插值濾波器的實現(xiàn)結(jié)構(gòu)*

陳紹榮 ，劉郁林 ，何 為 ，徐 舜

（1.陸軍工程大學通信士官學校，重慶 400035；2.重慶市經(jīng)信委，重慶 400015）

0 引 言

在國內(nèi)外《數(shù)字信號處理》教材及著作[1-2]中，從不同角度介紹了實現(xiàn)抽樣頻率轉(zhuǎn)換的方法，歸納起來有3種實現(xiàn)抽樣頻率轉(zhuǎn)換的方法：（1）若原模擬信號xa(t)可以再生或是已經(jīng)記錄下來，那么可以重新抽樣；（2）將x(n)通過D/A變換成模擬信號xa(t)后，對xa(t)經(jīng)A/D再抽樣；（3）發(fā)展一套算法，對抽樣后的數(shù)字信號x(n)在“數(shù)字域”作抽樣率轉(zhuǎn)換，以得到新的抽樣。方法（1）有時不能實現(xiàn)，方法（2）要再一次受到D/A和A/D量化誤差的干擾，方法（3）是最理想的方法。減少抽樣率以去掉多余數(shù)據(jù)的過程稱為序列的重排；增加抽樣率以增加數(shù)據(jù)的過程，稱為序列的插值[3-4]。本文只討論有關(guān)插值濾波器的實現(xiàn)方法。

1 序列的插值

設(shè)周期為L的周期沖激序列為：

以均勻間隔T對連續(xù)時間信號xa(t)抽樣，得到序列x(n)=xa(nT)，若希望將抽樣率fs增加L倍，即變成Lfs，則最簡單的方法是對x(n)插值，用符號表示，即

式（2）表明，對序列x(n)插值，等價于將連續(xù)時間信號xa(t)的抽樣間隔變成T/L，即抽樣率變成Lfs。

2 插值濾波器

考慮到式（1），對式（2）兩邊取DTFT，可得插值序列f(n)的頻譜，即：

式（3）表明，插值序列f(n)的頻譜F(ejω)是序列x(n)的頻譜X(ejω)壓縮L倍的結(jié)果。換言之，在F(ejω)的主值區(qū)間 [-π,π]上，譜圖重復出現(xiàn)了L次，多余的L-1次稱為X(ejω)的映像。當|ω|≤π/L時，F(xiàn)(ejω)單一地等于X(ejLω)?？梢岳煤笾脭?shù)字低通濾波器來完成這一任務，如圖1所示，其中后置數(shù)字低通濾波器的頻率特性為：

式中，C為常數(shù)，G2π/L(ω)=ε(ω+π/L)-ε(ω-π/L)，ε(ω)為單位階躍函數(shù)。

圖1 插值后的濾波

考慮到式（3）及式（4），則后置數(shù)字低通濾波器的輸出序列y(n)的頻譜為：

考慮到式（5），則有：

考慮到式（6），則有：

由式（7）可知，為保證y(0)=x(0)，則應取C=L，于是式（4）可寫成：

3 基于增抽樣的等價系統(tǒng)

基于增抽樣的系統(tǒng)Ⅰ，如圖2所示。

圖2 基于增抽樣的系統(tǒng)Ⅰ

在圖2中，有：

考慮到：

對式（10）兩邊取DTFT，并注意到式（3），則有：

將式（9）代入式（11），可得：

式中：

由式（12）及式（13），可得其等價系統(tǒng)，如圖3所示。

圖3 基于增抽樣的系統(tǒng)Ⅱ

結(jié)論1：對比圖3和圖2可知，若插值器從后置變?yōu)榍爸?，則系統(tǒng)的頻率特性壓縮L倍；反之，若插值器從前置變?yōu)楹笾茫瑒t系統(tǒng)的頻率特性擴展L倍。這樣才能夠保證在相同輸入序列x(n)作用下，級聯(lián)系統(tǒng)有相同的輸出序列y(n)。

4 插值濾波器的實現(xiàn)結(jié)構(gòu)

