基于曲率變化特征的既有線路整正算法設(shè)計

潘振興,韓 峰,王 博,牛進德,張少謹

(1.蘭州交通大學(xué)測繪與地理信息學(xué)院,蘭州 730070； 2.蘭州交通大學(xué)土木工程學(xué)院,蘭州 730070)

隨著我國鐵路事業(yè)的飛速發(fā)展，鐵路線路的安全問題日益凸顯，線路在荷載作用下產(chǎn)生的不可避免的變形就需要先進的技術(shù)手段來進行曲線位置的整正。曲線整正比較成熟的方法有3種，其中偏角法、繩正法都是通過計算設(shè)計點和實際曲線點的差值來獲得該點處撥距，坐標(biāo)法相對于偏角法和繩正法而言有諸多優(yōu)點，主要是在于坐標(biāo)法操作簡單，測點可以任意選取，受行車影響小，量測精度高[1-2]。

王保成[3]依據(jù)線路在撥正前后軌道長度保持不變的原則，利用切曲差來計算線路參數(shù)，進行撥距量計算，但在選取初始線路參數(shù)時未能將線路過渡段的測點參與整體擬合。覃乃軒等[4]針對傳統(tǒng)的偏角法、繩正法在平面線路測量方法上存在的諸多弊端，依據(jù)坐標(biāo)法進行曲線整正的原理，提出了只測量線路中心線坐標(biāo)對線路進行整體優(yōu)化，計算出最優(yōu)曲線要素和撥距，大大提高了作業(yè)效率，算法雖然達到了整體最優(yōu)但未能考慮到由于撥道前后線路長度的變化而引起的鎖定軌溫的改變，不利于后期的養(yǎng)護維修工作。劉永孝、李家穩(wěn)等[5-6]通過坐標(biāo)法，采用實測測點沿徑向到整正后測點的距離來計算各點撥距的方法，取得了很好的效果，但在圓曲線較長時整正效果不顯著。秦方方等[7]通過對既有曲線進行參數(shù)重構(gòu)，提出運用三次樣條曲線對線路整體進行曲線整正的方法，達到了線路的逆向重構(gòu)，但在數(shù)據(jù)處理過程中難以確定圓曲線長度且計算量較大。段曉峰等[8]根據(jù)三維激光掃描技術(shù)，通過獲取既有線測點的點云信息來真實反映線路的實際運行狀況，提出了依據(jù)曲率變化率進行曲線整正方法，但對現(xiàn)場測量要求嚴苛且數(shù)據(jù)量巨大，不能快速實時反映線路狀況。針對既有曲線整正的特點及其存在的問題，對軌道的平面幾何形位從曲率、曲率變化率的角度出發(fā)，實時獲取不同采樣間隔下軌道的質(zhì)量狀況，設(shè)計采用正交最小二乘擬合圓曲線段參數(shù)，用三次樣條擬合緩和曲線段參數(shù)的算法，進行曲線參數(shù)擬合，進行既有曲線整正的算法設(shè)計。

1 線路數(shù)據(jù)的獲取

軌檢小車在線路檢測中有著廣泛的應(yīng)用，是檢測軌道內(nèi)外部幾何狀態(tài)的測量裝置，由軌距測量傳感器、超高測量傳感器、高精度全站儀以及無線通訊裝置等組成。其對高速鐵路道床結(jié)構(gòu)的鋪設(shè)、長軌鋪設(shè)、長鋼軌精調(diào)和后期的養(yǎng)護維護都有著重要意義[9]。軌檢小車可以獲取線路的平面位置和高程，采集的線路數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 采集的線路數(shù)據(jù)

2 線路參數(shù)的確定

曲線整正時，確定一條完整的鐵路線路需要曲線轉(zhuǎn)角α、圓曲線半徑R，前后段的緩和曲線長度L01、L02等線路要素。

2.1 鐵路曲線的曲率特性

既有線路經(jīng)過長期荷載作用，其平面線形較設(shè)計位置會產(chǎn)生巨大變化，使得鐵路曲線線形不再符合設(shè)計標(biāo)準(zhǔn)，從而影響行車安全。軌檢小車獲得的數(shù)據(jù)，從線路曲率、曲率變化率出發(fā)，來反映線路實際情況，可以簡單、快速地找出曲率超限的地方[10]。鐵路線路由直線、圓曲線及緩和曲線三部分組成，理論上這三部分的曲率圖為梯形[11]，在現(xiàn)場實地獲取的5 m間隔和10 m間隔的線路曲率分別如圖1、圖2所示。

