渦街提頻振蕩水柱驅(qū)動壓電發(fā)電理論分析

杜小振，李周杰，康 輝，張 咪，于 紅

(1.山東科技大學 機械電子工程學院，山東 青島 266590；2.中國石油大學(華東) 理學院,山東 青島 266580)

0 引言

研究微小型波浪驅(qū)動發(fā)電實現(xiàn)遠海無線監(jiān)測節(jié)點供能具有重要意義[1]。早期研究以波浪能驅(qū)動空氣透平法拉第電磁發(fā)電為主[2]，近年來，利用具有機電耦合效應壓電功能材料發(fā)電代替電磁發(fā)電，結(jié)構(gòu)簡單，易小型化[3]，但波浪頻率低，轉(zhuǎn)化效率和發(fā)電功率低，研究發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)輸出能量隨壓電諧響應頻率提高而增加[4]。為此，林政[5]設計了機械增頻式波浪壓電發(fā)電裝置，將1 Hz入射波增頻達到29.5 Hz的激振頻率，并作用于壓電發(fā)電懸臂梁發(fā)電結(jié)構(gòu)上。流場中基于卡門渦街效應形成流體激振頻率有利于提高振動頻率并驅(qū)動壓電發(fā)電微電源能量轉(zhuǎn)換效率和輸出電量。Rui Zhang等[6]利用氧化鋅(ZnO)、Jie He等[7]利用鋯鈦酸鉛(PZT)壓電材料相繼提出基于卡門渦街效應風能驅(qū)動納米發(fā)電供能的風速測量儀。Marco Demori等[8]設計實現(xiàn)了渦街激振壓電發(fā)電為流速和溫度傳感節(jié)點供能，可提供100 μW電量。文晟等[9]采用亥姆赫茲諧振腔作為風壓諧振放大和渦脫頻率調(diào)節(jié)裝置研究基于卡門渦街效應的風力壓電浮能器，測試輸出電能達13.6 mW。本文在卡門渦街激振研究基礎上提出利用波浪進入振蕩水柱(OWC)氣室壓縮氣體產(chǎn)生的周期性氣流，經(jīng)卡門渦街繞流圓柱鈍體產(chǎn)生高頻氣壓，驅(qū)動壓電鈸發(fā)電。

1 OWC氣室出口氣流理論分析

基于卡門渦街效應提頻的OWC驅(qū)動壓電發(fā)電裝置示意圖如圖1所示。圖1中，Po為壓力采集管出口壓強；Pi為壓力采集管入口壓強；V為換能氣室體積；v為氣室頂部出口排出氣體流速；da為鈸型壓電振子外徑；db為鈸型壓電振子內(nèi)腔頂部直徑；dc為鈸型壓電振子內(nèi)腔直徑。推導了氣室內(nèi)的水動力學計算模型并分析了氣室出口處的氣體流速。計算了氣體流經(jīng)鈍體產(chǎn)生高頻卡門渦街激振空氣壓力，并驅(qū)動鈸型壓電發(fā)電輸出電能。

圖1 渦街提頻振蕩水柱驅(qū)動壓電發(fā)電

1.1 氣室壓強求解

振蕩水柱波浪能采集氣室為半潛箱體，假定流體均勻，不可壓縮，無粘性，無旋，忽略表面張力，則流場內(nèi)速度勢Φ可定義為

(1)

對式(1)中的速度勢求偏導運算，即

(2)

假設Φ在氣室內(nèi)、外域銜接區(qū)滿足壓力與速度連續(xù)條件，應用格林函數(shù)計算規(guī)則線性波流場內(nèi)的Φ為入射勢Φi與散射勢Φj的疊加[10]：

Φ=Φi+Φj

(3)

在有限水深單一頻率、單一方向入射波作用下，Φi為[11]

(4)

式中：h為水深；k，β分別為入射波波數(shù)和方向角。

波高為H時，入射波引起的Φj[12]為

Φj=?SHoσSG(P;Q)dS

(5)

σS由第二類Fredholm方程[13]及滿足邊界條件用離散化數(shù)值方法求解，則有

(6)

在內(nèi)、外域銜接處，應滿足流體速度與壓力連續(xù)條件，保證內(nèi)、外域銜接條件為

(7)