在如圖1所示的插值濾波中，數(shù)字低通濾波器H1(ejω)的單位沖激響應用h1(n)表示，一般都用FIR數(shù)字低通濾波器來實現(xiàn)該數(shù)字低通濾波器。設(shè)h1(n)的長度為N，即h1(n)=h1(n)RN(n)，并且滿足N/L為正整數(shù)。RN(n)=ε(n)-ε(n-N)，其中，ε(n)為單位階躍序列。

在實現(xiàn)如圖1所示的插值濾波時，存在下述5種具體實現(xiàn)結(jié)構(gòu)。

4.1 插值濾波器的直接實現(xiàn)結(jié)構(gòu)

考慮到圖1所示的插值濾波器，則有

由式（14）可知，如圖1所示的插值濾波器，可以用如圖4所示的直接結(jié)構(gòu)實現(xiàn)。

圖4 插值濾波器的直接實現(xiàn)

若對xa(t)以fs的速率抽樣獲得x(n)，則插值濾波器的直接實現(xiàn)結(jié)構(gòu)有一個缺點，因為h1(n)工作在高抽樣率（即Lfs）狀態(tài)，插值序列f(n)的每一位的值都要和FIR數(shù)字低通濾波器h1(n)的系數(shù)相乘。由于插值序列f(n)中相距L位才有一位的值非零，因此，采用如圖4所示的直接實現(xiàn)結(jié)構(gòu)，有較多的乘法浪費。

4.2 減少乘法次數(shù)的插值濾波器的直接實現(xiàn)結(jié)構(gòu)

由于：

因此，從式（15）可知，一個序列與延遲n0位的單位沖激序列做線性卷和，等價于將該序列做n0位的延遲。

由圖4，結(jié)合式（2）及式（15），可得：

式（16）表明，先將輸入序列x(n)與h1(i)相乘，得到積序列再對積序列h1(i)x(n)做L點插值得到然后將延遲i位得到y(tǒng)i(n)，最后將yi(n)按式（16）相加得到輸出序列y(n)，如圖5所示。

圖5 減少乘法次數(shù)的插值濾波器的直接實現(xiàn)結(jié)構(gòu)

因此，與圖4所示的插值濾波器的直接實現(xiàn)結(jié)構(gòu)相對照，更合理的方法是用圖5所示的結(jié)構(gòu)來實現(xiàn)。在該圖中，先將輸入x(n)與h1(i)(i=0,1,…,N-1)相乘，然后再插值，所需要的乘法次數(shù)是圖4所示的插值濾波直接實現(xiàn)結(jié)構(gòu)的1/L。

4.3 插值濾波器的分段實現(xiàn)結(jié)構(gòu)

若定義L倍插值濾波器第j段的單位沖激響應為

式中，j=0,1,2,…,N/L-1，RL(n)=ε(n)-ε(n-L)。

由式（17）可知，利用pj(n)可以將FIR數(shù)字低通濾波器h1(n)分成N/L個子FIR數(shù)字濾波器，即式（16）可寫成：

考慮到式（17），則式（18）中的yj(n)可以表示為：

從式（18）及式（19）可知，可以將如圖1所示的插值濾波器中的FIR數(shù)字低通濾波器h1(n)分成N/L段，其中每一段是長度為L的子FIR數(shù)字濾波器，并且都具有相同結(jié)構(gòu)。

若FIR數(shù)字低通濾波器h1(n)的長度N=9，取L=3，則三倍插值濾波器的分段實現(xiàn)結(jié)構(gòu)，如圖6所示。

圖6 三倍插值濾波器的分段實現(xiàn)結(jié)構(gòu)

4.4 減少單位延遲器的插值濾波器的分段實現(xiàn)結(jié)構(gòu)

與插值濾波器的分段實現(xiàn)結(jié)構(gòu)圖6相對照，更合理的方法是利用如圖7所示的結(jié)構(gòu)來實現(xiàn)。在該實現(xiàn)結(jié)構(gòu)中，單位延遲器的數(shù)目減少了一半。

圖7 減少單位延遲器的三倍插值濾波器的分段實現(xiàn)結(jié)構(gòu)

4.5 基于多相分解的插值濾波器的實現(xiàn)結(jié)構(gòu)

