基于混合整數(shù)規(guī)劃的彈性配電網(wǎng)災(zāi)后修復(fù)計(jì)劃

鄒 波，戴 攀，王 蕾，葉承晉，王冠中

（1.國(guó)網(wǎng)浙江省電力有限公司經(jīng)濟(jì)技術(shù)研究院，杭州 310008；2.浙江大學(xué) 電氣工程學(xué)院，杭州 310027）

0 引言

極端自然災(zāi)害易造成配電網(wǎng)嚴(yán)重?fù)p壞，導(dǎo)致居民、工商業(yè)用電長(zhǎng)期中斷。近年來(lái)，電力系統(tǒng)遭受的自然災(zāi)害主要包括臺(tái)風(fēng)、冰雹等氣象災(zāi)害以及地震等地質(zhì)災(zāi)害。各類(lèi)自然災(zāi)害均造成了配電網(wǎng)絡(luò)的嚴(yán)重故障，帶來(lái)了巨大的社會(huì)經(jīng)濟(jì)損失。隨著電力中斷的持續(xù)，經(jīng)濟(jì)社會(huì)損失也呈指數(shù)級(jí)增長(zhǎng)，因此，在自然災(zāi)害發(fā)生后，及時(shí)合理地安排檢修工作，盡快恢復(fù)配電網(wǎng)中關(guān)鍵負(fù)荷供電，具有顯著的社會(huì)經(jīng)濟(jì)價(jià)值。

為強(qiáng)化配電網(wǎng)抵御自然災(zāi)害的能力，一些學(xué)者從網(wǎng)架規(guī)劃出發(fā)，建立抗災(zāi)評(píng)估指標(biāo)，并以強(qiáng)化最優(yōu)骨干網(wǎng)架等方式加強(qiáng)配電網(wǎng)元件和系統(tǒng)的抗災(zāi)能力[1-3]。也有學(xué)者從調(diào)度角度出發(fā)，優(yōu)化配置配電網(wǎng)線(xiàn)路的輸電能力，使自然災(zāi)害引起的線(xiàn)路故障對(duì)供電區(qū)域的影響最小[4]。針對(duì)更加嚴(yán)重的自然災(zāi)害所產(chǎn)生的大范圍、復(fù)雜連鎖配電網(wǎng)故障，學(xué)者們提出了配電網(wǎng)彈性概念[5-8]，強(qiáng)調(diào)配電網(wǎng)應(yīng)具有在大范圍自然災(zāi)害后迅速恢復(fù)供電的能力。文獻(xiàn)[5]通過(guò)配置儲(chǔ)能提高配電網(wǎng)故障后孤島劃分的可靠性。文獻(xiàn)[6-7]研究了氣象災(zāi)害與配電網(wǎng)線(xiàn)路故障之間的關(guān)系，采用多場(chǎng)景和概率分析的方法，研究了配電網(wǎng)在多種大范圍自然災(zāi)害下的彈性表現(xiàn)，并提出強(qiáng)化措施。

然而，上述研究?jī)H考慮自然災(zāi)害發(fā)生之前的配電網(wǎng)規(guī)劃和運(yùn)行階段，只以提高配電網(wǎng)彈性指標(biāo)來(lái)預(yù)防自然災(zāi)害，忽視了故障后的供電恢復(fù)和檢修計(jì)劃所具有的社會(huì)經(jīng)濟(jì)效益。故障后供電恢復(fù)的前提是完成對(duì)配電網(wǎng)中受損線(xiàn)路的修復(fù)，而傳統(tǒng)配電網(wǎng)檢修計(jì)劃大多考慮的是非災(zāi)害場(chǎng)景[9]，對(duì)于自然災(zāi)害造成的大面積故障研究較少。

考慮自然災(zāi)害造成的配電網(wǎng)大范圍故障，本文提出了輻射狀配電網(wǎng)災(zāi)后修復(fù)計(jì)劃優(yōu)化方法以縮短負(fù)荷中斷時(shí)間。首先，分析了配電網(wǎng)彈性指標(biāo)與停電損失之間的關(guān)系；其次，以停電損失最小化為目標(biāo)函數(shù)，并采用軟優(yōu)先級(jí)約束建立配電網(wǎng)恢復(fù)供電修復(fù)計(jì)劃的混合整數(shù)規(guī)劃模型；最后，通過(guò)算例分析驗(yàn)證所提方法的有效性。

1 配電網(wǎng)彈性的定義與量化

配電網(wǎng)彈性要求配電網(wǎng)具有適應(yīng)自然災(zāi)害的功能，具體體現(xiàn)在預(yù)防、堅(jiān)強(qiáng)、充裕和恢復(fù)等四個(gè)方面。其中，充裕指的是人力資源，如檢修工作組充足；預(yù)防指的是規(guī)劃階段；堅(jiān)強(qiáng)性和可恢復(fù)能力均指運(yùn)行階段。

