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    不確定混沌系統(tǒng)的濾波反演自適應(yīng)滑??刂?/h1>
    2019-09-03 11:42:28崔明月劉紅釗趙金姬屈重年
    實(shí)驗(yàn)室研究與探索 2019年8期
    關(guān)鍵詞:觀測(cè)器滑模增益

    崔明月, 劉紅釗, 趙金姬, 屈重年, 劉 偉

    (南陽師范學(xué)院 機(jī)電工程學(xué)院, 河南 南陽 473061)

    0 引 言

    混沌系統(tǒng)作為一種典型的非線性系統(tǒng),在信息處理、通信保密等方面得到廣泛應(yīng)用?;煦缦到y(tǒng)的控制問題已經(jīng)成為研究的熱點(diǎn),許多控制方法被研究人員提出,如反演控制[1]、自適應(yīng)控制[2]、最優(yōu)控制[3]等。在眾多混沌控制中,跟蹤控制就是通過對(duì)混沌系統(tǒng)施加控制力,使其輸出響應(yīng)跟蹤任意給定的參考信號(hào)[4]。

    上述混沌系統(tǒng)控制方法大都要求建立被控對(duì)象準(zhǔn)確數(shù)學(xué)模型,在工程實(shí)際中往往不易實(shí)現(xiàn)。因此,當(dāng)系統(tǒng)中存在參數(shù)變化或不確定因素時(shí),系統(tǒng)的魯棒性就會(huì)降低,動(dòng)態(tài)性能也會(huì)變差?;诖?,一些研究者提出了具有較強(qiáng)魯棒性與自適應(yīng)性的混沌控制方法,如:線性反饋控制[5]、基于Laypunov理論的指數(shù)控制法[6]、自適應(yīng)模糊控制[7]、滑模變結(jié)構(gòu)控制[8]等。其中,滑模控制(Sliding Mode Control, SMC)因其對(duì)系統(tǒng)參數(shù)變化及擾動(dòng)不靈敏、無需系統(tǒng)在線辨識(shí)等優(yōu)點(diǎn),被廣泛應(yīng)用于非線性系統(tǒng)控制中,但對(duì)于常規(guī)滑模變結(jié)構(gòu)控制,高的切換增益以及符號(hào)函數(shù)的存在是抖振現(xiàn)象產(chǎn)生的根源,從而影響了其在工程實(shí)際的應(yīng)用[8]。為削減抖振現(xiàn)象,對(duì)傳統(tǒng)滑??刂铺岢隽嗽S多改進(jìn)措施,如:基于濾波器的滑??刂?、動(dòng)態(tài)滑??刂?、基于觀測(cè)器的滑??刂啤⒒谀:壿嫷幕?刂频萚8]。盡管這些控制方法能夠在一定程度上降低滑??刂菩盘?hào)的抖振,改善系統(tǒng)的控制性能,但要求系統(tǒng)具有完全能測(cè)量的狀態(tài),否則上述控制方法將失效[9]。擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器(Extended State Observer, ESO)被廣泛用于系統(tǒng)的未知狀態(tài)和不確定項(xiàng)的估計(jì)[10]。ESO幾乎不依賴于系統(tǒng)模型,且具有很強(qiáng)的抗干擾能力,因此廣泛應(yīng)用于非線性系統(tǒng)控制領(lǐng)域[11-12]。但是,當(dāng)系統(tǒng)的模型階數(shù)與非線性程度較高時(shí),上述控制方法往往不易實(shí)現(xiàn)。而Backstepping設(shè)計(jì)方法能夠?qū)?fù)雜高階的非線性系統(tǒng)分解成多個(gè)低階子系統(tǒng),通過選擇合適的Lyapunov函數(shù)逐步推導(dǎo)出最終的控制律,從而實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)的有效控制[13]。

    針對(duì)狀態(tài)不可測(cè)的不確定混沌系統(tǒng),本文提出基于ESO的Backstepping自適應(yīng)滑??刂品椒āT摲椒ㄟ\(yùn)用線性ESO對(duì)混沌系統(tǒng)的狀態(tài)與總的不確定性進(jìn)行估計(jì),然后基于Backstepping策略設(shè)計(jì)滑模控制器,同時(shí)基于Lyapunov穩(wěn)定性理論設(shè)計(jì)滑模控制律與切換增益的自適應(yīng)更新律。通過一個(gè)濾波器獲得虛擬控制量的導(dǎo)數(shù),避免微分項(xiàng)述的膨脹,大大簡(jiǎn)化控制器的設(shè)計(jì)過程。

    1 問題描述

    考慮如下不確定非線性混沌系統(tǒng):

    (1)

    假設(shè)狀態(tài)x1,x2,x3不能直接測(cè)量但可觀測(cè),非線性函數(shù)f1(x1,x2,x3),f2(x1,x2,x3),f3(x1,x2,x3)未知可微,對(duì)狀態(tài)x1,x2,x3各階偏導(dǎo)存在且連續(xù)。