圖1 實測5 m間隔曲率

圖2 實測10 m間隔曲率

從圖1可以看出，5 m間隔點的曲率變化劇烈，出現(xiàn)了反彎點，同時也出現(xiàn)了正負交替的現(xiàn)象，且較大的曲率變化出現(xiàn)在緩和曲線與圓曲線的過渡段附近，這表明實際的曲線軌向不良。獲取線路軌向變化不平順的地方，就可以針對這些異常點進行處理，提高了工作效率。在實際工作中，通常是用曲率變化率來做進一步分析，進行定量說明。從圖2可以看到，對采集的10 m間隔的測點繪制曲率，線路曲率數(shù)據(jù)總體表現(xiàn)為梯形，且曲率變化相對平緩，只有局部點出現(xiàn)異常。這表明隨著數(shù)據(jù)采樣間隔的縮短，可以更加真實有效地反映線路的軌向狀況。

圖3 實測5 m間隔曲率變化率

圖4 實測10 m間隔曲率變化率

從圖3可以看出，采集5 m間隔測點的曲率變化率動蕩劇烈，在圓曲線兩端的緩圓點、圓緩點附近出現(xiàn)較大變化，且超出管理值限界。在曲線段上出現(xiàn)的曲率變化率超限，除了可能與軌向不連續(xù)變化有關(guān)外，也可能與軌距的超限有著密切的關(guān)系。針對此類超限，通過建立一定長度的曲線控制樁，逐點測量整個曲線的正矢值[11]，找出曲率變化超限的地方，從而確定各主點的位置。從圖4可以看出，10 m間隔的曲率變化率動蕩相對平緩，且都小于管理值限界，不存在可能與軌向和軌距相關(guān)的超限。通過上述不同間隔點下的曲率變化率可以看到，相較于10 m點間隔的曲率變化率而言，采用5 m間隔點數(shù)據(jù)進行曲率變化率特征提取得到的線路參數(shù)，能夠更好地反映軌道運行情況是否良好，在線路軌向檢測上有較高的代表性，同時可以滿足線形與行車安全的要求。針對曲率變化率超過管理值限界的點，通過一定的處理，就可以獲得符合線路要求的曲率變化率結(jié)果。經(jīng)過消除曲率反彎點后，5 m間隔曲率變化率超限處理結(jié)果如圖5所示。

圖5 5 m間隔曲率變化率超限處理

2.2 線路參數(shù)擬合

2.2.1 圓曲線段擬合

在客貨共線鐵路上，圓曲線上的數(shù)學(xué)表達式一般由下式給出

(x-xc)2+(y-yc)2=R2

(1)

式中，xc、yc、R均為待求的參數(shù)。

則考慮改正數(shù)，可得下式

(2)

設(shè)曲線上任意測點(xi，yi)到待定圓曲線上的距離為Vi，可得下式

hi=R0+δRi

(3)

(4)

Vi=Hi-hi

(5)

將式(5)按泰勒公式展開，并忽略二階以上的高次項，可得誤差方程，則有

(6)

根據(jù)式(1)、式(2)和式(5)可得到誤差方程的系數(shù)矩陣B、常數(shù)項l和權(quán)陣P，解法方程得

(7)

單位權(quán)中誤差為

(8)

其中：n為觀測值個數(shù)，t為必要觀測數(shù)。

最后得到圓曲線的待求參數(shù)

(9)

為驗證本方法的擬合效果，選取蘭新上行線段圓曲線上軌檢小車采集5 m間隔和10 m間隔的測點為例，經(jīng)過擬合計算得到的圓曲線參數(shù)如表2所示。利用公式(8)計算得到5 m采樣間隔的擬合中誤差為0.019 7，表明采樣間隔密集時擬合效果良好。

表2 圓曲線擬合參數(shù)

2.2.2 緩和曲線段擬合

緩和曲線的線形有多種，在既有線鐵路上通常采用的是三次拋物線緩和曲線，由于其能夠真實反映曲線線形，易于施工，擬合表達式簡單，計算處理方便，便于掌握和工程應(yīng)用而被廣泛應(yīng)用[12]。其直角坐標(biāo)方程如下

(10)

式中x、y——緩和曲線上任意一點的坐標(biāo)值；

R——圓曲線半徑；

l0——緩和曲線長度。

用三次樣條曲線作為插值函數(shù)，利用軌檢小車獲取的5 m間隔點的采樣數(shù)據(jù)，按照概略分組的測點坐標(biāo)，依據(jù)第二類邊界條件求得插值函數(shù)的擬合方程[13]，擬合得到的其中一條緩和曲線如圖6所示。

圖6 三次樣條擬合緩和曲線

借助Matlab軟件求解，可以同時獲得樣條函數(shù)在每個小區(qū)間的表達式，從而計算出整個線路的擬合曲線參數(shù)。設(shè)平面曲線的弧長為y=f(x)，(a≤x≤b)，則弧微分表達式為

(11)

弧長為

(12)

其中，f(x)在a，b上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)。依據(jù)公式(11)和公式(12)可得擬合曲線的弧長。得到的緩和曲線參數(shù)見表3。

表3 緩和曲線擬合參數(shù)

