基于分析力學(xué)測(cè)量復(fù)擺作用下的重力加速度

李大正 李體俊 蔡魯剛

(山東省菏澤市菏澤學(xué)院物理與電子工程學(xué)院 274015)

重力加速度是一個(gè)非常重要的物理常數(shù)且有普遍的應(yīng)用，其數(shù)值的準(zhǔn)確測(cè)量也是大學(xué)物理中一個(gè)非常重要的實(shí)驗(yàn).傳統(tǒng)的測(cè)量方法有單擺法、自由落體法，但這些測(cè)量方法在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中常受到空氣阻力等因素的干擾，導(dǎo)致實(shí)驗(yàn)值和理論值之間存在一定誤差.如何減小這種誤差就成為實(shí)驗(yàn)測(cè)量中一項(xiàng)重要的工作.本文以復(fù)擺為研究對(duì)象并采用分析力學(xué)導(dǎo)出了復(fù)擺擺動(dòng)周期、擺角與重力加速度之間的關(guān)系，通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)量獲得相關(guān)物理數(shù)據(jù)并借助MATLAB程序?qū)?shù)據(jù)進(jìn)行處理，獲得了與理論相符合的重力加速度.

一、復(fù)擺重力加速度的推導(dǎo)

圖1

復(fù)擺的結(jié)構(gòu)模型如圖1所示，其中O點(diǎn)為懸掛點(diǎn)，以O(shè)為中心建立如圖所示坐標(biāo)軸，OZ軸垂直紙面向里.質(zhì)心的重力為mg，其距懸掛軸的距離為rC(圖中未標(biāo)出)，θ為擺角且θ<5°.

取q=θ作為廣義坐標(biāo)，OX軸作為零勢(shì)能面，則質(zhì)心處的重力勢(shì)能為V=-mgrCcosθ(1)

令回旋半徑為k，取轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I=mk2(3)

將(1)(4)合并，可得拉格朗日函數(shù)為

其中qa=θ，對(duì)(5)(6)整理得：

利用平行軸定理可知復(fù)擺相對(duì)于O點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

此為一般情形下，即θ<5°時(shí)的復(fù)擺周期公式，參考單擺實(shí)驗(yàn)中對(duì)較大擺角的修正情況，這里也可以對(duì)θ<5°的復(fù)擺擺角進(jìn)行修正，修正后的復(fù)擺周期公式即為

測(cè)出n組(x,y)的值，利用計(jì)算機(jī)作圖求出直線的斜率A和截距AB，進(jìn)而就可以求出重力加速度g和回旋半徑kc.

二、實(shí)驗(yàn)測(cè)量及數(shù)據(jù)處理

實(shí)驗(yàn)過(guò)程中通過(guò)改變懸掛點(diǎn)位置，即改變復(fù)擺質(zhì)心到懸掛點(diǎn)的距離共測(cè)量九組數(shù)據(jù)，啟動(dòng)復(fù)擺測(cè)30個(gè)周期的時(shí)間，擺角控制在(θ<5°)范圍內(nèi)，實(shí)驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)如表1所示.

表1 不同高度下各物理量的數(shù)值

其中，h是懸掛點(diǎn)高度(單位：cm)，T是周期(單位：s)

實(shí)驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)及通過(guò)MATLAB擬合處理結(jié)果如圖2所示：

圖2

由此可確定重力加速度數(shù)值為g=9.772m/s2.

三、總結(jié)

本文通過(guò)分析力學(xué)導(dǎo)出了復(fù)擺擺動(dòng)周期、擺角與重力加速度的關(guān)系，通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)量獲得了相關(guān)數(shù)據(jù)，并借助MATLAB軟件對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行了分析和處理，結(jié)果表明所得重力加速度與理論值之間的誤差在允許范圍之內(nèi).