    混沌系統(tǒng)具有較強(qiáng)的非線性,對(duì)初值非常敏感,且系統(tǒng)的狀態(tài)不易獲得,許多常規(guī)的控制策略已不能滿足控制效果。本文的目的在于針對(duì)狀態(tài)不可測(cè)的不確定混沌系統(tǒng)(1)設(shè)計(jì)一個(gè)ESO與自適應(yīng)滑??刂破鳎瑢?shí)現(xiàn)混沌系統(tǒng)狀態(tài)x1的穩(wěn)定跟蹤控制。

    2 控制器設(shè)計(jì)

    2.1 模型變換

    由于未知函數(shù)f1(x1,x2,x3)對(duì)x1,x2,x3的各階偏導(dǎo)連續(xù)可微,故可構(gòu)造函數(shù):

    (2)

    設(shè)計(jì)如下坐標(biāo)變換:

    (3)

    由前面假設(shè)可知,未知函數(shù)g(x1,x2,x3)對(duì)狀態(tài)x1,x2,x3連續(xù)可微,故可將式(1)變換為如下嚴(yán)格參數(shù)反饋系統(tǒng):

    (4)

    為了對(duì)混沌系統(tǒng)進(jìn)行控制,將控制輸入u加入系統(tǒng),同時(shí)考慮系統(tǒng)的外部擾動(dòng),系統(tǒng)(4)可寫為

    (5)

    式中:u為控制輸入;b為控制輸入增益;

    d(t)為系統(tǒng)未知的外部擾動(dòng)。為了便于設(shè)計(jì)觀測(cè)器與控制器,將式(5)寫為如下等效形式:

    (6)

    式中:

    w(x1,x2,x3)=f(x1,x2,x3)+d(t)

    為混沌系統(tǒng)總的不確定性。

    2.2 不確定性的估計(jì)

    ESO是一種新型的非線性觀測(cè)器,可以對(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)與未知的擾動(dòng)進(jìn)行估計(jì)[14]。針對(duì)式(6)設(shè)計(jì)如下的4階線性ESO:

    (7)

    (8)

    定義觀測(cè)誤差向量

    (9)

    則, 式(8)可寫為

    (10)

    式中:矩陣

    (11)

    矩陣A的特征多項(xiàng)式為

    |sI-A|=s4+β1s3+β2s2+β3s+β4

    (12)

    由Routh-Hurwitz穩(wěn)定性判據(jù)可知,若式(8)中的系數(shù)βi(i=1,2,3,4)滿足如下條件:

    (13)

    則觀測(cè)誤差動(dòng)態(tài)系統(tǒng)(8)漸近穩(wěn)定, 即ESO觀測(cè)誤差eo收斂至0向量。

    2.3 ESO增益的確定

    ESO屬于高增益觀測(cè)器,觀測(cè)器增益βi>0,i=1,2,3,4對(duì)ESO至關(guān)重要,影響著觀測(cè)器的收斂速度。運(yùn)用帶寬的概念來確定ESO的增益βi>0,i=1,2,3,4。ESO的期望特征多項(xiàng)式為

    λ0(s)=(s+ω0)4=

    (14)

    式中:ω0為觀測(cè)器的帶寬。

    比較式(12)與(14)可得:

    (15)

    2.4 自適應(yīng)滑??刂破髟O(shè)計(jì)

    在對(duì)系統(tǒng)(6)的狀態(tài)與不確定部分進(jìn)行估計(jì)的基礎(chǔ)上,規(guī)定控制目標(biāo)是設(shè)計(jì)一個(gè)自適應(yīng)控制律u,使系統(tǒng)輸出y=x1漸進(jìn)跟蹤一個(gè)有界參考信號(hào)yr,即

    (16)

    下面基于反演策略設(shè)計(jì)不確定混沌系統(tǒng)(6)的滑模跟蹤控制器。

    步驟1定義跟蹤誤差e1=y-yr=y1-yr,假設(shè)參考信號(hào)yr充分光滑,由式(6)可知:

    (17)

    定義Lyapunov函數(shù)

    (18)

    則其沿式(17)的導(dǎo)數(shù)為

    (19)

    (20)

    步驟2定義虛擬誤差

    e2=y2-α1

    (21)

    (22)

    由式(17)、(20)、(22)可得:

    (23)

    由式(22)、(23)可得:

    (24)

    考慮誤差動(dòng)態(tài)方程(22)與(23),將y3暫時(shí)作為“控制變量”實(shí)現(xiàn)此兩式的鎮(zhèn)定,定義Lyapunov函數(shù)

    (25)

    則V2沿式(23)和(24)軌跡的導(dǎo)數(shù)為

    (26)

