一種適用于高鐵變形預(yù)測的組合模型建立方法

康昊華12，劉立龍*12

(1.桂林理工大學(xué)測繪地理信息學(xué)院， 廣西桂林541004;2.廣西空間信息與測繪重點實驗室， 廣西桂林541004)

高鐵高鐵沉降變形觀測數(shù)據(jù)是反映高鐵路線運營狀況的重要指標(biāo)?？茖W(xué)分析高鐵沉降變形監(jiān)測數(shù)據(jù)，建立實時變形預(yù)測模型，對高鐵安全穩(wěn)定運行具有重要意義。因此，在高鐵路線投入運營后，仍然需要長期對其進(jìn)行變形監(jiān)測，并基于監(jiān)測數(shù)據(jù)對后期變形趨勢進(jìn)行預(yù)測。

目前，常見變形預(yù)測模型的建立主要是基于一種數(shù)學(xué)手段，這些手段包括時間序列法、小波分析法、灰色理論和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法等[1-4]。在實際工作中，單一的預(yù)測方法各有其優(yōu)缺點，傳統(tǒng)的灰色預(yù)測模型GM(1,1)作為最基本的預(yù)測模型，具有算法簡單、預(yù)測結(jié)果可靠性高、較為方便等優(yōu)點，而被廣泛應(yīng)用于高鐵沉降預(yù)測評估工作中[5-6]；但在實際的運用過程中由于高鐵工程的線上工程壓力大，測量精度要求高，由其他因素帶來的測量誤差在其中被明顯放大呈現(xiàn)出“小沉降，大波動”的現(xiàn)象[7]，因此在運用原始數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測處理時往往不能獲取較好預(yù)測結(jié)果；其次傳統(tǒng)的GM(1,1)模型在預(yù)測較長時間的數(shù)據(jù)時，由于數(shù)據(jù)累加常常出現(xiàn)預(yù)測結(jié)果發(fā)散的現(xiàn)象，且在預(yù)測處理規(guī)律變化不明顯、數(shù)據(jù)起伏較大的情況時結(jié)果并不理想。

針對上述單一法受原始數(shù)據(jù)受噪聲影響大、長期預(yù)測不準(zhǔn)確的問題，本文提出了一種基于小波去噪的自適應(yīng)GM(1,1)-MC組合模型。首先運用小波去噪原理對原始監(jiān)測數(shù)據(jù)進(jìn)行去噪處理，消除原始數(shù)據(jù)中的隨機擾動誤差提升數(shù)據(jù)質(zhì)量，隨后運用自適應(yīng)灰色預(yù)測模型進(jìn)行預(yù)測淡化原始數(shù)據(jù)中老舊數(shù)據(jù)的影響，最后運用馬爾科夫修正模型以期提高組合模型在趨勢性分析上的預(yù)測精度和準(zhǔn)確性。

1 基于小波的自適應(yīng)GM(1,1)-MC組合模型原理

1.1 小波去噪原理

小波具有對多分辨率的時域與頻域進(jìn)行分析這一功能，通過對原始數(shù)據(jù)的多尺度分解與重構(gòu)能夠有效地剔除原始數(shù)據(jù)中的噪聲擾動，從而提升變形數(shù)據(jù)的預(yù)測精度。通常情況下,本文將一個含噪聲的信號表示為：

f(t)=s(t)+g(t)。

(1)

首先對含噪信號進(jìn)行離散化的小波縮放，獲得一組離散信號f(n)。

(2)

式中，ωf(j,k)是變換后的小波系數(shù)，j=1,2,3,…,J為分解尺度數(shù)，k為平移因子。隨后針對性擇取基函數(shù)對該信號進(jìn)行一維小波，得到J尺度下的J個細(xì)節(jié)分量和J個近似分量。信號f(n)的正交小波變換的分解方法如式(3)：

(3)

其中，cj-1為近似小波系數(shù)，dj-1為細(xì)節(jié)小波系數(shù)。最后采用小波重構(gòu)獲取消噪之后的小波原信號估計值，其重構(gòu)公式為：

