45鋼冷滾打成形Johnson-Cook本構(gòu)模型參數(shù)標(biāo)定及修正方法

黃 賡,李 言,李 龍,楊明順，李嘉偉，陳 鑫,崔蒞沐

(西安理工大學(xué)機(jī)械與精密儀器工程學(xué)院，陜西西安710048)

冷滾打是利用金屬在冷態(tài)下具有一定的塑性變形能力，使用具有一定形狀的滾打輪使工件局部累積變形形成最終所需功能表面的一種近凈成形方法[1]。目前主要用于傳動(dòng)零件的外齒成形[2]，有別于傳統(tǒng)模鍛、模壓等[3]靜態(tài)加載成形，冷滾打成形過(guò)程的特點(diǎn)是局部沖擊加載，增量漸進(jìn)成形，成形區(qū)材料應(yīng)變速率大，沖擊硬化明顯，描述材料本構(gòu)關(guān)系時(shí)要考慮應(yīng)變速率效應(yīng)和硬化效應(yīng)。

目前對(duì)塑性成形的研究方法主要有理論分析、有限元仿真和實(shí)驗(yàn)。其中，有限元仿真方法可以直觀地獲得相關(guān)數(shù)據(jù)，因此得到廣泛應(yīng)用[4-6]。在進(jìn)行有限元仿真時(shí)需要表述金屬變形行為的本構(gòu)模型，常用的模型有Copwer-Symonds (C-S)模型、Zerilli-Amstrong (Z-A)模型、Steinberg-Guinan模型等基于物理本構(gòu)模型，以及Johnson-Cook (J-C)模型，Cmap-Beel模型，Bonder-Parton (B-P)模型等經(jīng)驗(yàn)本構(gòu)模型。其中，J-C本構(gòu)模型模型結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，使用方便，能夠較好的描述金屬材料的加工硬化效應(yīng)、應(yīng)變率效應(yīng)，相比于其他模型更適用于冷滾打成形過(guò)程仿真。張璐[7]利用ABAQUS軟件建立了板料、齒條以及齒形的冷滾打有限元模型，并通過(guò)ABAQUS軟件分析得到了冷滾打成形力并進(jìn)行了修正；梁小明[8]基于有限元分析理論，對(duì)齒條冷滾打成形過(guò)程中的回彈問(wèn)題進(jìn)行了探究，并分析了殘余應(yīng)力的分布與回彈產(chǎn)生的原因。袁啟龍[9]利用ABAQUS軟件分析了材料、滾打方式以及滾打公轉(zhuǎn)速度對(duì)滾打力的影響。這些研究中所采用的本構(gòu)模型參數(shù)多引用其它加工方法的研究文獻(xiàn)或直接通過(guò)分離式Hopkinson壓桿實(shí)驗(yàn)法獲取[10]，均針對(duì)冷滾打成形過(guò)程特點(diǎn)對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行修正，這直接影響了仿真結(jié)果的準(zhǔn)確性和可靠性，因此獲得針對(duì)于冷滾打成形過(guò)程材料變形特點(diǎn)的J-C本構(gòu)模型參數(shù)是十分必要的。

針對(duì)J-C模型參數(shù)的修正方法有反演法和有限元法。董菲[11]基于剪切試驗(yàn)和有限元模擬確定馬氏體不銹鋼410的J-C本構(gòu)方程的系數(shù)；葉玉剛[12]通過(guò)與切削試驗(yàn)作對(duì)比，修正了鈦合金TC4的J-C本構(gòu)方程系數(shù)；Short[13]基于Levenberg-Marquardt算法修正J-C模型系數(shù)A、B、n來(lái)求得HY100鋼的J-C本構(gòu)方程系數(shù)。目前，涉及冷滾打成形過(guò)程中J-C本構(gòu)模型參數(shù)的標(biāo)定與修正研究尚未見(jiàn)報(bào)道。

綜上所述，本文以45鋼為例，針對(duì)冷滾打成形技術(shù)的加工特點(diǎn)，通過(guò)對(duì)靜態(tài)和動(dòng)態(tài)壓縮力學(xué)實(shí)驗(yàn)，初步擬合出材料J-C本構(gòu)模型參數(shù)[14-15]。以此為基礎(chǔ)建立了冷滾打成形的簡(jiǎn)化有限元仿真模型，利用冷滾打加工實(shí)驗(yàn)和有限元仿真結(jié)果，采用下山單純法修正材料J-C本構(gòu)模型系數(shù)，獲得修正后的45鋼J-C本構(gòu)模型參數(shù)，并將修正前后不同工藝參數(shù)下45鋼冷滾打的數(shù)值模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比論證，為建立更為精確可靠的冷滾打成形有限元模型提供了材料參數(shù)的確定和修正方法。