式中：n0為內(nèi)域法向量；n1為外域法向量，n0=n1。

格林函數(shù)解有初始條件或邊界條件的非齊次微分方程，求解速度勢，Wehausen和Laiton[14]以三維脈動源的形式給出了滿足邊界條件的Green函數(shù)：

(8)

G(x,t,x0,τ)=δ(t-τ)G0+Gf(x,t,x0,τ)

(9)

cosh[k(z+h)]J0(kR)dk

(10)

[F(X,Y-Z,T)+F(X,2-

Y-Z,T)]

(11)

(12)

cosh(kV)J0(kX)dk

(13)

當X>1時，使用Fourier級數(shù)將F0表示[16]為

(14)

當0≤X≤1時，采用切比雪夫多項式逼近F0為

(15)

式中bmn為分析Green函數(shù)在各種參數(shù)范圍內(nèi)的插值系數(shù)。

n=0,1,2,3,4，…

(16)

(17)

式中：m=1,2,3,4，…;n=0,1,2,3，…。

F(X,V,T)=F+(F-F)

(18)

(19)

F-F

(20)

式中Re表示復數(shù)的實部

假設OWC氣室內(nèi)的氣室壓強隨振蕩水柱一起按正弦函數(shù)變化，且與氣室內(nèi)液面振蕩速度成正比，壓強求解式[17]為

(21)

式中τ為氣室空氣沉降振蕩有效阻尼系數(shù)。

1.2 OWC氣室出口流速求解

波浪進入OWC內(nèi)形成振蕩水柱，其往復運動驅(qū)動氣室內(nèi)空氣產(chǎn)生振蕩壓強。忽略空氣的可壓縮性[18]，通過氣室頂端出口處的氣體體積流量Q(t)與氣體壓強P(t)為正比關(guān)系：

(22)

式中：ρ為水的密度；β為透平系數(shù)；Ra為頂部出口半徑。

氣室模型結(jié)構(gòu)尺寸為1.2 m×1.0 m×1.5 m，水深1 m，氣室前墻吃水深為0.3 m，入射周期T=0.85 s，氣室前墻與氣室波面達到共振[19]，氣室壓強峰值達到65 Pa。共振時流量最大，氣室出口流量與流速、壓強成正比。

2 氣室出口卡門渦激高頻激勵分析

振蕩水柱在氣室內(nèi)驅(qū)動空氣流動壓強頻率與波浪頻率一致，壓縮空氣流經(jīng)鈍體形成渦街高頻氣流，其能量轉(zhuǎn)換裝置如圖1所示。氣流經(jīng)鈍體后產(chǎn)生壓差為Pa=(Pi-Po), 假設能量轉(zhuǎn)換氣室中為可壓縮、剛性氣體；壓力采集管中為不可壓縮、剛性氣體，則壓電換能氣室空氣壓強和鈸形壓電振子激振頻率求解過程如下[20]：

流體的體積彈性模量比Ea為

(23)

氣室內(nèi)空氣體積的變化與壓強的關(guān)系為

(24)

利用流體的連續(xù)方程可得

(25)

式中：do為壓力采集管直徑；v為壓力采集管內(nèi)氣體流速。

由式(24)、(25)可得：

(26)

根據(jù)Poiseuille’s定律得壓力收集管中摩擦阻力f：

f=8πμvL

(27)

式中：L為壓力收集管的長度；μ為動力粘度。

根據(jù)牛頓第二定律得壓力管內(nèi)氣體流速微分方程：

(28)

將式(26)、(27)代入式(28)得

(29)

式(29)的單自由度二階振動方程標準形式為

(30)

采樣渦街產(chǎn)生的空氣壓力的角頻率為

(31)

渦街激振頻率[21]為

(32)

式中：Dz為圓柱鈍體直徑；v0為氣室出口流速；v1為聲速；St為斯特勞哈爾數(shù)。

3 鈸型壓電發(fā)電振子受渦街激振氣壓作用響應分析

將壓電片夾在兩片鈸型金屬片之間組成鈸型壓電發(fā)電振子(見圖1)，受循環(huán)渦街氣壓作用，壓電片承受的負載F與應力Q為[22]

(33)

(34)