(4)

1.2 自適應(yīng)GM(1,1)模型

GM系列模型是灰色預(yù)測理論(grey system)中的最基本模型，尤其是GM(1,1)模型，其符號的具體含義：G(即Grey：灰色)，M(即Model：模型)，1(指1階方程)，1(代表1個變量)。原始GM(1,1)預(yù)測模型的建立過程：

設(shè)x(0)為非負(fù)的等間隔離散序列：

x(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n))。

(5)

記x(0)的一次累加序列為：

x(1)=(x(1)(1),x(1)(2)…,x(1)(n)),

(6)

對累加序列進(jìn)行求導(dǎo)獲得原始GM(1,1)模型所使用的白化方程：

(7)

白化方程的解為：

(8)

在式(8)中可求出待定常數(shù)a、b的值，a為發(fā)展系數(shù)用以調(diào)控系統(tǒng)整體的發(fā)展局勢；b為灰色作用量，其大小直接反映數(shù)據(jù)的波動變化情況。由式(7)可求出GM(1,1)模型的時間響應(yīng)序列為：

(9)

通過數(shù)據(jù)累減獲得GM(1,1)表達(dá)式為：

(10)

(11)

自適應(yīng)GM(1,1)是對原始模型的改進(jìn)[8-10]，將運用傳統(tǒng)的GM(1,1)模型預(yù)測得到x(0)(n+1)添加到原始的預(yù)測序列當(dāng)中，隨后將原始數(shù)據(jù)中時間距離上離新預(yù)測值最遠(yuǎn)的的數(shù)據(jù)值x(0)(1)進(jìn)行剔除，將新獲得的預(yù)測值補充進(jìn)入其中保持模型預(yù)測數(shù)據(jù)的等維；隨后用替換過后的數(shù)據(jù)模組繼續(xù)進(jìn)行GM(1,1)模型建立與替換，如此循環(huán)直到完成對全部數(shù)據(jù)的處理。

1.3 馬爾可夫模型

馬爾科夫模型(markov model， MC)[10-12]認(rèn)為自然界的隨機事件的產(chǎn)生都具有一定的相關(guān)性，通過對前若干次隨機事件的統(tǒng)計得出其概率分布，可以用來評估下一次隨機事件的發(fā)展?fàn)顟B(tài)。具體操作為將觀測值和預(yù)測值之間的誤差進(jìn)行狀態(tài)劃分，共劃分為n個區(qū)間(一般取3～5個區(qū)間)，即相對誤差從Sm通過k步轉(zhuǎn)變到Sn的概率表示為：

(12)

(13)

取離預(yù)測的觀察時序最近的若干個已知狀態(tài)數(shù)值，求取已知狀態(tài)轉(zhuǎn)移到預(yù)測狀態(tài)所經(jīng)歷的具體步長，然后再從狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣中找到相對應(yīng)的轉(zhuǎn)移概率，將處于每個狀態(tài)Si(i=1,2,3,…)進(jìn)行概率統(tǒng)計，找出處于哪個Si(i=1,2,3,…)中的概率和最大，這個預(yù)測值就處于相應(yīng)的狀態(tài)區(qū)間中，由此可得修正值為：

(14)

1.4 基于小波的自適應(yīng)GM(1,1)-MC組合模型

現(xiàn)依據(jù)高鐵變形監(jiān)測工作的實際情況結(jié)合各模型的特點建立一種基于小波的自適應(yīng)GM(1,1)-MC組合模型，具體流程如下。

Step1：小波數(shù)據(jù)處理。選擇合適的小波基函數(shù)對實際采集到的變形數(shù)據(jù)進(jìn)行去噪處理，并通過對小波分解層數(shù)與小波閾值選取進(jìn)行研究，獲取最佳的小波去噪方式。

