基于靈敏度分析的車軌系統(tǒng)參數(shù)同步識(shí)別方法

葉 玲，朱宏平，翁 順

(華中科技大學(xué) 土木工程與力學(xué)學(xué)院，湖北 武漢 430074)

城市地鐵軌道系統(tǒng)逐漸成為現(xiàn)代交通的中堅(jiān)力量，而車輛荷載是引起地鐵軌道振動(dòng)的主要來(lái)源，軌道參數(shù)的變化(結(jié)構(gòu)損傷等)必然會(huì)加大車輛系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng)，車輛系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)的變化反過(guò)來(lái)又會(huì)影響軌道結(jié)構(gòu)的安全，對(duì)車輛參數(shù)和軌道參數(shù)的實(shí)時(shí)識(shí)別和監(jiān)控是保障城市交通正常運(yùn)作的關(guān)鍵。近年來(lái)，國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者對(duì)車輛-軌道交互系統(tǒng)參數(shù)識(shí)別進(jìn)行了大量的研究，通過(guò)結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)識(shí)別車輛、軌道參數(shù)，并將軌道參數(shù)的變化用于軌道結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別。Jiang等[1]基于遺傳算法識(shí)別橋梁結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)車輛參數(shù)。Zhan等[2]通過(guò)軌道動(dòng)力響應(yīng)及其靈敏度分析識(shí)別軌道損傷位置和程度。由于實(shí)際工程中，難以直接將傳感器安裝在軌道結(jié)構(gòu)上獲得結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)，越來(lái)越多的學(xué)者展開基于車輛動(dòng)力響應(yīng)識(shí)別結(jié)構(gòu)損傷的方法研究[3～5]。在使用車輛響應(yīng)進(jìn)行損傷識(shí)別時(shí)，車輛自身的參數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別有很大影響，因此，Jiang等[6]提出了一種基于遺傳算法的參數(shù)識(shí)別方法，識(shí)別簡(jiǎn)化為移動(dòng)質(zhì)量塊的車輛參數(shù)。Deng等[7]提出一種基于遺傳算法的車輛參數(shù)識(shí)別方法，準(zhǔn)確地識(shí)別出了兩種簡(jiǎn)易車輛模型的參數(shù)。隨后，Au等[8]提出了一種基于遺傳算法的改進(jìn)多步優(yōu)化算法，該算法以車輛加速度響應(yīng)為基礎(chǔ)，識(shí)別出了整車模型參數(shù)。Kraft等[9]基于相合狀態(tài)法，提出了一種識(shí)別非線性多體車輛模型參數(shù)的方法。

上述方法僅對(duì)車軌交互系統(tǒng)中的車輛參數(shù)或者軌道參數(shù)進(jìn)行識(shí)別，忽略了系統(tǒng)參數(shù)同時(shí)變化的情況，這不符合車軌交互影響的實(shí)際情況，需要對(duì)車輛參數(shù)和軌道參數(shù)進(jìn)行同時(shí)識(shí)別。但是，由于車輛參數(shù)和軌道參數(shù)差異大，很難對(duì)其進(jìn)行同步識(shí)別。因此Lu等[10]用移動(dòng)力替代車輛荷載，將車輛參數(shù)識(shí)別轉(zhuǎn)換成對(duì)切比雪夫多項(xiàng)式參數(shù)的識(shí)別，實(shí)現(xiàn)了對(duì)結(jié)構(gòu)參數(shù)和力的同時(shí)識(shí)別。此類方法將車輛荷載簡(jiǎn)化為移動(dòng)力，不考慮車輛軌道之間的交互作用，忽略了車輛參數(shù)變化對(duì)軌道參數(shù)的影響，這樣簡(jiǎn)化會(huì)降低軌道結(jié)構(gòu)參數(shù)的識(shí)別精度。

