基于時頻空間的非模型組合導(dǎo)航濾波方法

(武警工程大學(xué) 研究生大隊,西安 710086)

0 引言

衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)和慣性導(dǎo)航系統(tǒng)由于在誤差傳播性能上能夠?qū)崿F(xiàn)互補，因此衛(wèi)星與慣性導(dǎo)航系統(tǒng)的組合導(dǎo)航是當(dāng)前應(yīng)用最為廣泛的組合導(dǎo)航系統(tǒng)[1-2]。傳統(tǒng)的組合導(dǎo)航方法是采用現(xiàn)代控制理論的最優(yōu)估計法將兩個獨立系統(tǒng)的導(dǎo)航參數(shù)融合并修正導(dǎo)航輸出，主要是以卡爾曼濾波為模型框架的各類濾波算法[1-5]，然而這些傳統(tǒng)濾波算法存在建立數(shù)學(xué)模型困難以及計算量龐大影響導(dǎo)航實時性等問題。

卡爾曼濾波是導(dǎo)航領(lǐng)域最經(jīng)典的濾波算法，但卡爾曼濾波必須要求系統(tǒng)模型線性化。擴展卡爾曼濾波則是對系統(tǒng)中非線性部分進行近似線性處理，但部分的非線性必然導(dǎo)致估計精度降低。而后出現(xiàn)的無跡卡爾曼濾波、粒子濾波等都在一定程度上提高了濾波算法的穩(wěn)定性和計算效率，具有一定應(yīng)用價值，但這些改進方法并不能達到減免模型誤差的目的。

小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[6-10]是近年來的研究熱點，是小波理論與人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合的產(chǎn)物，具備強大的數(shù)據(jù)分析與非線性映射功能。將小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用于組合導(dǎo)航中已經(jīng)有了一定研究，但只是作為一種輔助手段，文獻[7]利用小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輔助建立卡爾曼濾波模型，文獻[8]利用小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輔助解決組合導(dǎo)航系統(tǒng)對準(zhǔn)問題，文獻[9]利用小波分析理論進行降噪預(yù)處理而后再用傳統(tǒng)的濾波算法，但都無法從根本上擺脫傳統(tǒng)數(shù)學(xué)模型上的問題。

對此，提出一種基于非模型的濾波方法，利用小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的時頻分析和非線性預(yù)測功能，通過建立小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，對組合導(dǎo)航系統(tǒng)的解算數(shù)據(jù)進行訓(xùn)練，可以預(yù)測并修正下一階段的導(dǎo)航參數(shù)誤差，擺脫了數(shù)學(xué)模型的桎梏，具備強大的非線性預(yù)測及容錯能力，提高了導(dǎo)航系統(tǒng)的精度與時效性，能夠很好的應(yīng)用在組合導(dǎo)航中。

1 小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[10]是基于生物神經(jīng)系統(tǒng)研究而建立的數(shù)學(xué)模型，具有大規(guī)模并行處理和非線性預(yù)測識別的功能，有很強的容錯性、聯(lián)想和記憶能力，因此被廣泛應(yīng)用在各個領(lǐng)域。但是，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)存在其內(nèi)部結(jié)構(gòu)未知與收斂速度慢甚至不收斂的問題，各節(jié)點數(shù)未知，增加隱含層來增加神經(jīng)元的方法能夠提高預(yù)測精度，但是會增加訓(xùn)練時間，其學(xué)習(xí)算法的收斂速度與收斂結(jié)果存在隨性型。

小波理論[11]是一門前沿的數(shù)學(xué)理論與方法，能夠解決傅里葉變換中無視時域的問題。小波理論是針對信號在時間和空間頻率上的局部信息進行分析，通過尺度、平移函數(shù)使得信號在多層次上細(xì)分，最終實現(xiàn)在高頻處對時間細(xì)化，在低頻處對頻率細(xì)化，能夠自動適應(yīng)時頻信號變化的要求，從而可聚焦到信號的任意細(xì)節(jié)，在處理信號抖動大的非線性問題上，具備很強的優(yōu)勢。

結(jié)合兩者的優(yōu)勢，提出了小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是根據(jù)小波理論所產(chǎn)生的一種多層次、多分辨率的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型算法，即用非線性小波基取代了通常的非線性Sigmoid函數(shù)，其信號表述是通過將所選取的小波基進行線性疊加來表現(xiàn)的，由于小波函數(shù)具有時域上的緊支性和頻域上的帶通性，用局部的小波取代傳統(tǒng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)全局的Sigmoid函數(shù)，因此小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有小波分析在時頻空間上的多分辨分層特點，同時具備神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)強大的非線性擬合等功能。使得小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，其網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)設(shè)計簡單明了，有明確的理論依據(jù)，其強大的時頻信號分析、非線性映射以及時間序列預(yù)測的功能，能夠很好的應(yīng)用于組合導(dǎo)航之中。