在具體工程領(lǐng)域，配電網(wǎng)彈性可由災(zāi)害后的運(yùn)行軌跡Q（t）來(lái)形象說(shuō)明（見(jiàn)圖1）[10]，圖中，縱坐標(biāo)代表災(zāi)害后配電網(wǎng)供電能力百分比，橫坐標(biāo)代表時(shí)間。Q（t）為圖1 中的虛線(xiàn)，代表災(zāi)害后隨著修復(fù)計(jì)劃的進(jìn)行，配電網(wǎng)供電能力也在慢慢恢復(fù)；實(shí)線(xiàn)代表故障前的供電能力，并用任意時(shí)刻t均滿(mǎn)足Q0（t）=1來(lái)表示。配電網(wǎng)的堅(jiān)強(qiáng)性，又稱(chēng)魯棒性，可以用災(zāi)害到來(lái)時(shí)的供電能力Q（0）來(lái)表示，Q（0）越大，代表配電網(wǎng)越堅(jiān)強(qiáng)。配電網(wǎng)恢復(fù)能力可以用Q（t）在時(shí)間段[0，T]上的積分表示，該積分值越大，代表災(zāi)害后的供電恢復(fù)規(guī)模越大，恢復(fù)能力越強(qiáng)。在本文中，由于研究對(duì)象為災(zāi)害后的配電網(wǎng)修復(fù)計(jì)劃，因此采用表征恢復(fù)效率的指標(biāo)R 來(lái)表示配電網(wǎng)彈性，具體定義如式（1）所示：

不直接去求指標(biāo)R 的最大值，選擇其他指標(biāo)也可以量化配電網(wǎng)修復(fù)的彈性，如：

圖1 災(zāi)害后運(yùn)行軌跡

式（2）也可以作為配電網(wǎng)修復(fù)的彈性指標(biāo)，該指標(biāo)代表了災(zāi)害發(fā)生后T 時(shí)間段內(nèi)，配電網(wǎng)損失供電能力的危害。配電網(wǎng)損失供電能力的危害也可以由負(fù)荷側(cè)進(jìn)行表述，即：

式中：n 表示節(jié)點(diǎn)編號(hào)；ωn代表節(jié)點(diǎn)n 上負(fù)荷的重要度指標(biāo)；Tn代表修復(fù)時(shí)間。據(jù)此，下文構(gòu)建的配電網(wǎng)修復(fù)計(jì)劃的目標(biāo)函數(shù)為最小化式（3），代表著最大化配電網(wǎng)彈性。

2 配電網(wǎng)模型

2.1 配電網(wǎng)模型

配電網(wǎng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)對(duì)災(zāi)害后的修復(fù)過(guò)程產(chǎn)生直接影響。配電網(wǎng)拓?fù)淇梢杂脠D論中的圖進(jìn)行表述，記為圖G；配電網(wǎng)節(jié)點(diǎn)集合用N 表示；邊集合用L 表示。由于配電網(wǎng)大多時(shí)間開(kāi)環(huán)運(yùn)行，本文假設(shè)配電網(wǎng)滿(mǎn)足輻射狀拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。S?N 代表配電網(wǎng)中的電源節(jié)點(diǎn)，D=N/S 代表負(fù)荷節(jié)點(diǎn)，LD代表故障線(xiàn)路，LI=L/LD代表非故障線(xiàn)路。每條故障線(xiàn)路l∈LD，均有修復(fù)時(shí)間pl 與其對(duì)應(yīng)。 如果1條線(xiàn)路出現(xiàn)故障，該線(xiàn)路下游的所有負(fù)荷將失去供電。此外，還假設(shè)每個(gè)修復(fù)工作組單獨(dú)對(duì)某條故障線(xiàn)路進(jìn)行作業(yè)，且在一個(gè)單位時(shí)間內(nèi)，修復(fù)工作組人員的位置移動(dòng)花費(fèi)時(shí)間很少，相比于修復(fù)工作時(shí)間可以忽略。