車軌交互系統(tǒng)包含車輛、軌道等不同類型參數(shù)，待識(shí)別參數(shù)多、差異大。為了實(shí)現(xiàn)不同類型車軌系統(tǒng)參數(shù)識(shí)別，本文提出了一種基于車輛動(dòng)力響應(yīng)靈敏度分析的車輛和軌道參數(shù)同步識(shí)別方法。在每個(gè)迭代步中，將識(shí)別出的軌道參數(shù)帶入原系統(tǒng)方程，作為輸入條件，識(shí)別車輛參數(shù)，對(duì)識(shí)別結(jié)果進(jìn)行目標(biāo)函數(shù)收斂條件判斷，如滿足條件，迭代完成，得到最終參數(shù)識(shí)別值，如不滿足條件，則進(jìn)入下一個(gè)迭代步，重新進(jìn)行迭代識(shí)別，直到滿足目標(biāo)函數(shù)的收斂條件。同時(shí)，在迭代識(shí)別過(guò)程中，對(duì)軌道參數(shù)和車輛參數(shù)分別設(shè)置參數(shù)收斂條件，因?yàn)閰?shù)收斂條件基于參數(shù)自身的識(shí)別結(jié)果，互不影響，一旦有參數(shù)滿足收斂條件，則該參數(shù)停止迭代，加快了整個(gè)迭代過(guò)程，提高了識(shí)別效率。最后通過(guò)對(duì)一個(gè)車軌交互系統(tǒng)數(shù)值算例進(jìn)行參數(shù)識(shí)別，并與傳統(tǒng)識(shí)別方法相比較，驗(yàn)證了算法的正確性和高效性。

1 車輛-軌道交互系統(tǒng)模型

1.1 車輛系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程

用一個(gè)三參數(shù)單自由度的車輛模型模擬車輛-軌道交互系統(tǒng)中的車輛，如圖1所示。車輛系統(tǒng)振動(dòng)方程可表示為：

(1)

根據(jù)力的平衡定律，輪軌接觸力Fvr可表示為：

(2)

式中：g為重力加速度；x(t)為車輛在軌道上的位置，如圖1(圖中A1為測(cè)量點(diǎn))所示；y(x(t))為輪軌接觸點(diǎn)x(t)處鋼軌的豎向位移；r(x(t))為輪軌接觸點(diǎn)處的軌道位移不平順參數(shù)，具體將在第1.3節(jié)介紹。

圖1 車輛-軌道耦合系統(tǒng)模型

1.2 軌道系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程

地鐵軌道系統(tǒng)主要由鋼軌、軌枕、扣件和道床板組成，由于軌枕和道床板完全聯(lián)結(jié)在一起，其振動(dòng)主要體現(xiàn)在鋼軌的振動(dòng)上，因此本文用一個(gè)離散點(diǎn)支撐的Euler-Bernoulli梁模擬軌道結(jié)構(gòu)，如圖1所示。將軌道結(jié)構(gòu)劃分為N個(gè)單元，共N+1個(gè)節(jié)點(diǎn)，3N個(gè)自由度。軌道結(jié)構(gòu)振動(dòng)方程可表示為：

(3)

(4)

式中：l為第q個(gè)單元的單元長(zhǎng)度；x(t)為車輛t時(shí)刻通過(guò)的軌道結(jié)構(gòu)的長(zhǎng)度，其范圍為0≤x(t)≤l；Hrq為第q個(gè)單元的形函數(shù)。軌道系統(tǒng)的形函數(shù)為一個(gè)3N×1向量，可表示為Hr=[0 0 …Hrq… 0]T。

鋼軌阻尼采用瑞尼阻尼，表示為鋼軌質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的線性組合，即[Cr]=α[Mr]+β·[Kr]，α和β分別為瑞尼阻尼系數(shù)，根據(jù)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)原理[11]，計(jì)算如下：

(5)

式中：η1，η2分別為軌道的一階和二階頻率；ξ1，ξ2分別為軌道相關(guān)的一階和二階阻尼比。

1.3 軌道不平順

本文采用余弦函數(shù)表示鋼軌焊接接頭和鋼軌波磨形狀[12]，即軌道位移不平順參數(shù)表達(dá)為：

(6)