目前二者結(jié)合的方式主要有兩種[6,11]：一是松散型，首先將信號進行小波分析處理，而后再輸入到神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)之中，將二者分開使用；二是緊致型，用小波理論的小波基函數(shù)取代神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)隱含層的激活函數(shù)，這種結(jié)合方式能夠兼?zhèn)涠叩膬?yōu)點。因此，無論從理論還是實際應(yīng)用中，緊致型結(jié)合方式數(shù)據(jù)處理能力更強。主要環(huán)節(jié)如下。

圖1 小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模

1.1 網(wǎng)絡(luò)參數(shù)初始化

假設(shè)q(1,2,...,n)為輸入信號樣本的個數(shù)，輸入層節(jié)點個數(shù)為I，隱含層節(jié)點個數(shù)為H，輸出層節(jié)點數(shù)為M。

輸入層和輸出層節(jié)點數(shù)根據(jù)實際輸入與輸出決定，小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的隱含層節(jié)點數(shù)可按如下方法自適應(yīng)確定：

首先取隱含層節(jié)點數(shù)為1，學(xué)習(xí)迭代若干次后，如滿足誤差條件，則停止迭代，若達到最大學(xué)習(xí)次數(shù)后仍不滿足條件，則隱含層節(jié)點數(shù)增加1，重復(fù)上述過程，直到滿足條件，這樣就可根據(jù)具體問題自適應(yīng)確定隱含層節(jié)點數(shù)。

1.2 建立小波基函數(shù)

在Hilbert向量空間中選取一個母小波函數(shù)φ(t)，使其滿足:

通過φ(t)的伸縮和平移變換產(chǎn)生小波函數(shù)基:

比較常用的小波基函數(shù)有Morlet函數(shù)、Haar函數(shù)和Daubechies函數(shù)等。

上式可以看出，小波變換相當(dāng)于信號函數(shù)在小波基函數(shù)上的投影，或者是把信號與小波函數(shù)在尺度為a、位置為b處進行相關(guān)比較，變換描述了二者之間的相似程度。投影的大小反映了信號在該尺度上能量的大小。

建立小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)激活函數(shù)，得到網(wǎng)絡(luò)輸出為：

其中：xi為第p個樣本的輸入值為；yk為第p個樣本的網(wǎng)絡(luò)輸出值；zk為樣本的輸出目標(biāo)值；w1ji為輸入層與隱含層之間的連接權(quán)值；w2kj為隱含層與輸出層之間的連接權(quán)值；伸縮因子為ai，平移因子為bi。

1.3 預(yù)測輸出和誤差

向已經(jīng)初始化后的網(wǎng)絡(luò)輸入一個訓(xùn)練樣本(Pk,Tk),k∈{1, 2, …,N}，其中N為訓(xùn)練樣本個數(shù)，Pk為網(wǎng)絡(luò)輸入信號，Tk為網(wǎng)絡(luò)輸出期望值，計算網(wǎng)絡(luò)輸出yk，根據(jù)：

計算預(yù)測誤差。

1.4 學(xué)習(xí)算法

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)常用的學(xué)習(xí)算法為梯度下降法，這其中包括批量梯度下降法、隨機梯度下降法和小批量下降法。批量下降法因為每更新一次參數(shù)就需要計算整個數(shù)據(jù)集，導(dǎo)致學(xué)習(xí)速度十分緩慢且無法在線更新。隨機梯度下降法和小批量下降法不考慮本身存在的缺點，每次迭代都打亂了訓(xùn)練集的順序，這與小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的時頻分析功能是相違背的，不適合應(yīng)用于小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中。

因此，小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)一般采用改進的梯度下降法沖量算法。訓(xùn)練時，在權(quán)值和閾值的修正算法中加入動量項，利用前一步的修正值來平滑學(xué)習(xí)路徑，避免陷入局部極小值，加快學(xué)習(xí)速度。

梯度下降法的權(quán)值修正過程為：

在梯度下降法的基礎(chǔ)，引入動量因子α∈[0,1]，則動量梯度下降法為：

wji(t+1)=wji(t)-η▽wji+αΔwji

bj(t+1)=bj(t)-η▽bj+αΔbj

aj(t+1)=aj(t)-η▽aj+αΔaj

2 濾波方法設(shè)計

在組合結(jié)構(gòu)設(shè)計上，采用松耦合形式的位置、速度組合，以SINS為主導(dǎo)航系統(tǒng)，GPS為輔導(dǎo)航系統(tǒng)，利用GPS導(dǎo)航數(shù)據(jù)實時修正SINS導(dǎo)航參數(shù)。松組合方式具有結(jié)構(gòu)簡單、數(shù)據(jù)處理量小、提供冗余導(dǎo)航信息、能顯著提高導(dǎo)航系統(tǒng)精度等優(yōu)點。同時只針對位置、速度信息進行處理，能夠在滿足基本的導(dǎo)航定位需求的同時，通過犧牲信息量提高導(dǎo)航實時性。