1 冷滾打的成形原理及J-C本構(gòu)模型參數(shù)的修正方法

1.1 冷滾打的成形原理

冷滾打成形基本原理見(jiàn)圖1，滾打輪通過(guò)中心軸安裝在支撐軸上，并可繞自身的軸線轉(zhuǎn)動(dòng)。當(dāng)支撐軸在中心主軸的帶動(dòng)下高速旋轉(zhuǎn)時(shí)，該運(yùn)動(dòng)實(shí)現(xiàn)滾打輪的公轉(zhuǎn)，主軸每轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)，滾打輪對(duì)工件擊打一次，擊打工件時(shí)，在摩擦力的作用下滾打輪擠壓并磙碾工件表面，工件不斷進(jìn)給的過(guò)程中使每次擊打造成的塑性變形量逐步積累，最終在工件表面形成所需廓形。

圖1 冷滾打成形原理示意圖Fig.1 Schematic of cold roll-beating

由冷滾打成形原理可知，冷滾打成形過(guò)程材料的變形特點(diǎn)是局部沖擊加載，多次加工硬化。考慮到材料在成形時(shí)變形主要為擠壓變形，因此現(xiàn)有研究中采用的J-C本構(gòu)模型參數(shù)多直接通過(guò)分離式Hopkinson壓桿實(shí)驗(yàn)法獲取，但冷滾打成形過(guò)程中工件材料的實(shí)際受力情況復(fù)雜，不僅有壓應(yīng)力，齒壁兩側(cè)還受有拉應(yīng)力作用，變形區(qū)和待變形區(qū)還存在切應(yīng)力，因此直接通過(guò)分離式Hopkinson壓桿實(shí)驗(yàn)法獲取J-C模型參數(shù)，必須進(jìn)一步的修正才能保證仿真結(jié)果的準(zhǔn)確性。

標(biāo)準(zhǔn)J-C模型如下：

(1)

由冷滾打成形原理可知，滾打輪與工件間歇接觸，且接觸時(shí)間很短，摩擦方式又主要為滾動(dòng)摩擦，因此單次成形區(qū)域小，變形和摩擦所產(chǎn)生熱量少且很快傳到于工件未變形區(qū)。因此成形過(guò)程引起的溫度效應(yīng)可以忽略，取參數(shù)m為常數(shù)1，得到簡(jiǎn)化后的J-C模型形式為：

(2)

1.2 J-C本構(gòu)模型參數(shù)的修正方法

本文采用多元函數(shù)的下山單純形法對(duì)J-C本構(gòu)模型參數(shù)進(jìn)行修正。該方法由Nelder和Mead提出，是一種適用于優(yōu)化多維無(wú)約束問(wèn)題的數(shù)值方法。其優(yōu)點(diǎn)是穩(wěn)定性好，適用范圍廣，搜索階段效率高[16]。采用此算法優(yōu)化J-C本構(gòu)模型參數(shù)的流程圖見(jiàn)圖2。

圖2 J-C本構(gòu)方程參數(shù)修正流程圖Fig. 2 Flow chart of parameter correction of J-C constitutive equation

以J-C本構(gòu)模型中的4個(gè)參數(shù)A、B、C、n為自變量，分別對(duì)應(yīng)向量x中的(a1，a2，a3，a4)，定義目標(biāo)函數(shù)為：

(3)

選定5個(gè)頂點(diǎn)作為初始單純形點(diǎn)；首先以通過(guò)分離式Hopkinson壓桿實(shí)驗(yàn)所獲得的參數(shù)作為初始頂點(diǎn)，然后初始頂點(diǎn)向量中的每個(gè)分量分別乘以一個(gè)系數(shù)r來(lái)得到剩余4個(gè)頂點(diǎn)。

計(jì)算目標(biāo)函數(shù)f(x)在這5個(gè)頂點(diǎn)上的值；fi=f(x(i)),i=0,…4：

(4)