式中：γ為泊松比；E為彈性模量；δ為偏轉(zhuǎn)繞度；tc為銅帽圓片彈性層厚度；Hc為空腔高度；A1、A2為功能常數(shù)；S為鈸型壓電振子受壓面積。由壓電功能材料電場本構(gòu)方程得壓電振子的開路電壓：

|Q×cosθ·tp·d33|

(35)

外接負載電壓和功率計算分別為

(36)

(37)

式中：RL為外接負載電阻；C為靜態(tài)電容；ω1為外接負載角頻率；Rs為壓電片等效內(nèi)阻；tp為壓電片厚度；d31、d33為壓電系數(shù)；θ為壓電片受力角。

4 發(fā)電系統(tǒng)輸出特性討論

海浪進入氣室后壓縮空氣從頂部出口快速流出遇到Dz=50 mm的圓柱形鈍體產(chǎn)生卡門渦街激振。空氣壓力頻率隨海浪周期變化關(guān)系如圖2所示。當海浪周期TW<0.85 s時，海浪周期增加，OWC氣室波高增加，壓縮空氣產(chǎn)生的壓強隨海浪周期增加逐漸增大，渦街激振頻率與氣室出口流速、壓強成正比。TW=0.85 s時，氣室前墻入射波與氣室內(nèi)水面發(fā)生共振，壓強最大，出口空氣流速最快，渦街激振頻率達600 Hz，提頻效果最優(yōu)。TW>0.85時，隨海浪周期增大，在氣室內(nèi)產(chǎn)生大量的非線性波，存在波能損耗。

圖2 渦街提頻空氣壓力頻率與TW關(guān)系

高頻氣壓通過壓力收集管道(L=170 mm、do=6 mm)進入壓電能量轉(zhuǎn)換氣室并驅(qū)動鈸型壓電振子發(fā)電，鈸型振子外徑da=29 mm,dc=17 mm,db=5 mm。氣壓驅(qū)動鈸型壓電振子發(fā)電功率與激振頻率關(guān)系如圖3所示。由式(32)～(35)計算可得渦街激振頻率為0～700 Hz，壓電振子的電能量隨壓力頻率的增大快速提高，激振壓力頻率提高能量轉(zhuǎn)換效率和輸出功率較明顯。

圖3 發(fā)電功率與激振頻率關(guān)系

壓電發(fā)電功率與涌入氣室的TW存在密切關(guān)系，TW=0.65～1.1 s時，由式(22)～(31)可得TW與鈸型壓電振子發(fā)電輸出功率的關(guān)系如圖4所示，輸出電能穩(wěn)定在65～80 mW。

圖4 發(fā)電功率與TW的關(guān)系

卡門渦街產(chǎn)生的壓電換能氣室的壓力頻率與氣室出口處鈍體直徑有關(guān)，隨鈍體直徑的增大而降低，由式(28)～(31)計算鈸型壓電振子產(chǎn)生的能量隨鈍體結(jié)構(gòu)變化如圖5所示。氣室出口流速提高，壓力頻率增大，因此，鈸型壓電振子產(chǎn)生的電能隨之提升，如圖6所示。

圖5 發(fā)電量與鈍體直徑關(guān)系

圖6 發(fā)電量與氣室氣體流速的關(guān)系

5 結(jié)束語

振蕩水柱收集波浪能在氣室內(nèi)產(chǎn)生高壓、高速空氣動能并作用于圓柱形鈍體，基于卡門渦街效應獲得高頻空氣壓力進入壓電換能氣室驅(qū)動鈸型壓電振子發(fā)電，解決低頻海浪驅(qū)動壓電發(fā)電中能量轉(zhuǎn)換率低的問題。分析波浪與空氣相互作用的水動力學特性、利用壓電能量轉(zhuǎn)換理論、卡門渦街效應理論推導計算得出,氣室前墻入射波與氣室內(nèi)的波面產(chǎn)生共振渦街激振高頻氣壓達650 Hz，隨著鈍體尺寸的增大，提頻效果減弱，隨著氣體流速的提高，系統(tǒng)輸出電能提高，當海浪周期在0.6～1.1 s時，系統(tǒng)輸出70～80 mW穩(wěn)定電能。