    (27)

    步驟3定義虛擬誤差

    e3=y3-α2

    (28)

    則e3對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)為

    (29)

    由式(27)、(28)可得:

    (30)

    將式(30)代入式(24), 得:

    (31)

    將式(23)與(31)代入(29)得:

    (32)

    式中,

    λ3=k1+k2

    定義切換函數(shù)

    s=c1e1+c2e2+e3

    (33)

    式中:c1與c2為正的常數(shù)。則s對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)并考慮式(23)、(31)、(32), 化簡(jiǎn)為

    (34)

    式中:

    ρ1=c1k1+c2-λ1,ρ2=c1-c2k2-λ2

    ρ3=c2+λ3

    定義Lyapunov函數(shù)

    V3=V2+0.5s2

    (35)

    (36)

    設(shè)計(jì)滑模控制律為

    h(s+εsgn(s))]

    (37)

    式中:h>0是設(shè)計(jì)常數(shù);ε>0為切換增益。

    在滑模控制律(37)中,為了削弱控制信號(hào)的抖振,更好地克服外部擾動(dòng),使系統(tǒng)具有更強(qiáng)的魯棒性,設(shè)計(jì)如下的切換增益ε的自適應(yīng)調(diào)整算法:

    (38)

    (39)

    注1如不做特殊說明,上述控制律設(shè)計(jì)過程中的yi(i=1,2,3)及w均是指其由式(7)ESO得到的估計(jì)值。

    2.5 穩(wěn)定性分析

    定理1系統(tǒng)(6)在滑??刂坡?39)與切換增益適應(yīng)律(38)的作用下, 設(shè)計(jì)如式(33)的切換函數(shù), 則閉環(huán)系統(tǒng)誤差e1,e2,e3漸近收斂到0.

    證明定義如下的Lyapunov函數(shù)

    (40)

    則V3對(duì)時(shí)間t的求一階導(dǎo)數(shù), 并考慮式(33)、(36)、(38)、(39)可得:

    hε|s|=-eTQe-hε|s|

    (41)

    (42)

    通過選擇參數(shù)h,k1,k2,c1,c2,可使Q的各階順序主子式均大于0,從而保證Q為正定矩陣。從而可得

    (43)

    由式(43)對(duì)時(shí)間t求導(dǎo), 得:

    (44)

    (45)

    (46)

    證畢

    注2由文獻(xiàn)[13]可知,系統(tǒng)(6)滿足“分離定理”的條件,高增益的擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器與自適應(yīng)滑模控制器設(shè)計(jì)可獨(dú)立進(jìn)行,觀測(cè)器的收斂性不影響閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

    3 濾波器的設(shè)計(jì)

    由反演滑??刂坡?37)的設(shè)計(jì)過程可知,在反推過程中需要反復(fù)計(jì)算虛擬控制信號(hào)的導(dǎo)數(shù),這將導(dǎo)致微分項(xiàng)數(shù)的膨脹,使控制律的解析表達(dá)式非常復(fù)雜。因此,虛擬控制信號(hào)的求導(dǎo)通過濾波器,不必要解析求導(dǎo),反演自適應(yīng)滑??刂破鞯膶?shí)現(xiàn)過程將會(huì)大大簡(jiǎn)化。濾波器的原理如圖1所示。

    圖1 信號(hào)的濾波處理

    濾波器的狀態(tài)方程為

    (47)

    (48)

    式中:ζ是濾波器的阻尼比;ωn是自然角頻率。

    基于ESO的不確定混沌系統(tǒng)的濾波反演自適應(yīng)滑??刂圃砣鐖D2所示。

    圖2 濾波反演自適應(yīng)滑??刂圃?/p>

    4 仿真實(shí)驗(yàn)

    為驗(yàn)證本文所設(shè)計(jì)的控制策略的有效性, 選擇Lorenz混沌系統(tǒng), 狀態(tài)方程如下:

    (49)

    式中: 當(dāng)δ=16,ρ=49.52,b=4,x1(0)=20,x2(0)=20,x3(0)=50時(shí)產(chǎn)生混沌現(xiàn)象, 混沌吸引子如圖3所示。

    圖3 Lorenz混沌系統(tǒng)的吸引子

    定義函數(shù):

    (50)

    由式(2)可得

    g(x1,x2,x3)=1 048.32x1-272x2-16x1x3

    應(yīng)用式(2)所示的坐標(biāo)變換,式(49)可化為

    (51)

    將控制輸入u加入系統(tǒng), 控制輸入增益b取為1, 同時(shí)考慮考慮系統(tǒng)的外部擾動(dòng),系統(tǒng)(49)可寫為

    (52)

    式中:

    為混沌系統(tǒng)總的不確定性, 系統(tǒng)的不確定外部擾動(dòng)d(t)=2sint。對(duì)此系統(tǒng)(52)用擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器(6)進(jìn)行估計(jì)。擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的帶寬取ω0=60 rad, 觀測(cè)器增益由式(15)計(jì)算得出:

    為驗(yàn)證本文所設(shè)計(jì)控制方法的有效性和優(yōu)越性, 分別對(duì)式(7)、 (38)、 (39)、 (47)表示的基于ESO的濾波反演自適應(yīng)滑??刂?ESO+ FBASMC)、由式(7)、 (37)表示的基于ESO的常規(guī)反演滑??刂?ESO+BSMC)以及PID控制進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)研究。采樣周期都設(shè)置為Ts=1 ms, 初始條件均設(shè)置為

    x1(0)=20,x2(0)=20,x3(0)=50

    滑??刂破鞯膮?shù)設(shè)置為

    k1=70,k2=10,c1=50,c2=10

    PID控制參數(shù):比例系數(shù)kp=0.75,微分系數(shù)kd=0.32,積分系數(shù)ki=0.16。

    3種控制方法的仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖4~8所示。 由圖4~6可知, 3種基于ESO的控制方法均能夠有效地控制混沌系統(tǒng), 并且最終的跟蹤誤差均為0,PID控

    圖4 位置跟蹤結(jié)果

    圖5 位置跟蹤誤差

    圖6 控制輸入u

    (a) 濾波反演自適應(yīng)滑??刂频腅SO估計(jì)誤差(b) 反演滑??刂频腅SO估計(jì)誤差

    圖7 總的不確定性w的估計(jì)誤差

    圖8 FBASMC切換增益ε的自適應(yīng)變化過程

    制出現(xiàn)了長(zhǎng)時(shí)間的振蕩。進(jìn)一步對(duì)比圖5中跟蹤誤差可知,系統(tǒng)在3種控制器作用下,跟蹤誤差的曲線發(fā)生了劇烈的振蕩,PID控制的誤差曲線振蕩最為劇烈,常規(guī)滑??刂频恼`差曲線的振蕩程度次之,反演自適應(yīng)滑??刂频恼`差曲線最平緩, 跟蹤誤差收斂最快, 這是因?yàn)槌R?guī)反演滑??刂品椒ǖ那袚Q增益ε是固定值,一旦系統(tǒng)的外部擾動(dòng)變化時(shí), 控制器便無法這種變化;而對(duì)于反演自適應(yīng)滑模控制方法而言, 由于切換增益ε(t)能夠自適應(yīng)調(diào)節(jié),控制器經(jīng)過更短時(shí)間的調(diào)整后使跟蹤誤差快速地收斂到零,而由于混沌系統(tǒng)是非線性程度較強(qiáng)的系統(tǒng),PID控制的效果最差。

    同時(shí), 通過對(duì)比圖6中3個(gè)控制信號(hào)可見,濾波反演自適應(yīng)滑模控制方法在這3種控制信號(hào)中幅值是最小的,這也證明了此控制方法能夠在一定程度上削減抖振。圖7給出的是兩種反演滑??刂品椒ㄖ邢到y(tǒng)總的不確定部分w的估計(jì)結(jié)果,結(jié)果表明ESO對(duì)系統(tǒng)的不確定性具有良好的估計(jì)能力。進(jìn)一步比較圖7(a)與圖7(b)可知,濾波反演自適應(yīng)滑??刂品椒ㄖ械腅SO的估計(jì)效果要好于常規(guī)反演滑??刂浦械腅SO的估計(jì)效果。圖8給出了濾波反演自適應(yīng)滑??刂浦星袚Q增益ε(t)的自適應(yīng)曲線,參數(shù)ε(t)最終收斂至8左右,小于常規(guī)反演滑??刂品椒ㄖ兄苯咏o定的控制增益ε=12。

    5 結(jié) 語

    本文綜合運(yùn)用反演自適應(yīng)控制和擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器理論,提出了一種狀態(tài)不可測(cè)的不確定非線性混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)滑模控制方法。通過非線性坐標(biāo)變換,將一般的非線性系統(tǒng)模型變?yōu)楦m宜Backstepping控制器設(shè)計(jì)的嚴(yán)格參數(shù)反饋形式。設(shè)計(jì)了線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器估計(jì)系統(tǒng)未知狀態(tài)及不確定項(xiàng),并基于Backstepping策略設(shè)計(jì)自適應(yīng)滑??刂破饕员WC系統(tǒng)的跟蹤誤差漸近收斂至零點(diǎn)。同時(shí),虛擬控制信號(hào)的導(dǎo)數(shù)通過濾波器獲得,避免了解析求導(dǎo),簡(jiǎn)化了控制器的設(shè)計(jì)過程。與常規(guī)反演滑??刂破骷癙ID控制的對(duì)比仿真表明了該自適應(yīng)控制器的有效性與優(yōu)越性。

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