式中：x(L)是最好的點(diǎn)，x(H)是最壞的點(diǎn)，x(G)是次壞點(diǎn)。

新的一個(gè)單純形中應(yīng)保留初始單純形點(diǎn)中的最好點(diǎn)x(L)，并通過(guò)引入的一個(gè)新點(diǎn)x(N)去代替最壞的點(diǎn)x(H)來(lái)構(gòu)造新的單純形或收縮初始單純形中除最好點(diǎn)x(L)外的其余4點(diǎn)來(lái)構(gòu)造新的單純形。

下面是新單純形構(gòu)造的具體方法，首先應(yīng)引入新點(diǎn)x(N)，由式(5)求得除去初始單純形中最壞點(diǎn)x(H)以后的4個(gè)點(diǎn)的重心點(diǎn)x(C)，再根據(jù)式(6)求x(H)關(guān)于x(C)的反射點(diǎn)x(R)。

(5)

x(R)=(1+a)x(C)-ax(H)

(6)

式中a為給定的反射系數(shù)，a>0。

計(jì)算fR=f(x(R))并與fL進(jìn)行比較，根據(jù)兩者大小分兩種情況分別處理。

1) 若fR≤fL，表明反射成功，先按式(7)進(jìn)行擴(kuò)展，求得x(E)。

x(E)=γx(R)+(1-γ)x(C)

(7)

式中γ為給定的擴(kuò)展系數(shù)且γ>1。此時(shí)若fE

2)若fR>fL，此時(shí)如果fR

x(N)=βx(R)+(1-β)x(C)

(8)

式中β為收縮系數(shù)，0<β<1。

此時(shí)我們對(duì)新點(diǎn)x(N)進(jìn)行有效性判斷，若fN

(9)

將生成后的最好點(diǎn)的參數(shù)，帶入仿真軟件ABAQUS中計(jì)算。當(dāng)實(shí)驗(yàn)所測(cè)滾打力和仿真計(jì)算滾打力的誤差小于10%時(shí)停止迭代，此時(shí)所得參數(shù)即為最終修正參數(shù)。

2 冷滾打仿真模型建立和實(shí)驗(yàn)

2.1 J-C本構(gòu)模型參數(shù)初始值確定

45鋼為優(yōu)質(zhì)碳素結(jié)構(gòu)用鋼，廣泛應(yīng)用于各種傳動(dòng)零件。因此本文以45鋼為例，進(jìn)行了J-C本構(gòu)模型參數(shù)的修正。本文中45鋼經(jīng)過(guò)調(diào)制處理。

首先對(duì)材料本構(gòu)模型參數(shù)進(jìn)行初始標(biāo)定。通過(guò)靜態(tài)壓縮實(shí)驗(yàn)和分離式Hopkinson壓桿實(shí)驗(yàn)可獲得材料J-C本構(gòu)模型的各個(gè)參數(shù)[17]。所用設(shè)備為電腦式伺服控制材料試驗(yàn)機(jī)(MTS機(jī))和分離式Hopkinson壓桿，分別見(jiàn)圖3和圖4。

圖3 電腦式伺服控制材料試驗(yàn)機(jī)Fig.3 Computer servo control material testing machine

圖4 分離式Hopkinson壓桿Fig.4 Split Hopkinson pressure bar

通過(guò)靜態(tài)試驗(yàn)和分離式Hopkinson壓桿實(shí)驗(yàn)得到45鋼的靜態(tài)應(yīng)力-應(yīng)變曲線和動(dòng)態(tài)壓縮試驗(yàn)應(yīng)力-應(yīng)變曲線，見(jiàn)圖5和圖6。

圖5 45鋼靜態(tài)壓縮試驗(yàn)應(yīng)力-應(yīng)變曲線Fig.5 Stress-strain curve of 45 steel under static compression test

圖6 45鋼動(dòng)態(tài)壓縮試驗(yàn)應(yīng)力-應(yīng)變曲線Fig.6 Stress-strain curve of 45 steel under dynamic compression test

由靜態(tài)和動(dòng)態(tài)應(yīng)力-應(yīng)變曲線可得簡(jiǎn)化后J-C本構(gòu)模型為：

(10)

