在反芻、聯(lián)系中培養(yǎng)函數(shù)模型思想
——以“研究一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系”為例

■王憲成

筆者于2017年參加了蘇州市初中數(shù)學(xué)青年教師基本功大賽，獲得了一等獎(jiǎng)第一名，課題是“研究一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系”。下面，筆者以本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)為例，談一談在反芻、聯(lián)系中培養(yǎng)學(xué)生函數(shù)模型思想的感悟及認(rèn)識(shí)。

一、教材、學(xué)情分析

本節(jié)課內(nèi)容是一次函數(shù)的概念、圖像與性質(zhì)，以及一次函數(shù)與二元一次方程（組）的后續(xù)學(xué)習(xí)內(nèi)容，旨在進(jìn)一步研究一次函數(shù)、一元一次方程、一元一次不等式之間的關(guān)聯(lián)性，感悟數(shù)形結(jié)合思想、模型思想，既是對(duì)前面所學(xué)知識(shí)的豐富，也是為學(xué)習(xí)反比例函數(shù)、二次函數(shù)與方程、不等式的知識(shí)做鋪墊。

八年級(jí)學(xué)生在“數(shù)與式”板塊已掌握實(shí)數(shù)、代數(shù)式、一元一次方程、二元一次方程組、一元一次不等式（組）、一次函數(shù)等知識(shí)。對(duì)于不等式2x+4＞0，學(xué)生都能正確解答。有的從不等式的解法出發(fā)；有的基于一次函數(shù)圖像，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，從“形”的角度解決“數(shù)”的問(wèn)題。但對(duì)于不等式2x+4＞2.56呢？還能直接利用圖像分析嗎？這就得從“數(shù)”的角度補(bǔ)助“形”的認(rèn)識(shí)。數(shù)學(xué)家華羅庚先生講的“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”，就是這個(gè)道理?！皵?shù)”“形”之間的關(guān)系是相互的，不是單一的，同時(shí)，這也遵循了八年級(jí)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和年齡心理特征。

二、教學(xué)目標(biāo)

經(jīng)歷一次函數(shù)、一元一次方程和一元一次不等式三者關(guān)系的探究，進(jìn)一步豐富對(duì)方程、不等式與一次函數(shù)的認(rèn)識(shí)，感悟“數(shù)形結(jié)合”思想、模型思想；用一次函數(shù)圖像解一元一次方程、一元一次不等式；反過(guò)來(lái)，用一元一次方程、一元一次不等式的解與解集解決與一次函數(shù)相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題；通過(guò)觀察、思考、交流、驗(yàn)證等培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)方式和思維習(xí)慣。

三、教學(xué)重、難點(diǎn)

重點(diǎn)：用一次函數(shù)圖像解一元一次方程、一元一次不等式；反過(guò)來(lái)，用一元一次方程、一元一次不等式的解與解集解決與一次函數(shù)相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題。

難點(diǎn)：根據(jù)一次函數(shù)的圖像直接解決一元一次方程、一元一次不等式相關(guān)問(wèn)題。

四、教學(xué)過(guò)程

1.情境創(chuàng)設(shè)，“數(shù)學(xué)”思考。

背景材料：一根長(zhǎng)25cm的彈簧，一端固定，另一端掛物體。在彈簧伸長(zhǎng)后的長(zhǎng)度不超過(guò)35cm的限度內(nèi)，每掛1 kg質(zhì)量的物體，彈簧伸長(zhǎng)0.5cm。

請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)問(wèn)題，讓同學(xué)們嘗試解決，并說(shuō)說(shuō)為什么這樣設(shè)計(jì)。

設(shè)計(jì)意圖：以一個(gè)開(kāi)放性的材料為背景導(dǎo)入，培養(yǎng)學(xué)生問(wèn)題意識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生自主建立起一次函數(shù)、一元一次方程和一元一次不等式的三者關(guān)系框架，嘗試用多種方式解決問(wèn)題，并有意識(shí)地用數(shù)學(xué)概念、原理、方法去理解、描述以及解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題。該思想就是模型思想。

在課堂教學(xué)實(shí)施環(huán)節(jié)，筆者捕捉了下列“生成性”教學(xué)資源來(lái)組織課堂教學(xué)。

生1：掛10kg重物時(shí)，彈簧長(zhǎng)度為多少？

生2：掛多重的物體時(shí)，彈簧長(zhǎng)30cm？

生3：彈簧所掛物體的最大質(zhì)量是多少？附解答：設(shè)掛xkg的重物，（25+0.5x）≤35。這樣設(shè)計(jì)的原因是可以知道彈簧所掛重物的最大質(zhì)量是多少。