從三倍插值濾波器的分段實現(xiàn)結(jié)構(gòu)圖6可知，該實現(xiàn)結(jié)構(gòu)對h1(n)的各段而言，其運算關(guān)系是先對輸入序列或其延遲序列插值，再進行濾波處理。因此，存在乘法運算的浪費，需要改善該實現(xiàn)結(jié)構(gòu)。

由于：

考慮到式（14）及式（20），則有：

式中，yj(n)可以表示為：

并且：

其中，ei(n)=h1(nL+i)，并稱ei(n)為h1(n)的第i個多相分量。

考慮到式（23）、式（22）及（21），則基于h1(n)多相分解的插值濾波器實現(xiàn)結(jié)構(gòu)，如圖8所示。

圖8 基于h1(n)多相分解的插值濾波器實現(xiàn)結(jié)構(gòu)

若h1(n)是N=9點的FIR數(shù)字低通濾波器，取L=3，則將h1(n)分成了L=3個子FIR數(shù)字濾波器，各子FIR數(shù)字濾波器的長度為N/L=3，并且具有相同結(jié)構(gòu)?？紤]到式（21）、式（22）及（23），則基于h1(n)多相分解的插值濾波器實現(xiàn)結(jié)構(gòu)，如圖9所示。

圖9 基于h1(n)多相分解的三倍插值濾波器實現(xiàn)結(jié)構(gòu)

其實，可以通過下述方式獲得基于h1(n)多相分解的插值濾波器的實現(xiàn)結(jié)構(gòu)。

設(shè)：

一般稱ei(n)為h1(n)的第i個多相分量。

令：

由式（25），結(jié)合式（20），可得：

式（26）表明，數(shù)字低通濾波器h1(n)可以分解成多相分量ei(n)=h1(nL+i)(i=0,1,2,…,L-1)的L倍插值hi(n)=(i=0,1,2,…,L-1)的延遲之和。

對式（25）兩邊取ZT，可得：

對式（26）兩邊取ZT，并注意到式（27），可得：

考慮到式（28），則可得基于數(shù)字低通濾波器h1(n)多相分解的實現(xiàn)結(jié)構(gòu)，如圖10、圖11所示。

考慮到如圖11所示的基于數(shù)字低通濾波器h1(n)多相分解的實現(xiàn)結(jié)構(gòu)，則如圖1所示的插值濾波器可用圖12來表示。

圖10 基于h1(n)多相分解的實現(xiàn)結(jié)構(gòu)Ⅰ

圖11 基于h1(n)多相分解的實現(xiàn)結(jié)構(gòu)Ⅱ

圖12 基于h1(n)多相分解的插值濾波器的實現(xiàn)結(jié)構(gòu)Ⅰ

圖13 基于h1(n)多相分解的插值濾波器的實現(xiàn)結(jié)構(gòu)Ⅱ

由于圖12中H1(z)的L個多相分解子數(shù)字濾波器的輸入序列f(n)是序列x(n)的L倍插值，因此可將圖12畫成圖13。

由結(jié)論1可知，將圖13中的插值器從前置變?yōu)楹笾?，則子系統(tǒng)的頻率特性擴展L倍，即將子系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移函數(shù)Ei(zL)(i=1,2,…,L-1)變成轉(zhuǎn)移函數(shù)Ei(z)(i=1,2,…,L-1)。這樣就得到了與圖8相同的基于數(shù)字低通濾波器h1(n)多相分解的插值濾波器的實現(xiàn)結(jié)構(gòu)，如圖14所示，只不過其中的子系統(tǒng)用z域描述而已。

圖14 基于h1(n)多相分解的插值濾波器的實現(xiàn)結(jié)構(gòu)Ⅲ

5 結(jié) 語

本文針對插值濾波器的實現(xiàn)問題，給出了插值濾波器的直接實現(xiàn)結(jié)構(gòu)、減少乘法次數(shù)的插值濾波器的實現(xiàn)結(jié)構(gòu)、插值濾波器的分段實現(xiàn)結(jié)構(gòu)、減少單位延遲器的插值濾波器的分段實現(xiàn)結(jié)構(gòu)及基于多相分解的插值濾波器的實現(xiàn)結(jié)構(gòu)，并用一種新的思路和方法，導出了基于多相分解的插值濾波器的實現(xiàn)結(jié)構(gòu)。