正弦壓力信號(hào)幅值測(cè)量無差算法研究

邰寒松 張大有

(北京航天計(jì)量測(cè)試技術(shù)研究所，北京100076)

1 引言

正弦壓力信號(hào)廣泛應(yīng)用于計(jì)量測(cè)試中[1]，北京航天計(jì)量測(cè)試技術(shù)研究所研制了正弦壓力源[2]，以該源為基礎(chǔ)，通過合理的設(shè)計(jì)，使標(biāo)準(zhǔn)壓力傳感器和被校壓力傳感器同時(shí)測(cè)量該壓力源的壓力，比較二者的幅值，可實(shí)現(xiàn)被校壓力傳感器幅值的校準(zhǔn)。為了提高幅值測(cè)量準(zhǔn)確性，本文提出了一種控制采樣頻率為標(biāo)準(zhǔn)激勵(lì)信號(hào)頻率整數(shù)倍的算法，可實(shí)現(xiàn)幅值的無差運(yùn)算。

正弦壓力校準(zhǔn)時(shí)，激勵(lì)信號(hào)和響應(yīng)信號(hào)都是正弦信號(hào)，任意正弦信號(hào)都可以表示為公式(1)

式中：A——幅值；ω——角頻率；t——時(shí)間；φ——相位。

本文提出的算法，針對(duì)式(1)中的幅值處理。

2 常見正弦壓力信號(hào)處理方法

目前關(guān)于正弦信號(hào)采樣復(fù)現(xiàn)的算法已經(jīng)有一些研究，比如三點(diǎn)法建立在三角函數(shù)變換基礎(chǔ)上時(shí)域中的數(shù)據(jù)擬合方法，頻域方法也稱能量矩平衡法通過FFT來實(shí)現(xiàn)，布涅曼(Buneman)方法則通過對(duì)離散信號(hào)進(jìn)行傅里葉變化然后插值擬合[3]來得出。

工程實(shí)踐中，數(shù)據(jù)處理軟件上最常用的是通用波形復(fù)現(xiàn)法，這是目前正弦壓力信號(hào)數(shù)據(jù)處理最常用的方法。該方法的處理步驟如下：

a)在示波坐標(biāo)系中將每一個(gè)采樣點(diǎn)表示然后依次連接，以復(fù)現(xiàn)波形；

b)取出其中的最大采樣值與最小采樣值，其差值的一半就作為幅值A(chǔ)；

c)相鄰的兩個(gè)極大采樣值之間的時(shí)間間隔就作為一個(gè)周期T；

d)確定周期以后再利用第一個(gè)極大采樣值就可以確定相位φ。

以上算法的結(jié)果如圖1所示，隨著采樣頻率的提高，由信號(hào)獲得的幅值、相位和周期的準(zhǔn)確度都能得到提高，但理論上，誤差始終存在。

圖1 通用波形復(fù)現(xiàn)法示意圖Fig.1 General method of reproducing waveform

3 正弦壓力信號(hào)幅值測(cè)量無差算法

校準(zhǔn)裝置產(chǎn)生的正弦壓力源可由公式(2)表征

式中：A0——標(biāo)準(zhǔn)信號(hào)源產(chǎn)生的正弦壓力的幅值；φ0——標(biāo)準(zhǔn)信號(hào)源產(chǎn)生的正弦壓力的相位。

傳感器的響應(yīng)信號(hào)由公式(3)表征

公式(2)、公式(3)的兩個(gè)正弦信號(hào)中，正弦壓力源的幅值A(chǔ)0、相位φ0為已知；傳感器響應(yīng)信號(hào)的幅值A(chǔ)、相位φ為未知，兩個(gè)信號(hào)的頻率一致，共用ω表示。

在測(cè)量傳感器響應(yīng)信號(hào)時(shí)，按公式(4)控制采樣系統(tǒng)頻率

式中：fS——系統(tǒng)采樣頻率；f——標(biāo)準(zhǔn)信號(hào)源產(chǎn)生的正弦壓力的頻率。

根據(jù)奈奎斯特采樣定理，N的最小值是2，工程上一般要求N最好不小于5～10。本文提出的算法的核心在于：將N嚴(yán)格控制為一個(gè)正整數(shù)，可以得到嚴(yán)格意義上沒有誤差的幅值結(jié)果。

假設(shè)，在t0時(shí)刻采樣系統(tǒng)第1次進(jìn)入采樣，采到第一個(gè)離散值是S1，該值可用公式(5)表征

隨后的N個(gè)連續(xù)的采樣數(shù)據(jù)，可以將它們按公式(6)表征

利用三角函數(shù)二倍角公式，注意到ω·Ts=ω·并記常數(shù) θ=2ωt0+2φ，整理可得公式(7)