在選取網(wǎng)絡(luò)的輸入時，采用間接濾波法，即使用組合導(dǎo)航系統(tǒng)各子系統(tǒng)導(dǎo)航參數(shù)的誤差量作為預(yù)測對象。間接法采用導(dǎo)航系統(tǒng)中的誤差量作為處理對象，相對于直接法的導(dǎo)航參數(shù)而言，數(shù)據(jù)相應(yīng)的數(shù)量級是相近的，且變化速度要小得多，更方便于訓(xùn)練網(wǎng)絡(luò)，且更適用于實際中加速度變化大的運動模型。

在利用網(wǎng)絡(luò)的輸出時，采用反饋校正法，即用網(wǎng)絡(luò)輸出的預(yù)測饋到慣導(dǎo)系統(tǒng)中，直接輸入到慣導(dǎo)力學(xué)編排方程中去校正各導(dǎo)航參數(shù)。從本質(zhì)上講，反饋校正法和輸出校正法是一樣的，因為理想情況下，校正后的效果是一樣的，但在實際中，利用反饋校正的系統(tǒng)方程式更能接近反映系統(tǒng)誤差狀態(tài)的真實動態(tài)過程。在一般情況下，輸出校正要得到與反饋校正相同的估計精度，應(yīng)該采用較為復(fù)雜的模型系統(tǒng)方程。

在網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)設(shè)計上，根據(jù)所需導(dǎo)航參數(shù)及其維數(shù)，采用兩個并行小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，分別對位置、速度誤差信息進行訓(xùn)練，且每個網(wǎng)絡(luò)的輸入層和輸出層節(jié)點數(shù)都為3，對應(yīng)數(shù)據(jù)的三個維度，這種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)特有的并行處理能力可以看出是對導(dǎo)航參數(shù)進行降維處理，從傳統(tǒng)組合導(dǎo)航濾波算法的9維降低至3維。網(wǎng)絡(luò)的隱含層通過自適應(yīng)的不斷更改節(jié)點數(shù)達到滿足誤差條件，該網(wǎng)絡(luò)中選取隱含層節(jié)點數(shù)為6。小波基函數(shù)選取Morlet函數(shù)，表達式為：

ψ(x)=cos(1·75x)exp(-x2/2)。

訓(xùn)練算法采用改進的梯度下降法，即在權(quán)值和閾值的修正算法中加入動量項。

整體濾波設(shè)計如圖2所示。

圖2 方案結(jié)構(gòu)設(shè)計圖

在網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練階段，首先對SINS和GPS實測導(dǎo)航數(shù)據(jù)進行解算，得到慣導(dǎo)系統(tǒng)和GPS的位置與速度信息作為訓(xùn)練樣本集。以SINS與GPS導(dǎo)航參數(shù)的差值做為輸入，以SINS輸出位置速度信息的實際誤差為期望輸出，網(wǎng)絡(luò)的真實輸出作為SINS的預(yù)測誤差，通過一定次數(shù)訓(xùn)練使得輸出的均方誤差最小。

在網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測階段，將SINS與GPS導(dǎo)航參數(shù)的差值輸入到已經(jīng)訓(xùn)練好的小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，以網(wǎng)絡(luò)的輸出作為該時刻SINS的誤差預(yù)測值，反饋到慣導(dǎo)系統(tǒng)力學(xué)方程中，修正系統(tǒng)導(dǎo)航參數(shù)。

3 仿真分析

仿真實驗采用了一個九軸的IMU模塊以及一個GPS接收模塊，其中IMU模塊的陀螺儀精度為0.05°/s，加速度計精度為0.01 g，GPS模塊的定位精度為2.5 m,測速精度為0.1 m/s。將二者固定于同一個平臺上，沿東西方向做速度為1 m/s最大距離為0.5 m的勻速往復(fù)運動，仿真時間為300s。解析實驗獲取的數(shù)據(jù)，采用前200s的數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練樣本按照設(shè)計方案對網(wǎng)絡(luò)進行訓(xùn)練，將后100s的數(shù)據(jù)輸入網(wǎng)絡(luò)中預(yù)測該時間內(nèi)的SINS參數(shù)誤差，將誤差反饋給SINS得到修正后的SINS導(dǎo)航參數(shù)，并與真實軌跡進行對比。為了驗證該方法的優(yōu)越性，進行了以卡爾曼濾波為組合導(dǎo)航濾波方法的參照實驗。

