車輛最佳動力性泛函表達(dá)及數(shù)值解法

郭智薔, 吳維, 劉洋, 李博, 苑士華

(1.北京理工大學(xué) 機(jī)械與車輛學(xué)院，車輛傳動重點(diǎn)實驗室，北京 100081; 2.北京特種車輛研究所，北京 100081)

無級變速傳動裝置能夠?qū)崿F(xiàn)車輛傳動系統(tǒng)速比連續(xù)不間斷調(diào)整，使得任何車速下發(fā)動機(jī)均能夠工作在最佳工況點(diǎn)及高效工作區(qū)[1-2]. 通過合理控制無級傳動車輛的速比，可以使無級變速車輛具有更好的車輛動力性與燃油經(jīng)濟(jì)性，近年來關(guān)于無級變速傳動裝置速比及其變化率的控制策略研究成為車輛研究的熱點(diǎn)之一[3-4].

傳統(tǒng)的無級變速車輛的最佳動力性速比控制策略由Tsukuda K等提出，控制發(fā)動機(jī)始終工作在各油門開度下的最大功率點(diǎn). 羅勇等[5]在此基礎(chǔ)上考慮發(fā)動機(jī)輸出特性和無級傳動效率特性，以傳動系聯(lián)合輸出功率最大為優(yōu)化目標(biāo)，采用窮舉法得到任意車速和油門開度下的目標(biāo)速比. 馬士澤等[6]提出無級變速速比PID控制方法，經(jīng)仿真分析后指出速比變化率對加減速性能起著關(guān)鍵性作用，其決定著輸出功率和阻力功率的動態(tài)匹配關(guān)系. 徐少兵等[7]將無級變速傳動車輛經(jīng)濟(jì)性行駛控制策略的辨識構(gòu)建為一個Bolza最優(yōu)控制問題，利用Legendre偽譜最優(yōu)控制法進(jìn)行了定量研究，指出最優(yōu)加速策略是與發(fā)動機(jī)特性和目標(biāo)末速度密切相關(guān)的動態(tài)策略.

泛函分析理論具有高度的抽象性和概括性，近年來泛函分析廣泛應(yīng)用于最優(yōu)控制問題，但在車輛傳動領(lǐng)域應(yīng)用相對較少[8]. 文中為進(jìn)一步提高無級變速車輛動力性，實現(xiàn)最佳動力性速比控制，引入泛函分析方法，以目標(biāo)速比作為泛函宗量，以車輛加速時間作為優(yōu)化目標(biāo)構(gòu)建性能泛函，將車輛最佳動力性速比控制抽象為泛函極值問題. 針對性能泛函強(qiáng)非線性導(dǎo)致無法獲得解析解的情況，利用歐拉有限差分法對泛函宗量進(jìn)行數(shù)值求解，得到無級變速傳動裝置最優(yōu)加速性能下的目標(biāo)速比. 通過搭建無級傳動系統(tǒng)動態(tài)模型，對比分析傳統(tǒng)速比控制與泛函優(yōu)化速比控制下車輛加速性能的差異，驗證了泛函分析應(yīng)用于無級傳動裝置速比控制問題的理論可行性.

1 車輛加速時間性能泛函構(gòu)建

車輛的加速時間是表征車輛動力性的重要指標(biāo)之一，加速性能的優(yōu)劣直接反應(yīng)車輛的動力性能. 文中以加速過程中車輛所用的加速時間作為動力性指標(biāo)，以無級變速速比作為泛函宗量，建立無級傳動車輛加速時間性能泛函.

1.1 加速時間性能泛函數(shù)學(xué)推導(dǎo)

文中所述車輛傳動系包括發(fā)動機(jī)、濕式多片離合器、變速器、主減速器和差速器等. 為保證模型的精確性和簡潔性，對車輛動力傳動系統(tǒng)進(jìn)行一定程度的簡化：①忽略發(fā)動機(jī)及變速器高階動態(tài)特性；②忽略由于旋轉(zhuǎn)造成的傳動系間隙及相關(guān)桿件的扭轉(zhuǎn)變形；③忽略多片離合器車輛加速過程的滑摩[9]. 基于上述假設(shè)，對車輛加速時的縱向動力傳動過程建模并推導(dǎo)加速時間性能泛函.

在討論速比控制問題時，假設(shè)離合器結(jié)合完全同時不發(fā)生滑轉(zhuǎn)現(xiàn)象，此時無級變速器輸入軸與發(fā)動機(jī)輸出軸可視為剛性聯(lián)結(jié)[7]，并且假設(shè)車輪滑移率為0，此時發(fā)動機(jī)轉(zhuǎn)速和車速存在如下關(guān)系：

ωe=iCVTim0u/r,

(1)

式中：iCVT為無級變速速比；ωe為發(fā)動機(jī)轉(zhuǎn)速；im0為主速比；u為車速；r為車輪滾動半徑.