為了得到公式(7)的值，構(gòu)造一個(gè)有N個(gè)元素的復(fù)數(shù)序列{rk}，如公式(8)所示

復(fù)數(shù)具有向量性質(zhì)?？梢栽趶?fù)平面上半徑為r的圓上畫出這一組復(fù)數(shù)向量，如圖2所示。由于這一個(gè)復(fù)數(shù)序列具有完備的對(duì)稱性[4]，其對(duì)應(yīng)的向量也具有完備的對(duì)稱性，所以對(duì)于任意大于等于2的正整數(shù)N，不論奇偶，公式(9)都成立。

利用歐拉公式ej·a=cosα+j·sinα，將公式(8)寫為三角形式可得公式(10)

這要求公式(10)表示的復(fù)數(shù)實(shí)部和虛部均為0，故公式(11)成立。

將該結(jié)果代回公式(7)，可得公式(12)

對(duì)公式(12)求解，可得公式(13)

公式(13)表明，當(dāng)采樣系統(tǒng)的采樣頻率控制為正弦壓力源頻率的正整數(shù)倍(N倍)時(shí)，傳感器響應(yīng)信號(hào)的幅值A(chǔ)可通過上式算出，得到的是一個(gè)在理論上沒有誤差的結(jié)果。

圖2 復(fù)數(shù)序列的向量表示示意圖Fig.2 Vectors of the complex sequence

4 算法的模擬運(yùn)算

為了驗(yàn)證該算法，利用MATLAB軟件進(jìn)行了模擬運(yùn)算。按公式(14)模擬產(chǎn)生了正弦信號(hào)源。按照本文提出的算法和通用波形復(fù)現(xiàn)法分別對(duì)該信號(hào)源進(jìn)行了數(shù)據(jù)采集。

由公式(14)，正弦信號(hào)源的頻率是1/7Hz，以N=7進(jìn)行采樣，根據(jù)軟件模擬，依次采樣得到的7個(gè)點(diǎn)如圖3所示，將該數(shù)據(jù)列表表示，如表1所示。

法國(guó)心理學(xué)家勒龐認(rèn)為，人一到群體中就變得低智商、非理性、易盲從，于是他把人群稱為“烏合之眾”，著有著名的暢銷書《烏合之眾：大眾心理研究》，這本書在國(guó)內(nèi)也備受推崇。勒龐的看法只是一家之言，未見得便是真理，譬如與他同時(shí)代的另一位法國(guó)心理學(xué)家塔爾德便提出了幾乎相反的觀點(diǎn)。但個(gè)體受群體影響，卻是沒有疑義的。

表1 7個(gè)采樣點(diǎn)數(shù)據(jù)列表Tab.1 Data of 7 sampling points

采用通用波形復(fù)現(xiàn)法，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理的結(jié)果如圖4，該方法得到的幅值測(cè)量值為2A=S2-S6=9.638 048 448，即A=4.819 024 224。

圖3 采樣數(shù)據(jù)示意圖Fig.3 Data of the sampling points

圖4 通用波形復(fù)現(xiàn)示意圖Fig.4 General method of reproducing waveform

5 算法適用范圍

以上討論中，正弦信號(hào)源是單頻信號(hào)。但在動(dòng)態(tài)壓力校準(zhǔn)中，除了單頻模式，還有掃頻信號(hào)作為標(biāo)準(zhǔn)激勵(lì)信號(hào)，即掃頻校準(zhǔn)模式。如果進(jìn)行掃頻校準(zhǔn)，標(biāo)準(zhǔn)信號(hào)就不再是單頻信號(hào)，一般地可以表示為公式(15)

若想向類似算法靠攏時(shí)，由于信號(hào)源的頻率發(fā)生了改變，就與單頻信號(hào)有很大區(qū)別。

5.1 等間隔采樣

可采用與單頻標(biāo)準(zhǔn)信號(hào)時(shí)完全類似的推導(dǎo)過程，唯一區(qū)別即信號(hào)的頻率是一個(gè)變化值，但正因此最終無法得出類似的結(jié)論。

5.2 變頻采樣

若使用變頻采樣，即采樣系統(tǒng)的采樣頻率隨標(biāo)準(zhǔn)信號(hào)的頻率產(chǎn)生變化，如公式(16)所示

式中：fs(t)——系統(tǒng)采樣頻率隨時(shí)間變化的函數(shù)；f(t)——標(biāo)準(zhǔn)信號(hào)源產(chǎn)生的正弦壓力的頻率隨時(shí)間變化的函數(shù)；ω(t)——標(biāo)準(zhǔn)信號(hào)源產(chǎn)生的正弦壓力的角頻率隨時(shí)間變化的函數(shù)。

一般設(shè)定每?jī)蓚€(gè)采樣點(diǎn)之間的采樣間隔取為后一個(gè)采樣點(diǎn)時(shí)刻采樣頻率的倒數(shù)，即公式(17)