式中：V為車輛行駛速度；μ，ζ分別為軌道位移不平順的波深和波長(zhǎng)，根據(jù)軌道線路實(shí)地測(cè)量獲得[13]；L為實(shí)際的軌道位移不平順長(zhǎng)度。

1.4 車輛-軌道交互系統(tǒng)振動(dòng)方程

假設(shè)車輪與鋼軌之間始終不出現(xiàn)脫軌現(xiàn)象，結(jié)合式(1)～(3)，可以得到車輛-軌道交互系統(tǒng)振動(dòng)方程，表示為：

(7)

式(7)可通過(guò)Newmark數(shù)值方法計(jì)算得到。

2 車輛-軌道交互系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)靈敏度分析

2.1 軌道參數(shù)和車輛參數(shù)的定義

將軌道參數(shù)定義為軌道系統(tǒng)鋼軌的單元?jiǎng)偠龋瑢?duì)軌道參數(shù)的識(shí)別即為對(duì)鋼軌單元?jiǎng)偠鹊淖R(shí)別。定義為：

(8)

(9)

由于軌道剛度矩陣Kr是由軌道結(jié)構(gòu)單元的剛度EI組成的，將式(9)代入軌道剛度矩陣表達(dá)式中，即可得到軌道剛度矩陣關(guān)于剛度相對(duì)變化量的靈敏度?Kr/?γi。

定義待識(shí)別車輛參數(shù)為B=[mv,kv,cv]，對(duì)于第j個(gè)待識(shí)別車輛參數(shù)Bj，定義為：

(10)

(11)

則車輛-軌道交互系統(tǒng)的參數(shù)識(shí)別，實(shí)際上就是對(duì)軌道系統(tǒng)鋼軌單元?jiǎng)偠茸兓亢蛙囕v系統(tǒng)各車輛參數(shù)相對(duì)變化量的同時(shí)識(shí)別，即對(duì)系統(tǒng)參數(shù)相對(duì)變化量組成的向量λ=[a1,a2,...,ai,ε1,ε2,ε3]T的識(shí)別。

2.2 車輛-軌道交互系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)關(guān)于系統(tǒng)參數(shù)的靈敏度

式(7)兩邊同時(shí)對(duì)第i個(gè)軌道單元?jiǎng)偠认鄬?duì)變化量γi求一階偏導(dǎo)，可得車輛-軌道交互系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)關(guān)于第i個(gè)軌道單元?jiǎng)偠认鄬?duì)變化量γi的靈敏度方程為：

(12)

從式(12)可以看出，等式左邊mv，cv，kv，Hr都與γi無(wú)關(guān)，等式右邊r(x(t))也與γi無(wú)關(guān)，只有Cr和Kr與γi相關(guān)，由于鋼軌阻尼矩陣為鋼軌質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的線性組合，可得：

(13)

式(12)可化簡(jiǎn)為：

(14)

同理，對(duì)于待修正車輛參數(shù)的相對(duì)變化量ε，車輛-軌道交互系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)關(guān)于第j個(gè)車輛參數(shù)的相對(duì)變化量εj的靈敏度方程可以表達(dá)為：

(15)

根據(jù)公式中各項(xiàng)是否與第j個(gè)車輛參數(shù)的相對(duì)變化量相關(guān)，以第一個(gè)車輛參數(shù)mv為例，等式左邊cv，kv，Mr，Cr，Kr都與ε1(第一個(gè)車輛參數(shù)Mc的相對(duì)變化量)無(wú)關(guān)，等式右邊形函數(shù)Hr和r(x(t))也與ε1無(wú)關(guān)，只有mv與ε1有關(guān)，即：

(16)

(17)

(18)

將式(16)～(18)帶入式(15)，車輛-軌道交互系統(tǒng)關(guān)于第一個(gè)車輛參數(shù)的相對(duì)變化量ε1的靈敏度方程可表達(dá)為：