2.2 軟優(yōu)先級(jí)約束

以IEEE 13 節(jié)點(diǎn)配電系統(tǒng)模型說(shuō)明災(zāi)后修復(fù)計(jì)劃以及拓?fù)渲械能泝?yōu)先級(jí)約束。IEEE 13 節(jié)點(diǎn)配電系統(tǒng)模型如圖2（a）所示，假設(shè)故障前聯(lián)絡(luò)開(kāi)關(guān)閉合，災(zāi)害發(fā)生后，線(xiàn)路650-632，632-645，671-692，684-611 均出現(xiàn)故障導(dǎo)致供電中斷，此時(shí)安排修復(fù)計(jì)劃需要考慮受損線(xiàn)路之間的分層關(guān)系。從圖2（b）中可以發(fā)現(xiàn)，如果線(xiàn)路650-632 不被首先修復(fù)，則其余幾條故障線(xiàn)路的供電恢復(fù)速度都會(huì)被拖累；同時(shí)，若線(xiàn)路650-632 已經(jīng)修復(fù)，則其余3 條故障線(xiàn)路之間不存在明確的優(yōu)先級(jí)順序，因?yàn)檫@3 條線(xiàn)路均為650-632 下面的分支，彼此互不影響，這導(dǎo)致調(diào)度計(jì)劃模型中常用的優(yōu)先級(jí)約束不再適用。在本文中，故障線(xiàn)路之間存在的分層關(guān)系被定義為軟優(yōu)先級(jí)約束，區(qū)別于優(yōu)先級(jí)約束中不同對(duì)象間明確的前后關(guān)系，軟優(yōu)先級(jí)約束僅表達(dá)了不同對(duì)象間簡(jiǎn)單的分層結(jié)構(gòu)，同一個(gè)層次內(nèi)部的具體對(duì)象之間無(wú)法直接判斷其優(yōu)先級(jí)。

圖2 IEEE 13 節(jié)點(diǎn)配電系統(tǒng)

接下來(lái)從圖論的角度描述軟優(yōu)先級(jí)約束。節(jié)點(diǎn)n 恢復(fù)供電所需要的時(shí)間用En表示，完成線(xiàn)路l 恢復(fù)需要的時(shí)間用Cl表示（前文中的pl 僅代表修復(fù)1 條線(xiàn)路用的時(shí)間，而完成線(xiàn)路l 恢復(fù)的前提是所有軟優(yōu)先級(jí)高于l 的線(xiàn)路均已被修復(fù)）。線(xiàn)路l 的首節(jié)點(diǎn)用h（l）表示，尾節(jié)點(diǎn)t（l）用表示，功率由h（l）流向t（l），顯然，El=Et（l），據(jù)此建立節(jié)點(diǎn)和線(xiàn)路恢復(fù)供電時(shí)間之間的關(guān)系。類(lèi)似地，節(jié)點(diǎn)t（l）的負(fù)荷重要度ωt（l）也等價(jià)于線(xiàn)路l 的重要度ωt。

軟優(yōu)先級(jí)約束借助圖論中的元素可表示為i≤sj，代表線(xiàn)路j 無(wú)法在線(xiàn)路i 供電之前得到供電； 還可以用恢復(fù)供電所花費(fèi)的時(shí)間來(lái)表示，Ej≥Ei。對(duì)于任意一種可行的配電網(wǎng)災(zāi)后修復(fù)計(jì)劃，需滿(mǎn)足如下條件[11-13]：

3 基于混合整數(shù)規(guī)劃的災(zāi)后修復(fù)計(jì)劃

假設(shè)每條線(xiàn)路的故障修復(fù)時(shí)間均為整數(shù)，則配電網(wǎng)災(zāi)后修復(fù)計(jì)劃可以用混合整數(shù)規(guī)劃模型來(lái)描述。首先定義基于時(shí)間的整數(shù)變量和其中代表t 時(shí)刻線(xiàn)路l 被一個(gè)檢修工作小組修復(fù)中；代表t-1 時(shí)刻線(xiàn)路的修復(fù)工作已經(jīng)完成，t 時(shí)刻時(shí)線(xiàn)路l 已恢復(fù)供電；代表t 時(shí)刻時(shí)節(jié)點(diǎn)i 已恢復(fù)供電?？倳r(shí)間T 不能提前確定，但可以給定一個(gè)較大的數(shù)值，且不影響優(yōu)化結(jié)果。令并將其代入式（3），則本文所提優(yōu)化模型的目標(biāo)函數(shù)如式（5）所示：

該優(yōu)化模型包括檢修約束和網(wǎng)絡(luò)流約束兩方面。

3.1 檢修約束

檢修約束用來(lái)描述檢修工作小組人員的行為順序和對(duì)故障線(xiàn)路以及負(fù)荷供電狀態(tài)的影響。下面3 條約束用來(lái)初始化前文中的整數(shù)變量和

其中，式（6）代表災(zāi)后故障線(xiàn)路初始化狀態(tài)，式（7）代表災(zāi)后非故障線(xiàn)路狀態(tài)始終正常，式（8）代表電源節(jié)點(diǎn)狀態(tài)始終正常。

假設(shè)檢修工作小組的數(shù)量為m，則每個(gè)時(shí)刻被檢修的線(xiàn)路總數(shù)不能超過(guò)m，即：

由于每條線(xiàn)路的修復(fù)速度不同，1 條線(xiàn)路完成修復(fù)需要的時(shí)間為pl，在維修狀態(tài)累積不超過(guò)pl 時(shí)線(xiàn)路l 無(wú)法恢復(fù)供電，所以有如下約束：

