.