2.2 冷滾打仿真模型的建立

在ABAQUS中構(gòu)建了如下簡(jiǎn)化的冷滾打數(shù)值計(jì)算物理模型，見(jiàn)圖7。

圖7 數(shù)值計(jì)算物理模型Fig.7 Physical modelfor numerical calculation

為提高仿真效率，該模型將實(shí)驗(yàn)中的單滾打輪增加為4個(gè)并均勻分布在主軸周圍。在實(shí)際成形過(guò)程中滾打輪的強(qiáng)度遠(yuǎn)大于工件，所以在數(shù)值計(jì)算物理模型中設(shè)滾打輪為解析剛體，滾打輪半徑為25 mm，公轉(zhuǎn)半徑為74 mm。計(jì)算模型工件的長(zhǎng)寬高分別為40 mm×14 mm×10 mm，在工件側(cè)壁施加限制滾打輪軸向自由度的邊界條件，底部施加限制滾打輪徑向自由度邊界，采用C3D8R單元進(jìn)行結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格劃分，單元邊長(zhǎng)為0.2 mm。

2.3 冷滾打?qū)嶒?yàn)

通過(guò)對(duì)臥式銑床進(jìn)行改造以實(shí)現(xiàn)冷滾打成形實(shí)驗(yàn)。圖8即為改造后的冷滾打成形實(shí)驗(yàn)設(shè)備，其中滾打輪采用20CrMnTi，通過(guò)調(diào)制滲碳處理,半徑和公轉(zhuǎn)半徑分別為25 mm和74 mm，冷滾打過(guò)程中的滾打力通過(guò)三向力傳感器(PCB261A03)測(cè)量出。圖9為冷滾打成形后的工件。

圖8 冷滾打?qū)嶒?yàn)平臺(tái)Fig.8 Experimental platform for cold roll-beating

為了得到能夠更加穩(wěn)定可靠進(jìn)行冷滾打成形仿真的材料本構(gòu)模型參數(shù)，需進(jìn)行大量實(shí)驗(yàn)結(jié)果作參考和對(duì)比，因此，選取了如表1所示加工參數(shù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，以此為修正45鋼J-C本構(gòu)模型參數(shù)提供對(duì)比值。取穩(wěn)定滾打階段滾打力峰值的均值為實(shí)驗(yàn)滾打力。表1給出了不同冷滾打?qū)嶒?yàn)工藝參數(shù)下的滾打力實(shí)驗(yàn)結(jié)果(其中滾打密度為轉(zhuǎn)速與進(jìn)給的比值，表述了單位長(zhǎng)度下?lián)舸虻拇螖?shù))。

圖9 冷滾打成品Fig.9 Cold roll-beating finished product

表1 冷滾打45鋼的實(shí)驗(yàn)參數(shù)

3 J-C本構(gòu)模型參數(shù)修正及結(jié)果

3.1 有限元迭代計(jì)算

采用未修正的本構(gòu)模型參數(shù)，對(duì)表1所列工藝參數(shù)的冷滾打成形過(guò)程進(jìn)行有限元計(jì)算，圖10給出了成形力實(shí)驗(yàn)值與仿真值的相對(duì)誤差。

選取第5、6、12、13、14、15、16、17組這8組誤差較大的加工參數(shù)下的仿真模型，采用多元函數(shù)的下山單純形法對(duì)J-C本構(gòu)模型的4個(gè)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化后再進(jìn)行有限元計(jì)算，如此迭代計(jì)算直到滾打力的有限元計(jì)算值和實(shí)驗(yàn)值在所規(guī)定的容差范圍之內(nèi)，將迭代計(jì)算后8組參數(shù)下所得J-C本構(gòu)模型的各個(gè)參數(shù)分別進(jìn)行平均即可得到最終J-C本構(gòu)模型參數(shù)。8組成形參數(shù)分別迭代計(jì)算后所得J-C本構(gòu)模型參數(shù)和最終J-C本構(gòu)模型參數(shù)見(jiàn)表2和式(11)。

圖10 未修正仿真滾打力與實(shí)驗(yàn)滾打力相對(duì)誤差Fig.10 Relative error between the simulated roll-beating force and the experimental roll-beating force

實(shí)驗(yàn)序號(hào)ABnC5503.88544.820.443 70.021 26 465.82546.440.467 40.021 612514.75544.310.435 30.020 213522.00562.060.411 20.021 214551.00524.740.413 70.021 915580.00541.580.416 10.021 316551.00524.740.413 70.021 917514.75544.310.435 30.020 2平均值525.40541.6250.429 60.021 2

(11)

3.2 結(jié)果分析

采用迭代修正后的J-C本構(gòu)模型參數(shù)再次對(duì)表1中18個(gè)工藝參數(shù)條件下的冷滾打成形過(guò)程進(jìn)行模擬仿真得到成形過(guò)程的成形力，圖11，圖12，圖13分別為轉(zhuǎn)速475 r·min-1，950 r·min-1，1 500 r·min-1，不同滾打密度下實(shí)驗(yàn)值與修正前和修正后的本構(gòu)模型參數(shù)的成形力仿真值。