(19)

同樣可以得到系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)關(guān)于車輛其他參數(shù)的靈敏度方程。式(19)也可通過(guò)Newmark數(shù)值方法計(jì)算得到。

3 基于車輛動(dòng)力響應(yīng)靈敏度分析的系統(tǒng)參數(shù)識(shí)別

3.1 基于車輛動(dòng)力響應(yīng)的參數(shù)識(shí)別

為了實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)參數(shù)相對(duì)變化量組成的向量λ的識(shí)別，本文提出的基于車輛加速度響應(yīng)靈敏度分析的系統(tǒng)參數(shù)識(shí)別方法，將通過(guò)有限元模型計(jì)算得到的車輛加速度響應(yīng)與測(cè)量得到的車輛加速度響應(yīng)的殘差作為目標(biāo)函數(shù)J，表示為：

(20)

根據(jù)罰函數(shù)法[14]，基于靈敏度方程的參數(shù)識(shí)別過(guò)程可以表示為：

(21)

3.2 車輛參數(shù)和軌道參數(shù)同時(shí)識(shí)別方法

由于車輛參數(shù)和軌道參數(shù)差異大，對(duì)車輛動(dòng)力響應(yīng)的靈敏度權(quán)重不一致，同步迭代容易出現(xiàn)誤差，甚至無(wú)法完成識(shí)別。本文提出了一種基于車輛動(dòng)力響應(yīng)靈敏度分析的車輛和軌道參數(shù)同步識(shí)別方法，識(shí)別具體步驟如下：

步驟2：當(dāng)?shù)螖?shù)k=1時(shí)，利用式(14)計(jì)算車輛加速度響應(yīng)關(guān)于待識(shí)別軌道參數(shù)γ的靈敏度矩陣S。利用式(21)計(jì)算出當(dāng)前迭代步的待識(shí)別軌道參數(shù)γk。

步驟3：根據(jù)步驟2識(shí)別出的軌道參數(shù)γk，得到新的鋼軌單元?jiǎng)偠?，形成新的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程式(7)，重復(fù)步驟1得到新的目標(biāo)函數(shù)J。

步驟4：利用式(19)計(jì)算車輛加速度響應(yīng)關(guān)于待識(shí)別車輛參數(shù)ε的靈敏度矩陣S。利用式(21)計(jì)算出當(dāng)前迭代步的待識(shí)別車輛參數(shù)εk。

綜上所述，基于車輛動(dòng)力響應(yīng)的車輛參數(shù)和軌道參數(shù)同步識(shí)別方法的具體流程如圖2所示。

圖2 車輛-軌道交互系統(tǒng)參數(shù)識(shí)別流程

4 車輛-軌道交互系統(tǒng)參數(shù)識(shí)別數(shù)值算例

如圖1所示車輛-軌道交互系統(tǒng)，車輛模型各參數(shù)為mv=2500 kg，cv=1000 N/(m/s)和kv=6.0×105N/m。軌道結(jié)構(gòu)用離散點(diǎn)支撐梁模擬，總長(zhǎng)為100 m，軌道結(jié)構(gòu)劃分為N=100個(gè)單元，每個(gè)單元長(zhǎng)度為l=1 m，則軌道結(jié)構(gòu)共有101個(gè)節(jié)點(diǎn)，303個(gè)單元。軌道結(jié)構(gòu)各參數(shù)為：楊氏模量E=33 GPa，截面面積A=600 mm×1000 mm，密度ρ=2.5×103kg/m3，泊松比μ=0.15。車輛從軌道左側(cè)勻速通過(guò)軌道，車速設(shè)為恒速20 m/s。軌道不平順波長(zhǎng)、波深分別為0.1 ，0.4 mm。軌道不平順的時(shí)程曲線見圖3。A1表示測(cè)點(diǎn)位置，如圖1所示，給出車體測(cè)量加速度響應(yīng)。本文軌道參數(shù)和車輛參數(shù)收斂條件Tolerance1和Tolerance2分別取為1×10-4和1×10-6，目標(biāo)函數(shù)收斂條件取為1×10-10。