若記 ω(tk)=ωk，則在tk時(shí)刻滿足 ωkTSk=

假設(shè)在t0時(shí)刻采樣系統(tǒng)第1次進(jìn)入采樣，即，采到的第一個(gè)值是S1，將一系列采樣值記為公式(18)

其中任一項(xiàng)的采樣值記為公式(19)。

將公式(19)進(jìn)一步化簡(jiǎn)，需要拆分括號(hào)內(nèi)的相乘的部分，將公式(19)的前一項(xiàng)單獨(dú)列出，記為公式(20)

要讓它們之間形成聯(lián)系，于是就涉及到掃頻方式?jīng)Q定的角頻率變化規(guī)律，分為線性掃頻和非線性掃頻兩種情況進(jìn)行討論。

5.2.1 線性掃頻

設(shè)f(t)=f0+f·t，則在tk-1時(shí)刻，ωk-1=ω0+ωtk-1，在tk時(shí)刻，ωk=ω0+ωtk，則公式(21) 成立

公式(21)是一個(gè)類似數(shù)列的迭代關(guān)系，不能使得公式(20)的各采樣數(shù)據(jù)之間形成有規(guī)律的數(shù)學(xué)關(guān)系。

5.2.2 非線性掃頻

非線性掃頻的頻率變化規(guī)律通常為指數(shù)或?qū)?shù)，設(shè)f(t)=f0·ep·t，則在tk-1時(shí)刻，ωk-1=ω0·ep·tk-1，在tk時(shí)刻，ωk=ω0·ep·tk，則公式(22) 成立

公式(22)形成了一個(gè)迭代關(guān)系，不能使得公式(20)的采樣數(shù)據(jù)之間形成有規(guī)律的數(shù)學(xué)關(guān)系。

根據(jù)以上簡(jiǎn)單的討論，對(duì)掃頻信號(hào)，本文提出的算法還不適用。

6 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

在工作平臺(tái)軟件上加入了上面提到的算法。其算法實(shí)現(xiàn)局部如圖5所示。

在實(shí)驗(yàn)中，首先仍然采用Labview自帶仿真信號(hào)，對(duì)3種不同的信號(hào)各分別重復(fù)實(shí)驗(yàn)10次，控制的采樣頻率與信號(hào)頻率之間的比值也有所不同。程序前面板如圖6所示。

圖5 無差算法實(shí)現(xiàn)局部Fig.5 Program of the error-free algorithm

圖6 無差算法實(shí)現(xiàn)前面板Fig.6 Front panel of the error-free algorithm

所得實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表2所示。

表2 重復(fù)仿真實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)Tab.2 Simulation experimental data

續(xù)表2

對(duì)比可知，本文提出的新算法的無差性仍然成立。而目前工作程序所使用的Labview自帶的“幅值和電平.vi”程序存在測(cè)量誤差。這與上面的分析一致。

然后將圖5的局部加入工作軟件，采用實(shí)際信號(hào)輸入，重做上述實(shí)驗(yàn)，同樣進(jìn)行10次，執(zhí)行數(shù)據(jù)如表3所示。

表3 工作平臺(tái)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)Tab.3 Data from the work platform

可以看出，實(shí)際壓力信號(hào)由于存在噪聲干擾或氣源不穩(wěn)定等因素，新算法的無差性受到了影響。但是對(duì)比可知，無差算法有以下改進(jìn)：

(1)誤差更小

利用無差算法的結(jié)果由于抹去了算法上的系統(tǒng)誤差，僅受系統(tǒng)噪聲等干擾，所以其最終的計(jì)算誤差比起系統(tǒng)自帶算法明顯減小。

(2)誤差穩(wěn)定性更好

在重復(fù)實(shí)驗(yàn)中，利用新算法得到結(jié)果的誤差保持在一個(gè)相當(dāng)小的穩(wěn)定水準(zhǔn)，而且經(jīng)過大量實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)這個(gè)計(jì)算誤差受到噪聲大小的影響不大；而系統(tǒng)自帶算法的測(cè)量誤差波動(dòng)較大，并且嚴(yán)重受到噪音大小的影響。這可能是因?yàn)楦鶕?jù)公式(13)，無差算法的計(jì)算公式具有類似均方根的性質(zhì)，這對(duì)噪聲的干擾有一個(gè)抑制的作用。

綜上所述，無差算法的應(yīng)用可以大幅降低實(shí)際校準(zhǔn)中幅值測(cè)量的誤差。

7 結(jié)束語

本文提出了一種提高正弦信號(hào)幅值測(cè)量準(zhǔn)確度的新算法，其關(guān)鍵點(diǎn)是通過控制采樣頻率為激勵(lì)信號(hào)頻率的正整數(shù)倍，可在理論上實(shí)現(xiàn)幅值測(cè)量沒有誤差。

本文提出的算法，目前僅適用單頻校準(zhǔn)，不適合掃頻校準(zhǔn)。