生4：現(xiàn)在彈簧長(zhǎng)度為xcm，假設(shè)掛了nkg物體（n≤20），則彈簧伸長(zhǎng)ycm，求此一次函數(shù)的表達(dá)式和x的范圍。

生5：（1）請(qǐng)畫(huà)出其圖像；（2）當(dāng)彈簧長(zhǎng)30cm時(shí)，掛了多少kg重物？在圖像上找出這個(gè)點(diǎn)；（3）當(dāng)掛6-13kg的重物時(shí)，求彈簧的長(zhǎng)度范圍。

教師追問(wèn)：（1）回顧反思上述生1至生3的問(wèn)題，你能用另一種表達(dá)方式解決這些問(wèn)題嗎？（引出生4、生5的問(wèn)題。）

（2）當(dāng)x=10時(shí)，就能得到一個(gè)一元一次方程y=0.5×10+25；當(dāng)y=30時(shí)，也能得到一個(gè)方程30=0.5x+25。從圖像“形”角度上看，每一對(duì)解都有什么樣的解釋呢？

（3）當(dāng)y≤35時(shí)，能得到一元一次不等式0.5x+25≤35，解不等式便能解決問(wèn)題，從圖像上看，哪一部分圖像能對(duì)應(yīng)該不等式？你有什么新的想法？

（4）若彈簧長(zhǎng)度是33.8 cm，求所掛物體的質(zhì)量。若彈簧長(zhǎng)度不超過(guò)33.8 cm，求所掛物體的質(zhì)量的取值范圍。你是如何解決的？

教學(xué)活動(dòng)組織：學(xué)生獨(dú)立思考、師生對(duì)話、生生對(duì)話交流解決上述問(wèn)題。

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生從算式解法過(guò)渡到方程、不等式、函數(shù)的視角，自主建立一次函數(shù)、一元一次方程、不等式之間的聯(lián)系，深刻體會(huì)“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”的內(nèi)涵，尤其體會(huì)每個(gè)數(shù)學(xué)模型各自的優(yōu)越性以及之間的聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)模型思想、數(shù)形結(jié)合思想的滲透，潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲。

2.學(xué)以致用，解決問(wèn)題。

問(wèn)題1：試根據(jù)一次函數(shù)y=2x+4的圖像，說(shuō)出2x+4=0、2x+4＞0、2x+4＜0的解或解集。

圖1

變式1：（1）試根據(jù)一次函數(shù)y=2x+4的圖像，直接說(shuō)出2x+4=4、2x+4＞4、2x+4＜4的解或解集。你是如何看出的？

（2）能否根據(jù)一次函數(shù)y=2x+4的圖像，直接說(shuō)出2x+4=2.56、2x+4＞2.56、2x+4＜2.56的解或解集？應(yīng)該如何解決？

（3）一般性思考：通過(guò)上述問(wèn)題的解決，思考如何由一次函數(shù)產(chǎn)生一元一次方程、一元一次不等式問(wèn)題，又是如何解決的呢？

問(wèn)題2：在同一個(gè)坐標(biāo)系中畫(huà)出一次函數(shù)y=2x+4和y=-2x的圖像，求不等式2x+4＞-2x的解集。你是如何思考的？

變式2：如圖2，一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）和y=mx（m≠0）的圖像交于點(diǎn)A，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為-1，直接寫(xiě)出下列關(guān)于x的方程的解或不等式的解集：

（1）kx+b=mx；

（2）（k-m）x+b＞0。

問(wèn)題3：嘗試獨(dú)立思考教材中“嘗試”板塊問(wèn)題，并與大家交流分享。

圖2

設(shè)計(jì)意圖：課始，由實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，激發(fā)學(xué)生用已掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)、技能方法解決問(wèn)題。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生厘清了一次函數(shù)、一元一次方程、一元一次不等式三者之間的關(guān)系，使得學(xué)習(xí)回到了數(shù)學(xué)內(nèi)部。而以上問(wèn)題串以及變式，幫助學(xué)生進(jìn)一步強(qiáng)化理解。

3.回顧反思，鞏固練習(xí)。

回顧如何由一次函數(shù)產(chǎn)生一元一次方程、一元一次不等式問(wèn)題的，又是如何解決的，再次體會(huì)它們之間的相互關(guān)系。

課堂練習(xí)：教材中的練習(xí)。

4.作業(yè)布置。

必做題：6.6習(xí)題1-4。

選做題：如圖3，一次函數(shù)y=mx+n和y=kx+b的圖像交于點(diǎn)P（1，2），y=mx+n的圖像交y軸于點(diǎn)A（0，1）。

直接寫(xiě)出下列關(guān)于x的不等式（組）的解集：

（1）1＜mx+n＜kx+b；

（2）（k-2）x+b＜0。

五、教學(xué)反思

1.反芻“方程”的重要地位及意義。

本節(jié)課的課題是“研究一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系”，為什么沒(méi)有“方程”呢？方程在這“三個(gè)一次”數(shù)學(xué)模型中“功不可沒(méi)”。不等式的學(xué)習(xí)過(guò)程就是類(lèi)比的過(guò)程，而方程的解往往又能表現(xiàn)在不等式解集的“臨界值”上，方程與一次函數(shù)的關(guān)系更緊密。