Step2：對分解到低頻序列的變形數(shù)據(jù)采用自適應(yīng)灰色模型進(jìn)行預(yù)測，獲取小波灰色模型的預(yù)測結(jié)果。

Step3：引入馬爾可夫修正模型對小波灰色模型的預(yù)測結(jié)果進(jìn)行修正。模型預(yù)測流程如圖1所示。

2 工程算例

2.1 算例1

本文選用貴廣高鐵某路段路基基底沉降板中LO1點連續(xù)20期(觀測時間為2014年4月至2014年10月，觀測間隔為7 d)的垂直方向位移觀測量為原始計算數(shù)據(jù)。采用原始測量數(shù)據(jù)的前15期作為基礎(chǔ)擬合樣本，后5期數(shù)據(jù)為檢驗樣本。

為綜合比較各模型的預(yù)測效果，本文設(shè)計了3種方案進(jìn)行對比實驗：自適應(yīng)GM(1,1)模型(方案1)；對原始數(shù)據(jù)選用sym4小波進(jìn)行3尺度的小波分解與逆向重構(gòu)去噪后再建立自適應(yīng)GM(1,1)模型(方案2)；在方案2的基礎(chǔ)上引入馬爾科夫鏈進(jìn)行修正，殘差值狀態(tài)劃分如下s1=[-5.77 %,-1.63 %]，s2=[-1.62 %,2.65 %]，s3=[2.66 %,4.17 %](方案3)。各模型的預(yù)測結(jié)果如表1所示；實測值與3種方案的預(yù)測值對比曲線如圖2所示；3種方案的殘差比較結(jié)果如圖3所示。

表1 各模型預(yù)測結(jié)果對比Tab.1 Comparison of predicted results of each model mm

如圖2所示，當(dāng)沉降監(jiān)測點的沉降曲線總體呈現(xiàn)平穩(wěn)變化趨勢時，方案1隨著預(yù)測期數(shù)的增多與實測值之間的偏離程度愈發(fā)明顯，方案2與方案3呈現(xiàn)出一定的收斂趨勢，且方案3與實測值的貼合程度最好。由圖3可見方案2、3的殘差在初期較為平穩(wěn)，隨著預(yù)測時間的增加后方案2的發(fā)散速度明顯快于方案3，而方案1的殘差相對而言一直處于較大狀態(tài)。從表1中可以看出，方案1的預(yù)測穩(wěn)定性不強，殘差最大絕對值為1.85 mm遠(yuǎn)高于方案2與方案3。方案3的預(yù)測結(jié)果最好，殘差最小絕對值為0.12 mm,最大絕對值僅為0.37 mm。

圖2 實測值與3種方案的預(yù)測值對比
Fig.2 Comparison of measured values andpredicted values of three schemes

圖3 殘差圖
Fig.3 Residual graph

2.2 算例2

鑒于實際高鐵工程中常見的工程體突變情況，即前期觀測數(shù)據(jù)較為穩(wěn)定，中期某一時段出現(xiàn)大幅變形，隨后又趨于穩(wěn)定，本文另選用了某高速鐵路某路基沉降監(jiān)測數(shù)據(jù)25期(觀測時間為2015年6月至2016年3月，觀測間隔為7 d)，前20期作為基礎(chǔ)擬合樣本，后5期數(shù)據(jù)為檢驗樣本。

建立與算例1相同的3種方案進(jìn)行對比分析，各模型的預(yù)測結(jié)果如表2所示，圖4為實測值與3種方案的預(yù)測值對比曲線。3種方案的殘差比較結(jié)果如圖5所示。

表2 突變型工程體預(yù)測結(jié)果比較Tab.2 Comparison of prediction results for catastrophic engineering bodies mm

圖4 突變型工程體預(yù)測值對比
Fig.4 Comparison of prediction values forcatastrophic engineering bodies