3.2 網(wǎng)絡(luò)流約束

假設(shè)災(zāi)后恢復(fù)過(guò)程中，配電網(wǎng)線(xiàn)路潮流、節(jié)點(diǎn)電壓均能滿(mǎn)足安全運(yùn)行約束，那么配電網(wǎng)的潮流約束可以用標(biāo)準(zhǔn)網(wǎng)絡(luò)流約束進(jìn)行簡(jiǎn)化。

在上述約束條件共同作用下，可保證軟優(yōu)先級(jí)約束得到滿(mǎn)足[11]。

4 算例分析

采用圖2 中的IEEE 13 節(jié)點(diǎn)配電系統(tǒng)進(jìn)行算例分析。其中，線(xiàn)路數(shù)據(jù)見(jiàn)表1，節(jié)點(diǎn)負(fù)荷重要度采用0-1 之間的隨機(jī)數(shù)進(jìn)行模擬，對(duì)于其中的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)，其重要度設(shè)置為5，本算例中節(jié)點(diǎn)645 和684 為關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)。此外，檢修工作小組數(shù)量設(shè)置為2 個(gè)，總時(shí)刻數(shù)T 為33。模型采用MATLAB平臺(tái)的yalmip 工具箱求解，求解器為Cplex。

表1 線(xiàn)路數(shù)據(jù)

當(dāng)T=33 時(shí)，最后時(shí)刻整個(gè)配電網(wǎng)中全部負(fù)荷均恢復(fù)供電，此時(shí)目標(biāo)函數(shù)結(jié)果為152.376 5，計(jì)算時(shí)間3.14 s。恢復(fù)供電過(guò)程中，配電網(wǎng)彈性指標(biāo)（即目標(biāo)函數(shù)值）隨時(shí)間變化趨勢(shì)如圖3 所示，可見(jiàn)，0-10 h 配電網(wǎng)彈性指標(biāo)上升速度最快，從20 h 開(kāi)始彈性指標(biāo)漸漸趨于平穩(wěn)。指標(biāo)增速反映了災(zāi)后中止供電帶來(lái)的負(fù)荷損失量，指標(biāo)的增長(zhǎng)速度隨時(shí)間逐步變慢，說(shuō)明隨著更多的線(xiàn)路得到修復(fù)，配電網(wǎng)的負(fù)荷損失逐步減少，當(dāng)指標(biāo)平穩(wěn)后，配電網(wǎng)恢復(fù)供電，不存在負(fù)荷損失情況。圖3中算例計(jì)算出的運(yùn)行軌跡與圖1 分析結(jié)果一致，即負(fù)荷損失累積量與配電網(wǎng)供電恢復(fù)程度在變化趨勢(shì)上具有一致性，說(shuō)明所提出的基于混合整數(shù)規(guī)劃的配電網(wǎng)災(zāi)后修復(fù)計(jì)劃優(yōu)化模型準(zhǔn)確有效。此外，從計(jì)算效率上看，所提優(yōu)化模型具有較高的計(jì)算效率，同樣適用于彈性配電網(wǎng)以其他目標(biāo)函數(shù)最小化為目的的修復(fù)計(jì)劃。

圖3 彈性指標(biāo)隨時(shí)間變化情況

此外，觀察變量，第一批恢復(fù)供電的線(xiàn)路為650-632 和632-645，第二批為632-671 和671-684，其余不再贅述。 從前兩批恢復(fù)供電的線(xiàn)路看，該恢復(fù)過(guò)程滿(mǎn)足軟優(yōu)先級(jí)約束，且優(yōu)先恢復(fù)了重要度權(quán)重最大的負(fù)荷節(jié)點(diǎn)，證明所提方法現(xiàn)實(shí)有效。

5 結(jié)語(yǔ)

提出了彈性配電網(wǎng)災(zāi)后修復(fù)計(jì)劃的混合整數(shù)規(guī)劃模型，模型以中斷供電損失最小化為目標(biāo)函數(shù)，通過(guò)修復(fù)計(jì)劃邏輯約束和線(xiàn)路潮流約束共同作用，保證了修復(fù)過(guò)程中的軟優(yōu)先級(jí)約束。算例結(jié)果表明，所提優(yōu)化模型能夠準(zhǔn)確計(jì)算出配電網(wǎng)災(zāi)后恢復(fù)過(guò)程中彈性指標(biāo)隨時(shí)間提升的效果，所得恢復(fù)過(guò)程能夠滿(mǎn)足軟優(yōu)先級(jí)約束，且具有較高的計(jì)算效率。該方法同樣適用于其他目標(biāo)函數(shù)的配電網(wǎng)災(zāi)后修復(fù)計(jì)劃。