無級變速速比iCVT隨時間t連續(xù)變化，車速u也隨時間t連續(xù)變化. 速比控制策略在平直路面行駛條件下進(jìn)行制定，在加速過程中不出現(xiàn)突出的路面阻力，在發(fā)動機(jī)飛輪轉(zhuǎn)動慣量和無級變速器主動部分慣量較小，且車輛加速響應(yīng)及時的情況下，車輛加速過程可以保持加速度為正數(shù)，即車輛不發(fā)生減速，車速u為時間t的單調(diào)遞增函數(shù). 根據(jù)反函數(shù)理論，無級變速器速比iCVT可以看作車速u的函數(shù)，即：

iCVT(u)=iCVT[t-1(u)],

(2)

將式(1)兩端同時對時間t進(jìn)行求導(dǎo)，得

(3)

考慮發(fā)動機(jī)旋轉(zhuǎn)部件轉(zhuǎn)動慣量，加速時傳動半軸作用于驅(qū)動輪的轉(zhuǎn)矩為

(4)

式中:T1為考慮傳動效率的驅(qū)動輪轉(zhuǎn)矩；Ttq為發(fā)動機(jī)輸出轉(zhuǎn)矩；If為發(fā)動機(jī)旋轉(zhuǎn)部件轉(zhuǎn)動慣量；ηCVT為無級變速傳動效率.

傳動系統(tǒng)效率損失由系統(tǒng)中各處接觸部件之間的摩擦引起，則傳動系中各處摩擦作用轉(zhuǎn)換到驅(qū)動輪處的摩擦阻力轉(zhuǎn)矩TR為

(5)

主速比im0為常數(shù)，對于變速器速比iCVT的求導(dǎo)等計算不產(chǎn)生影響，因此利用i=im0iCVT進(jìn)行變量代換，并將式(4)代入式(5)，得到傳動系統(tǒng)的摩擦損耗功率PR為

PR=

(6)

根據(jù)能量守恒定律，得到動力學(xué)功率平衡方程

,

(7)

式中:m為整車質(zhì)量；IW為車輪轉(zhuǎn)動慣量；Ff為滾動阻力；Fw為空氣阻力；Fi為坡道阻力.

根據(jù)式(7)可以得到車輛加速度av為

(8)

式中:Ft為車輛驅(qū)動力；i′為速比相對車速的變化率，即i′=di/du.

根據(jù)車輛縱向動力學(xué)，加速工況下，車輛驅(qū)動力Ft為

Ft=Ttqim0iCVTηCVT/r=TtqiηCVT/r.

(9)

1.2 加速時間性能泛函數(shù)學(xué)表征

根據(jù)車輛加速度的定義可知，車輛的加速時間為加速度倒數(shù)對車速u的積分，即

(10)

式中：ta為車輛加速時間；u0、u1分別為車輛的初始車速和終止車速.

根據(jù)最簡泛函數(shù)學(xué)形式：

(11)

對加速時間ta的表達(dá)作如下變量代換：u=x，i=y，i′=y′，則加速時間ta可視為以車速u為自變量，以目標(biāo)速比i為宗量函數(shù)的泛函，即T=J[i(u)]，u0和u1為性能泛函區(qū)間端點(diǎn)值.

考慮平坦道路加速行駛工況，坡道阻力為0，并將滾動阻力系數(shù)視為常數(shù)，對滾動阻力、加速阻力、空氣阻力中的計算參數(shù)作如下變量代換

λ1=m+∑IW/r2,λ2=If/r2,λ3=fmg,
λ4=3.62CDA/21.15 .

(12)

得到簡化后加速時間性能泛函數(shù)學(xué)表征形式為

J[i(u)]=

(13)

文中取無級傳動效率為速比的函數(shù)，將無級傳動效率擬合為總速比的二次函數(shù)，得到無級傳動效率數(shù)學(xué)表達(dá)式

ηCVT=p1i2+p2i+p3,

(14)

式中：p1，p2，p3為多項式系數(shù)，文中取p1=-0.003 4，p2=0.070 7，p3=0.481 4.

將式(14)帶入式(13)，得到考慮無級傳動效率為變量的加速時間性能泛函式為

(15)

2 性能泛函求解算法及邊界條件

文中構(gòu)建的性能泛函由于其具有強(qiáng)非線性，無法直接利用泛函取極值所滿足的歐拉方程獲得泛函宗量精確解，文中根據(jù)變分法原理，將性能泛函離散化，采用歐拉有限差分法對泛函宗量進(jìn)行數(shù)值求解.

2.1 性能泛函直接解法

對于性能泛函J[i(u)]，其邊界條件為：i(u0)=i0，i(u1)=i1；利用歐拉有限差分法對泛函宗量i進(jìn)行數(shù)值求解，求解該性能泛函近似解具體步驟如下：

① 將區(qū)間[u0,u1]劃分為n小段，每個小段稱為一個有限單元，每個單元內(nèi)假設(shè)泛函宗量i是自變量u的線性函數(shù)，根據(jù)Lagrange插值可得

(uk-1≤u≤uk).