由表3看出，前后段緩和曲線長度近似相等，且差值小于一定的限值，可取其平均值作為最終的緩和曲線長。

3 曲線整正算法

依據(jù)鐵路線形的曲率、曲率變化率特征，計算出特征分界點，然后對不同區(qū)段的測點進行擬合得到最終的重構(gòu)參數(shù)，但在采樣點間隔較大且軌向變化復(fù)雜時線形特征變化往往不明顯[14]，難以真實反映線路的軌道狀況，因此整體識別的精度比較低，不能滿足自動化操作的要求，同時也會降低作業(yè)效率。根據(jù)曲率、曲率變化率的特征首先判斷出處于各線形上的測點，然后用正交最小二乘擬合和三次樣條插值擬合的方法，通過迭代計算實現(xiàn)平面線形的精確分段。

3.1 線路平面線形概略分段

一般認為，把曲率值ρ=1.25×10-4認為是直線段與曲線的臨界變化點，當(dāng)線路上某測點的曲率值ρ<1.25×10-4時，認為此測點在直線段上[15-18]。由于線路在列車和外界環(huán)境綜合作用下發(fā)生位置的改變，使得緩和曲線與圓曲線的分界點不再符合此分類標(biāo)準(zhǔn)。此時，可先求出前后兩條直線的交點坐標(biāo)，在交點坐標(biāo)所對應(yīng)的軌道兩側(cè)的實測點肯定在圓曲線段上，對圓曲線段內(nèi)選取的測點(一般情況下選取5-7個測點)進行正交最小二乘擬合就可得到概略的圓曲線要素，包括概略半徑R和概略的圓心坐標(biāo)(x0，y0)，對其余的測點進行三次樣條擬合，得到前后段的緩和曲線長度，從而對線形完成了概略分段。

3.2 線路平面線形精確分段

對線路測點經(jīng)過概略分組后，獲得線路平面的相應(yīng)參數(shù)，計算得到線路的主點里程[19-21]，通過重復(fù)迭代擬合，直到相鄰兩次分段結(jié)果樁點的位置差異滿足限差為止。其算法的基本思路如下。

(1)根據(jù)既有線曲率、曲率變化率的特點，對軌道線路進行概略的分組，初步確定各線形分段點的初始里程。

(2)根據(jù)概略的測點分組結(jié)果，用參數(shù)擬合的方法，計算出線路的半徑、圓心坐標(biāo)以及前后段緩和曲線長度等曲線要素。

(3)根據(jù)前后2條直線方程得到的交點坐標(biāo)(XJD，YJD)和兩直線的坐標(biāo)方位角A1、A2，計算直緩點和緩直點的坐標(biāo)。

(4)依據(jù)緩和曲線參數(shù)方程計算得到緩圓點和圓緩點的坐標(biāo)，并根據(jù)各主點的坐標(biāo)值計算各特征點的線路里程。

(5)得到各特征點的平面坐標(biāo)和里程后，不斷重復(fù)上述步驟進行迭代計算，直至各特征點變化滿足要求后，將最后的結(jié)果作為最終的精確分段結(jié)果。

(6)根據(jù)精確分段的結(jié)果計算得到線路最終撥道量。

4 應(yīng)用分析

以蘭新上行線K100～K127的一段軌檢小車采集5 m間隔的中線數(shù)據(jù)為例，對本文方法進行驗證。曲線初始參數(shù)為半徑R=2 017.371 m，L01=158.958 m，L02=154.489 m。重復(fù)上述步驟進行參數(shù)重構(gòu)，最終擬合的線路要素為：R=2 000 m，前后段緩和曲線長度均為L=160 m。計算得到的線路主點里程，見表4。

表4 線路主點里程 m

根據(jù)上述步驟計算的線路參數(shù)和各主點坐標(biāo)，可以得到不同采樣間隔下各對應(yīng)測點處的撥道量圖，5 m測點計算得到的撥道量如圖7所示。與此同時，圖8中顯示了偏角法和繩正法在同等間隔下計算得到的撥道量結(jié)果。對比圖7和圖8不同方法得到的結(jié)果，由此可知，本文方法計算得到的撥道量在測點處符合較好，得到的平面調(diào)整量最小，能夠更好地反映線路的實際運行狀態(tài)，同時還可以獲得任意測點處的撥道量。

圖7 曲率變化特征的測點撥道量計算

圖8 偏角法、繩正法撥道量計算

5 結(jié)論

以曲率、曲率變化率的線路特征為出發(fā)點，通過曲率和曲率變化率可以實時再現(xiàn)軌道的狀態(tài)，實時掌握軌道的質(zhì)量狀況。在獲取線路實際參數(shù)的過程中，分別用三次樣條擬合緩和曲線參數(shù)和用正交最小二乘擬合圓曲線的線路參數(shù)的基礎(chǔ)上，達到了線路的整體參數(shù)最優(yōu)。在保證上述要求的基礎(chǔ)上，提出一種基于曲率變化特征的既有曲線整正方法，并用實例驗證了此方法的實用性和可行性。通過實例表明，所提出的方法可快捷地獲得既有曲線上任意點的撥道量，真實反映線路的實際狀況。