瑕疵諧振石英半球殼固有剛性軸的定位

譚品恒，周闖，鄧文高，張家歐

(廣西大學機械工程學院， 廣西南寧530004)

0 引言

隨著對航空航天領域研究的深入，高精度慣性導航定位成為此領域日益重要和備受關注的研究課題[1-4]。近幾十年來，航空航天陀螺儀也歷經(jīng)幾代變換升級。其中，半球諧振陀螺儀以其高精度、高可靠性以及壽命長等特點成為陀螺儀里最具發(fā)展前景的一種[5-8]。但也是因為這種特性，使這種陀螺儀中核心結(jié)構(gòu)的石英半球殼(如圖1所示)的制造工藝要求十分精細。在石英半球殼制造工藝過程中難免產(chǎn)生微觀的孔隙與晶相結(jié)構(gòu)變異，造成宏觀的密度和阻尼不均勻等瑕疵[9-11]，這對半球諧振陀螺儀的高精度工作性能有著極大的影響[12-13]。

圖1 半球諧振陀螺儀的結(jié)構(gòu)
Fig.1 Structure of Hemispherical Resonator gyroscope

半球諧振陀螺儀是慣性導航元件中對于物體姿態(tài)測量的模塊，其主要通過二階模態(tài)的振動形成駐波，當基座隨物體旋轉(zhuǎn)時，由于科氏力的作用，駐波會相對基座產(chǎn)生進動，其中駐波相對激發(fā)振動的進動角度與基座自身旋轉(zhuǎn)的角度有恒定的比例關系，如公式(1)：

θ=Kφ,

(1)

其中θ為駐波進動角度；K為比例因子；φ為基座旋轉(zhuǎn)角度。通過感測電極解算測得駐波進動角度θ，根據(jù)上式可得到基座旋轉(zhuǎn)角度，即物體旋轉(zhuǎn)角度[14]。

無瑕疵的理想狀態(tài)半球殼，其激發(fā)模態(tài)與感測模態(tài)的固有頻率是相同的，然而密度和阻尼瑕疵會使此兩頻率分歧(即所謂的頻率裂解)，并導致測量的角速度有一些誤差，從而嚴重影響半球諧振陀螺儀的工作精度。李巍等[15]也嘗試設計過測試固有剛性軸的方案，但其理論和操作相對復雜，而且缺乏實驗或者仿真支撐。根據(jù)目前相關文獻[16]可知，當半球諧振陀螺儀同時存在密度和阻尼瑕疵時，可以在低頻固有剛性軸的所在方位的半球殼唇緣蝕刻去一定的質(zhì)量，半球殼的固有剛性軸在此蝕刻過程中方位不會發(fā)生變化，以此方法達到減少頻率裂解的目的。本方法建立在這個基礎上，通過強迫振動測試和李薩如圖觀察，能較快較準確地定位固有剛性軸。

1 固有軸系的定義

1.1 固有剛性軸

圖2 固有剛性軸Fig.2 Normal mode axes

半球諧振陀螺儀的誤差主要來源于諧振子的材料、工藝缺陷。其中對諧振子工作駐波影響最大的是密度ρ、楊氏模量E、薄殼的壁厚h等參數(shù)的不均勻性的傅里葉展開式的第四次諧波。該諧波的存在導致諧振子中出現(xiàn)2個成45°的固有軸系。如圖2所示，諧振子沿每個軸振動的固有頻率都能達到極大值和極小值。其頻率極大值和極小值的差稱為固有頻率分裂：Δω=ω2-ω1，其中ω1、ω2為固有頻率。固有頻率小的剛性軸即A-A軸(ω1)稱為“重”軸，也稱為小剛度軸；固有頻率大的剛性軸B-B軸(ω2)稱為“輕”軸，也稱為大剛度軸[14]。若將x和y振幅的運動方程式轉(zhuǎn)換到固有剛性軸上，則運動方程式會變?yōu)榉邱詈闲问?。這樣修正某一軸的頻率，不會影響到另一軸的頻率。