圖3

例如，問(wèn)題情境中的（20，35）這個(gè)點(diǎn)是如何找到的？先固定y=35，則35=0.5x+25，得到一元一次方程，解得x=20，于是找到點(diǎn)（20，35）。而如何從圖像“形”的角度看待0.5x+25≤35？0.5x+25≤35即y≤35，找臨界值y=35（假如原式是y＜35，也是引導(dǎo)學(xué)生抓住臨界值y=35），此時(shí)，x=25。從“形”的角度看，找到一個(gè)“臨界點(diǎn)”（20，35）。對(duì)于不等式0.5x+25≤35，即y≤35，從“形”上看，就是圖像上該“臨界點(diǎn)”下方的部分，于是直觀感知x≤20。

2.聯(lián)系地、發(fā)展地、整體地教與學(xué)，指向“深度學(xué)習(xí)”。

一次函數(shù)、一元一次方程、一元一次不等式這三者內(nèi)在的聯(lián)系到底如何認(rèn)知？我們不能單向、片面化地理解。本節(jié)課的定位是以“函數(shù)”為核心回看方程、不等式，并從“數(shù)、式”和“形”的雙重角度闡釋函數(shù)與它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，以體現(xiàn)數(shù)學(xué)關(guān)聯(lián)性、整體性、發(fā)展性，也是前面所學(xué)知識(shí)的自然延伸。而方程的解往往又是不等式的臨界值，反映在函數(shù)圖像上就是臨界點(diǎn)。本節(jié)課的重點(diǎn)應(yīng)該是以前面的兩個(gè)角度“回看”方程和不等式，反之，當(dāng)在圖像上不能直接看出時(shí)，就體現(xiàn)出方程和不等式這兩個(gè)重要的數(shù)學(xué)模型也能研究函數(shù)問(wèn)題。

如背景材料中的問(wèn)題設(shè)計(jì)，從課堂的生成性資源來(lái)看，學(xué)生能自覺(jué)用不同的數(shù)學(xué)模型來(lái)設(shè)計(jì)、解決問(wèn)題。但筆者并不止步于此，而是進(jìn)行追問(wèn)：回顧反思上述生1至生3的問(wèn)題，你能用另一種表達(dá)方式解決這些問(wèn)題嗎？目的是引發(fā)學(xué)生思考，除了算式、一元一次方程、一元一次不等式數(shù)學(xué)模型，還有函數(shù)這一重要模型。這樣，學(xué)生既能感受知識(shí)之間的聯(lián)系和區(qū)別，又能認(rèn)識(shí)到代數(shù)領(lǐng)域內(nèi)知識(shí)的發(fā)展性、整體性。這樣的學(xué)習(xí)才能讓學(xué)生對(duì)知識(shí)有更深刻的認(rèn)識(shí)，即“深度學(xué)習(xí)”。

3.在自然生成中感悟數(shù)學(xué)模型思想，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）提出：有效的教學(xué)活動(dòng)是學(xué)生學(xué)與教師教的統(tǒng)一，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師是學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者。教師教學(xué)應(yīng)該以學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，面向全體學(xué)生，注重啟發(fā)和因材施教。

基于此，筆者設(shè)計(jì)的開(kāi)放性問(wèn)題既培養(yǎng)了學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)，又重視學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生在體驗(yàn)從實(shí)際背景中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題、建構(gòu)數(shù)學(xué)模型、尋求結(jié)果、解決問(wèn)題的過(guò)程中，提升解決問(wèn)題能力，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)思維思考世界、用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界，有效發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。從課堂教學(xué)實(shí)施環(huán)節(jié)捕捉的“生成性資源”來(lái)看，學(xué)生在提出問(wèn)題過(guò)程中，是能夠有意識(shí)地用數(shù)學(xué)模型解決問(wèn)題的，從而進(jìn)一步感悟數(shù)學(xué)模型的功能、價(jià)值。

本文為江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃立項(xiàng)課題“初中數(shù)學(xué)生成性教學(xué)實(shí)踐研究”（課題編號(hào)：C—b/2018/02/38）階段性研究成果。