圖5 突變型工程體殘差圖
Fig.5 Residual diagram of catastrophicengineering body

從表2可知，方案1的預(yù)測結(jié)果較差，殘差最大絕對值為2.15 mm，最小絕對值為0.54 mm，與實測值出現(xiàn)明顯偏差。方案2與方案3的擬合效果明顯優(yōu)于方案1，且方案3預(yù)測結(jié)果更好殘差最小絕對值為0.23 mm,最大絕對值僅為0.91 mm?？梢娫诮?jīng)過小波去噪處理后的自適應(yīng)GM(1,1)模型在預(yù)測突變體工程上能夠取得較好的效果，再經(jīng)過馬爾科夫模型對殘差數(shù)據(jù)進(jìn)行修正后能夠獲取得更為準(zhǔn)確的預(yù)測結(jié)果。

由圖4可知，在變形監(jiān)測點變化情況較為劇烈時,方案1的預(yù)測曲線明顯偏離實測值，在中部波動較大位置與實測曲線偏差較大。與實測曲線吻合度最高的是方案3，貼合程度最好且無明顯突變發(fā)生，有效反應(yīng)了實測曲線的細(xì)節(jié)信息。從圖5中看出方案1的殘差值的明顯大于另外兩種方案，經(jīng)過小波去噪后處理的方案2與方案3殘差值存在一個明顯的收斂趨勢。

為進(jìn)一步綜合評價本文方法，選用了均方根誤差與平均絕對誤差兩項評價指標(biāo)結(jié)果見表3。

表3 3種方案的預(yù)測精度比較Tab.3 Comparisons of prediction accuracy of three schemes mm

由表3可知，方案1的預(yù)測精度較低，兩個算例的均方根誤差分別為1.31 mm與1.42mm，方案2的預(yù)測精度較好于方案1。而本文方法的預(yù)測精度明顯較高，均方根誤差分別為0.21 mm與0.64 mm，與方案1相比改善率達(dá)到了83.96 %與54.93 %，平均絕對誤差分別僅為0.18 mm與0.59 mm。可見本文方法在高鐵預(yù)測的平穩(wěn)型與突變型情況中均能取得較好的預(yù)測結(jié)果。

綜上，本文方法首先利用小波分析作為數(shù)據(jù)分析的預(yù)處理工具，能有效消除原始數(shù)據(jù)中的噪聲部分；然后采用自適應(yīng)灰色預(yù)測模型對數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，找出其變化趨勢；最后，通過馬爾可夫模型進(jìn)行修正可以有效削弱觀測時間變長而產(chǎn)生的預(yù)測殘差迅速擴(kuò)大的情況，提升模型的整體預(yù)測精度。

3 結(jié)語

針對高鐵變形預(yù)測中呈現(xiàn)出的原始數(shù)據(jù)受噪聲影響大與長期預(yù)測不準(zhǔn)確的問題，本文將基于小波去噪的自適應(yīng)GM(1,1)-MC組合模型用于高鐵沉降變形監(jiān)測中，實驗結(jié)果表明：

①本文方法針對各單一模型的不足進(jìn)行了一定程度的補充具有更好的實際表現(xiàn)效果。在實際工作中采用基于小波的自適應(yīng)GM(1,1)-MC預(yù)測法來進(jìn)行高鐵沉降變形預(yù)測中具有一定的可行性。

②利用小波對原始的高鐵沉降數(shù)據(jù)進(jìn)行處理可以有效的將測量過程中的各種因素引起的噪聲進(jìn)行消除，提升了原始數(shù)據(jù)的質(zhì)量為后續(xù)的預(yù)測處理打下了良好的基礎(chǔ)。自適應(yīng)GM(1,1)-MC組合模型能夠較好地發(fā)揮新息的價值通過對模型原始數(shù)據(jù)進(jìn)行深度挖掘增強預(yù)測數(shù)據(jù)對變化趨勢的敏感性，消除長期預(yù)測造成的數(shù)據(jù)發(fā)散現(xiàn)象，獲得更高精度的預(yù)測值。

③本文選取的去噪小波與分解層數(shù)對模型的預(yù)測精度有較大影響，但在實驗過程中僅是基于經(jīng)驗處理與小樣本對比得出，更為合理的參數(shù)確定方法有待進(jìn)一步研究。