1.2 固有黏性軸

半球諧振子在有阻尼的情況下存在能量耗散使振幅衰減，如果諧振子的品質(zhì)因數(shù)沿半球殼圓周角分布不均勻，即阻尼分布不均勻(阻尼瑕疵)，就使駐波發(fā)生偏移。由于缺陷四次諧波的存在，使得諧振子中出現(xiàn)2個成45°的軸系，稱為“固有黏性軸”(principal damping axes)。諧振子振動的時間常數(shù)τ2和τ1沿著2個軸的每一個軸方向?qū)⑦_到極大值和極小值。由材料品質(zhì)因數(shù)不均勻(阻尼分布不均勻)造成的漂移速度一般難于進行機械補償，通常通過算法來補償[14]；這主要是因為品質(zhì)因數(shù)與很多因素有關，如噴鍍導電層、殘留的氣體壓力、空氣微粒落入表面等都將造成品質(zhì)因數(shù)的變化。由于瑕疵的隨機性，固有剛性軸和固有黏性軸一般不會重合。

2 強迫振動穩(wěn)態(tài)時半球諧振子運動呈封閉橢圓狀的證明

2.1 基于笛卡爾坐標系下解析方程式證明

根據(jù)二維彈簧—阻尼—質(zhì)點運動物理模型，參考圖3，本文用Lynch的方法[16]表示半球諧振子在笛卡爾坐標系下的運動方程(2)，其中x軸代表激勵電極所在方向，x代表此方向的質(zhì)點位移；y軸代表感測電極所在方向，y代表此方向的質(zhì)點位移。激勵電極與感測電極在實際半球殼上始終保持相隔45°擺放，而在此模型笛卡爾坐標系x-y中，它們分別代表x和y并且始終保持相隔90°，于是在此坐標系下的角度始終為實際半球殼上角度的兩倍。

圖3 諧振半球殼二維彈簧—阻尼—質(zhì)點運動物理模型Fig.3 Two dimension spring-damping-particle kinetic physical model of hemispherical resonant shell

(2)

式中

(3)

ω1：極小值固有頻率；ω2：極大值固有頻率；Δω：固有頻率裂解值；τ1：極小值阻尼時間常數(shù)；τ2：極大值阻尼時間常數(shù)；θω：固有剛性軸與x軸夾角；θτ：固有黏性軸與x軸夾角；θf：施力方向與x軸夾角。

在強迫振動測試定位時，半球殼是固定不動的，所以Ω=0；激勵電極位于半球殼直徑的兩端處，激勵電極輸入的是一對余弦力，所以fx=Acosωt,fy=0，將式(2)重寫為下列形式：

(4)

其穩(wěn)態(tài)時解的形式為：

x=Rcosωt+Ssinωty=Pcosωt+Qsinωt,

(5)

其中R、S、P、Q為常數(shù)。

將式(5)代入方程(4)有方程組(6)如下：

-A+K12P+K11R+ω(D12Q+D11S-Rω)=0K12Q+K11S-ω(D12P+D11R+Sω)=0K22P+K12R+ω(D22Q+D12S-Pω)=0K22Q+K12S-ω(D22P+D12R+Qω)=0,

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

本文將式(5)改寫成矩陣形式，有：

(11)

進一步得：

(12)

令Δ=RQ-PS,本文可以得到：

(13)

(14)

根據(jù)二次曲線的判別式來討論方程(14)是表示橢圓、雙曲線還是拋物線。已知一般的二元二次曲線方程為：

ax2+2bxy+cy2+2dx+2ey+f=0，

(15)

(16)

(17)

根據(jù)判別式條件有：①當I3=0時，方程為直線；②當I3≠0時，1.I2>0時方程為橢圓；2.I2<0時方程為雙曲線；③I2=0時方程為拋物線。則具體到已知方程式有：