圖11 轉(zhuǎn)速475 r·min-1實(shí)驗(yàn)值與未修正和修正后仿真值Fig.11 Experimental values of speed 475 r·min-1 and uncorrected and corrected simulation values

從圖11～12中可以看出，滾打密度較低時(shí)，未修正J-C本構(gòu)模型參數(shù)所計(jì)算的仿真力與實(shí)驗(yàn)值的相對(duì)誤差會(huì)偏大且未修正J-C本構(gòu)模型參數(shù)所計(jì)算的仿真力總體上大于實(shí)驗(yàn)所測(cè)滾打力。

從圖13中可以看出，未修正J-C本構(gòu)模型參數(shù)所計(jì)算的仿真力與實(shí)驗(yàn)值的相對(duì)誤差整體偏大且未修正J-C本構(gòu)模型參數(shù)所計(jì)算的仿真力全部小于實(shí)驗(yàn)所測(cè)滾打力。綜上可知，未修正J-C本構(gòu)模型參數(shù)在計(jì)算低轉(zhuǎn)速，低進(jìn)給滾打力仿真時(shí)優(yōu)于高轉(zhuǎn)速，高進(jìn)給加工條件，計(jì)算準(zhǔn)確性不穩(wěn)定。

圖12 轉(zhuǎn)速950 r·min-1實(shí)驗(yàn)值與未修正和修正后仿真值Fig.12 Experimental values of speed 950 r·min-1 and uncorrected and corrected simulation values

圖13 轉(zhuǎn)速1 500 r·min-1實(shí)驗(yàn)值與未修正和修正后仿真值Fig.13 Experimental values of speed 1 500 r·min-1 and uncorrected and corrected simulation values

圖14為修正前與修正后本構(gòu)模型參數(shù)仿真滾打力與實(shí)驗(yàn)滾打力的相對(duì)誤差對(duì)比。

圖14 修正前、后仿真滾打力與實(shí)驗(yàn)的相對(duì)誤差Fig.14 Relative error between simulated roll-beating force and experimental roll-beating force before and after correction

從圖14可看出，采用未修正的J-C本構(gòu)模型參數(shù)，最大相對(duì)誤差為23%，采用下山單純形法修正后的J-C本構(gòu)模型，最大相對(duì)誤差下降到9.8%。通過(guò)計(jì)算修正前與修正后參數(shù)仿真滾打力的平均相對(duì)誤差可知，未修正前的平均相對(duì)誤差值為12.7%，修正后的平均相對(duì)誤差值為6.64%。為了確定兩組參數(shù)的穩(wěn)定性，計(jì)算修正前與修正后參數(shù)仿真滾打力相對(duì)誤差值的方差，可得修正前仿真滾打力相對(duì)誤差值方差為6.44%，修正后仿真滾打力相對(duì)誤差值方差為1.9%。綜上可知修正后的本構(gòu)模型參數(shù)在仿真中更加穩(wěn)定與準(zhǔn)確，大大提高了仿真的精度。

4 結(jié) 論

1) 本文以45鋼為例，根據(jù)準(zhǔn)靜態(tài)實(shí)驗(yàn)MTS和動(dòng)態(tài)SHPB壓桿實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)標(biāo)定了45鋼Johnson-Cook本構(gòu)模型中的A、B、C、n等參數(shù)。

2) 通過(guò)實(shí)驗(yàn)與仿真驗(yàn)證得到根據(jù)準(zhǔn)靜態(tài)實(shí)驗(yàn)MTS和動(dòng)態(tài)SHPB壓桿實(shí)驗(yàn)得到的J-C本構(gòu)模型參數(shù)在進(jìn)行仿真時(shí)，穩(wěn)定性較差且不適于描述高進(jìn)給，高轉(zhuǎn)速的加工參數(shù)，必須進(jìn)行適當(dāng)修正。

3) 用多元函數(shù)下山單純形法結(jié)合ABAQUS軟件進(jìn)行有限元迭代分析對(duì)冷滾打?qū)嶒?yàn)仿真中的J-C本構(gòu)模型參數(shù)進(jìn)行修正，得到了較高精度的冷滾打加工本構(gòu)方程參數(shù)，經(jīng)驗(yàn)證，該本構(gòu)方程有效改善了模擬計(jì)算的精度。