圖3 軌道不平順時(shí)程曲線

為了驗(yàn)證基于車輛動(dòng)力響應(yīng)靈敏度分析的車輛和軌道參數(shù)同步識(shí)別方法的正確性，假設(shè)軌道結(jié)構(gòu)第3，22，81單元?jiǎng)偠仍诔跏紕偠鹊幕A(chǔ)上分別發(fā)生了15%，30%，20%的折減，車輛系統(tǒng)三個(gè)參數(shù)都發(fā)生了10%的折減，分三種工況進(jìn)行比較分析，工況1不考慮噪聲影響，工況2加了1%的噪聲，工況3加了5%的噪聲。表1給出了系統(tǒng)參數(shù)識(shí)別的三種工況。本文測(cè)量噪聲用一組正態(tài)隨機(jī)分布數(shù)據(jù)進(jìn)行模擬，加了噪聲之后的車輛測(cè)量加速度響應(yīng)可表示為：

(22)

表1 軌道系統(tǒng)參數(shù)識(shí)別的各種工況

圖4 軌道參數(shù)相對(duì)變化量識(shí)別結(jié)果

表2 單元?jiǎng)偠认鄬?duì)變化量以及相應(yīng)的誤差 %

表3 車輛參數(shù)相對(duì)變化量以及相對(duì)誤差 %

表4列出了第一種工況下，通過(guò)本文方法和傳統(tǒng)方法識(shí)別系統(tǒng)參數(shù)所用時(shí)間，車輛參數(shù)與軌道參數(shù)完成收斂所需次數(shù)的對(duì)比結(jié)果。從表4可以看出，通過(guò)本文方法需11步完成整個(gè)迭代過(guò)程，但只需要4步就完成了車輛參數(shù)的識(shí)別，系統(tǒng)參數(shù)識(shí)別總共用時(shí)64.7 s，通過(guò)傳統(tǒng)方法，需迭代13步完成識(shí)別，總共用時(shí)129.6 s，是本文算法的2.01倍，這是由于本文方法將不同類型的參數(shù)設(shè)為獨(dú)立項(xiàng)，交叉進(jìn)行迭代識(shí)別，因?yàn)槭諗織l件基于參數(shù)自身的識(shí)別結(jié)果，互不影響，故先完成迭代的參數(shù)可提前跳出迭代循環(huán)，加快了整個(gè)迭代過(guò)程，提高了識(shí)別效率。當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)類型更多，差異更大時(shí)，交叉迭代識(shí)別方法將具有更大優(yōu)勢(shì)。

表4 兩種算法的CPU時(shí)間

5 結(jié) 論

針對(duì)車軌交互系統(tǒng)參數(shù)差異大的難題，本文提出了一種基于車輛動(dòng)力響應(yīng)靈敏度分析的車輛和軌道參數(shù)同步識(shí)別方法。從對(duì)車輛-軌道交互系統(tǒng)的數(shù)值分析結(jié)果，可以得到以下結(jié)論：

(1)基于車輛動(dòng)力響應(yīng)靈敏度分析的方法可以用于同步識(shí)別車輛參數(shù)和軌道參數(shù)；

(2)提出的同步識(shí)別方法在識(shí)別軌道參數(shù)時(shí)考慮車輛參數(shù)變化的影響，能高精度識(shí)別系統(tǒng)中參數(shù)的變化用于損傷識(shí)別；

(3)交叉迭代優(yōu)化算法不受待識(shí)別參數(shù)類型、個(gè)數(shù)的影響，無(wú)需預(yù)設(shè)各參數(shù)在系統(tǒng)響應(yīng)靈敏度中的參與權(quán)重，與傳統(tǒng)識(shí)別方法相比，計(jì)算效率也有明顯提高。