(18)

(19)

(20)

f=-1。

(21)

b2-ac<0，

(22)

進一步有：

(23)

(24)

若要滿足式(24)，只要Δ=RQ-PS≠0即可。而在實際情況中，根據(jù)R、Q、P、S的解析式可知RQ≠PS是成立的，這便從解析上證明強迫振動最終穩(wěn)態(tài)時，質(zhì)點運動曲線為一封閉的橢圓。

2.2 基于Mathematica李薩如圖的數(shù)值仿真

通過圖4和圖5可以明顯看出在強迫振動穩(wěn)態(tài)下半球諧振子運動的李薩如圖一般情況為一個封閉的橢圓，這從仿真上驗證了理論解析證明的正確性。

3 含瑕疵半球殼固有剛性軸的定位

3.1 強迫振動穩(wěn)態(tài)時橢圓參數(shù)的解析形式

圖6 橢圓方程的坐標變換Fig.6 Coordinate transformation of elliptic equation

根據(jù)已知的方程可知，方程所代表的橢圓與坐標軸x-y有一傾角φ，而當進行坐標變換時，可以通過將原坐標旋轉(zhuǎn)φ角使橢圓的兩主軸與新的坐標軸x′-y′分別平行。求出此φ角便可確定穩(wěn)態(tài)時橢圓傾角。

如圖6所示，當坐標軸從x-y旋轉(zhuǎn)φ到坐標軸x′-y′后，坐標之間的變換滿足下式：

(25)

則原坐標用新坐標表示為：

(26)

將(26)式代入(14)式有：

(27)

經(jīng)過坐標變換后得到的新坐標軸下表示的橢圓方程為式(27)，若要滿足橢圓主軸與新坐標軸分別平行，則應滿足x′y′項的系數(shù)為“0”：

(28)

通過式(28)可以求得坐標軸的旋轉(zhuǎn)角度φ：

(29)

同時橢圓的長半軸a和短半軸b也可以得出：

(30)

(31)

3.2 數(shù)值仿真與分析

坐標變換旋轉(zhuǎn)的角度φ決定了穩(wěn)態(tài)時橢圓的傾角。而由于R、Q、P、S表達式的復雜性，橢圓傾角φ也不能通過直接求解其導數(shù)而得到最小值。因此，利用李薩如圖數(shù)值仿真模擬的方式同時配合φ相對于θf的函數(shù)圖像對其進行研究。

本文模擬一般情況的諧振半球殼，給定預設的初始條件:正弦力振幅A=0.01 N，ω1=5 200 Hz，ω2=5 200.01 Hz，τ1=300 s，τ2=440 s，θω=30°，θτ=-10°。改變激發(fā)角度θf，觀察諧振半球殼穩(wěn)態(tài)時運動的李薩如圖(圖7～圖14)。

圖7 激發(fā)角θf=30°李薩如圖
Fig.7 Excitation angleθf=30° Lissajous-Figure

圖8 激發(fā)角θf=31°李薩如圖
Fig.8 Excitation angleθf=31° Lissajous-Figure

圖9 激發(fā)角θf=35°李薩如圖
Fig.9 Excitation angleθf=35° Lissajous-Figure

圖10 激發(fā)角θf=45°李薩如圖
Fig.10 Excitation angleθf=45° Lissajous-Figure

圖11 激發(fā)角θf=60°李薩如圖
Fig.11 Excitation angleθf=60° Lissajous-Figure

圖12 激發(fā)角θf=75°李薩如圖
Fig.12 Excitation angleθf=75°Lissajous-Figure

圖13 激發(fā)角θf=90°李薩如圖
Fig.13 Excitation angleθf=90° Lissajous-Figure

圖14 激發(fā)角θf=120°李薩如圖
Fig.14 Excitation angleθf=120° Lissajous-Figure

圖15 穩(wěn)態(tài)時橢圓傾角φ隨激發(fā)角θf的變化Fig.15 Change of elliptic inclination φ with excitation angle θf at steady state