圖3和圖4顯示的是SINS原始導(dǎo)航誤差和經(jīng)過小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測修正后的組合導(dǎo)航導(dǎo)航參數(shù)誤差對比圖，圖5和圖6顯示的是SINS原始誤差與采用卡爾曼濾波算法修正后的誤差對比圖，根據(jù)仿真結(jié)果可以看出，SINS由于自身特性導(dǎo)致定位和測速誤差隨時間不斷積累，與真實軌跡偏差越來越大。而經(jīng)過小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測修正的誤差與采用卡爾曼濾波組合導(dǎo)航修正后的誤差隨時間變化相對小得多，且誤差量遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于SINS誤差。位置速度均方誤差結(jié)果對比如表1所示。

圖3 小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)修正速度誤差對比圖

圖4 小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)修正位置誤差對比圖

圖5 卡爾曼濾波修正速度誤差對比圖

圖6 卡爾曼濾波修正位置誤差對比圖

東向速度/(m/s)北向速度/(m/s)天向速度/(m/s)東向距離/m北向距離/m高度/m仿真時間/sSINS原始數(shù)據(jù)3.78231.24160.851524.376454.235811.4335-小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)修正后0.00910.00820.11801.25327.45043.071111卡爾曼濾波修正后1.52140.85400.01261.16527.61093.1192319

可見利用小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測修正后的導(dǎo)航參數(shù)，其均方誤差小于采用卡爾曼濾波修正后的導(dǎo)航參數(shù)，能夠有效提高導(dǎo)航精度，在該實驗中，其修正效果優(yōu)于卡爾曼濾波的估計效果。

根據(jù)以上結(jié)果分析，得出以下結(jié)論：

1)在實際導(dǎo)航中，如同卡爾曼濾波的估計值，會將網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測值作為下一時段真實值重新訓(xùn)練。本次實驗在同樣已知真實軌道參數(shù)的基礎(chǔ)上，做了卡爾曼濾波的參照實驗，理論上由于小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)避免了數(shù)學(xué)模型建立中引入新的誤差，因而存在一定優(yōu)越性，實驗結(jié)果上證明了小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測效果是優(yōu)于卡爾曼濾波的估計效果，那么可以認(rèn)為在實際未知真實軌跡情況下，用預(yù)測值和估計值做為下一時段的真實值，用一個更優(yōu)值采用更優(yōu)方法去做預(yù)測其效果必然更優(yōu)，因此在實際導(dǎo)航過程中，該方法能夠有效提高組合導(dǎo)航的精度。

2)理論上小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)只針對位置與速度信息進行預(yù)測，且采用多個并行小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，等同于對數(shù)據(jù)進行降維處理，大大降低了計算量，從實驗仿真時間來看，小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)確實能夠提高導(dǎo)航的時效性。但是從仿真結(jié)果可以看到，到達仿真后部分修正的誤差值明顯有上升趨勢，因此該方法必須定時更新數(shù)據(jù)樣本，才能保證導(dǎo)航精度。仿真實驗得到誤差允許范圍內(nèi)預(yù)測的最大有效時間為3分鐘，在真實導(dǎo)航中，必須每隔一個最大有效時間利用最新數(shù)據(jù)進行離線訓(xùn)練，由于離線訓(xùn)練時間不長，仿真結(jié)果顯示5分鐘的數(shù)據(jù)只需要11 s的訓(xùn)練時間，因此在訓(xùn)練時間內(nèi)，可將GPS作為主導(dǎo)航系統(tǒng)，GPS輸出的位置速度信息作為導(dǎo)航輸出軌跡。綜上，該方法能夠在提高組合導(dǎo)航時效性的基礎(chǔ)上保證全程導(dǎo)航。

4 結(jié)束語

本文針對傳統(tǒng)的組合導(dǎo)航方法存在建立模型困難和數(shù)據(jù)維度大等問題，提出了一種利用小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，直接對解算后的位置速度誤差信息進行非線性預(yù)測的方法，并采用多個并行網(wǎng)絡(luò)對數(shù)據(jù)進行降維處理，擺脫了數(shù)學(xué)模型的桎梏，具備強大的非線性預(yù)測及容錯能力。以卡爾曼濾波為參照進行仿真實驗，結(jié)果表明，該方法能夠有效提高組合導(dǎo)航系統(tǒng)的精度與實時性，為組合導(dǎo)航濾波提供一種新的可行路徑。不足之處在于網(wǎng)絡(luò)初始權(quán)閾值及小波尺度位移參數(shù)由于存在隨機性，導(dǎo)致結(jié)果可能的隨機性甚至不收斂，在下一步實驗考慮采用思維進化理論加以優(yōu)化。