從圖7到圖14可以看出，隨著激發(fā)角θf從30°變化到120°，穩(wěn)態(tài)時李薩如圖的橢圓傾角φ從0°變化到180°?；诮o定的初始條件θω=30°，而另一固有剛性軸在李薩如圖中為120°(實際球殼中兩固有剛性軸應相差45°)，由此可以判定在固有剛性軸上進行強迫振動激發(fā)，得到的穩(wěn)態(tài)李薩如圖橢圓呈水平狀態(tài)，傾角φ為零，即與x軸重合。圖15描述的是式(29)的圖像，它直觀的表現(xiàn)了激發(fā)角在0～π弧度之間時，穩(wěn)態(tài)橢圓傾角φ的變化。經(jīng)Mathematica計算，在0～π弧度之間，傾角φ為零時激發(fā)角θf的值分別為0.524 32、1.308 84、2.093 63、2.879 90，分別對應30.041 1°、74.991 1°、119.756°、165.006°。其中需要注意的是75°和165°對應的是圖12所示的情況，而由于傾角函數(shù)φ(29)的周期為π/2，所以當傾角φ值超過-45°后便以此傾角的補角方向來計算，這也解釋了圖15中從0.524 32到1.308 84這一段圖像中間傾角φ值為什么從-45°跳變到45°。另外，正是由于傾角函數(shù)φ(29)是由tan函數(shù)反推得來，所以傾角φ取不到45°或者-45°處的值，在圖15中圓圈所標識出的點以及兩點間整條直線是無法取到的，則在此點所在橫坐標處應為斷點。于是傾角φ為0°(或180°)對應的激發(fā)角θf分別為30.041 1°(119.756°)。

綜上可知，在含有耦合瑕疵諧振半球殼固有剛性軸所在的方位的進行激發(fā)的強迫振動穩(wěn)態(tài)橢圓的傾角一定是為0°(橢圓是水平的)。故可以通過以上現(xiàn)象歸納的方法去測試一個未知具體參數(shù)的含耦合瑕疵諧振半球殼的固有剛性軸的具體方位角：給定一個半球殼任意直徑兩端處一個余弦力，使其保持強迫振動，待振動穩(wěn)定后觀測x和y兩處感測電極的位移李薩如圖，若呈現(xiàn)一封閉的傾角與x軸重合的橢圓，則可定位此激發(fā)處為固有剛性軸所在方位。否則，再更換另外的角度進行強迫振動激發(fā)，直至出現(xiàn)上述李薩如圖，便可定位其固有剛性軸。

4 結(jié)論

本研究針對的半球諧振陀螺儀是同時含有密度瑕疵和阻尼瑕疵的，這是實際中所知的半球諧振陀螺儀的一般情況。通過Lynch的二維彈簧—阻尼質(zhì)點運動模型建立的方程，在半球殼直徑兩端施加一對方向相反的余弦力以達成強迫振動。為了使觀察到穩(wěn)態(tài)時的李薩如圖更有說服力，本文證明了強迫振動穩(wěn)態(tài)時李薩如圖為一封閉的橢圓，這也為后續(xù)觀察橢圓傾角提供了可能。當給定了初始條件和半球殼特性參數(shù)后，得到了強迫振動穩(wěn)態(tài)時李薩如圖的橢圓傾角與激發(fā)角度的關系，并提供了相應的李薩如圖。仿真實驗表明，若以固有剛性軸方位角作為激發(fā)角來完成強迫振動，則穩(wěn)態(tài)時李薩如圖的橢圓一定與x軸是重合的，即橢圓的傾角與激勵電極所在的x軸相差最小。通過這一現(xiàn)象，可以給未知具體參數(shù)的含耦合瑕疵的半球諧振陀螺儀進行固有剛性軸的定位。