(16)

即利用折線代替泛函宗量i(u)解析解中的連續(xù)曲線，由于文中性能泛函J[i(u)]只涉及i、i′而不涉及泛函宗量i的高階導(dǎo)數(shù)，因而利用折線近似代替是合理的.

② 將Lagrange插值曲線帶入性能泛函，將J[i(u)]轉(zhuǎn)換為節(jié)點(diǎn)u1，u2，…，un-1的多元函數(shù)，即

J*[i(u)]=φ(u1,u2,…,un-1).

(17)

為保證性能泛函J在各自變量u處均取極值，應(yīng)使J*[i(u)]在各節(jié)點(diǎn)處均達(dá)到極值，得到關(guān)于節(jié)點(diǎn)值的n-1階非線性方程組

?φ/?ik=0 (k=1,2,…,n-1).

(18)

求解式(18)的非線性方程組，可以獲得泛函宗量i近似解的一組折線，當(dāng)有限元盡可能小時，該解可以近似為各車速下的最優(yōu)加速性目標(biāo)速比.

2.2 性能泛函離散化

根據(jù)歐拉有限差分法，將性能泛函離散化. 泛函宗量在相應(yīng)點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值由導(dǎo)數(shù)近似公式計算：

i′k=i′(uk)≈(uk+1-uk)/Δu.

(19)

將性能泛函積分利用矩形公式表示為有限和形式

[f(u0)+f(u0+Δu)+…+f(u1-Δu)]Δu.

(20)

則離散化加速時間性能泛函數(shù)值表達(dá)式為

為簡化計算，取節(jié)點(diǎn)差值Δu為定值，在所有節(jié)點(diǎn)值處均取得極值，得到關(guān)于n-1個節(jié)點(diǎn)值的n-1元非線性方程組為

(j=1,2,…,n-1),

(21)

其中，A1～A4具體數(shù)學(xué)表達(dá)式為

式中i0和in分別為車輛加速過程的初、末車速對應(yīng)的目標(biāo)速比值.

2.3 泛函邊界條件及數(shù)值解

車輛加速性能與后備功率密切相關(guān)，車輛后備功率大則加速性能好. 將u0和u1的邊界條件設(shè)置為初始車速和終止車速對應(yīng)的各油門開度下傳動系最大聯(lián)合輸出功率點(diǎn).

以油門開度α=1為例，為避免出現(xiàn)末端車速過高導(dǎo)致av≈0，造成方程組求解發(fā)散的情況(此時1/av≈∞)，選取加速過程初始車速u0=6 km/h，末端車速u1=60 km/h，對應(yīng)變速箱最優(yōu)速比分別為4.625和0.9，由i=im0iCVT，則邊界條件為i0=18.5，in=3.6.

計算過程所采用的系統(tǒng)參數(shù)值如表1所示.

表1 系統(tǒng)參數(shù)值

為保證離散化結(jié)果的精確度及目標(biāo)速比的連續(xù)性，節(jié)點(diǎn)數(shù)的選取不宜過少. 文中選取節(jié)點(diǎn)數(shù)為30，根據(jù)式(22)的描述得到非線性方程組，利用Newton迭代法進(jìn)行求解，得到泛函宗量i在不同油門開度、不同車速下的數(shù)值解，從而獲得最優(yōu)加速性目標(biāo)速比.

3 模型動態(tài)仿真與分析

為了驗證泛函分析法得到的最佳動力性目標(biāo)速比對于提升車輛動力性的動態(tài)效果，建立無級傳動系統(tǒng)動態(tài)仿真模型，并與傳統(tǒng)基于各油門開度下發(fā)動機(jī)輸出功率最大[5]的速比控制策略、聯(lián)合輸出功率最大的速比控制策略進(jìn)行加速性能的對比分析.

采用油門開度α為1，仿真結(jié)果表征車輛的極限加速能力，仿真時采用定步長求解方式，3種無級傳動最佳動力性速比控制策略下加速性對比如圖1所示. 從圖1中可以看出，泛函分析法獲得的動力性目標(biāo)速比在車速由6 km/h加速到60 km/h時所用加速時間最短，為9.1 s；按照聯(lián)合輸出功率最大動力性目標(biāo)速比加速用時稍長，需要9.2 s；而傳統(tǒng)保持發(fā)動機(jī)工作在各油門開度最大輸出功率點(diǎn)的速比控制策略下加速性能表現(xiàn)最差，加速時間為9.9 s，泛函分析法與之相比加速時間減少8.79%.

圖1 全油門加速性能對比曲線Fig.1 Contrast curves of extreme acceleration

圖2為油門開度為1時，采用不同速比控制策略得到的發(fā)動機(jī)轉(zhuǎn)速變化曲線. 由圖2可知，按照傳統(tǒng)的發(fā)動機(jī)輸出功率最大速比控制方法，發(fā)動機(jī)很快加速到最大功率點(diǎn)轉(zhuǎn)速1 840 r/min并保持不變；而聯(lián)合輸出功率最大法及泛函分析法的末端轉(zhuǎn)速均稍大于最大功率點(diǎn)轉(zhuǎn)速，說明發(fā)動機(jī)輸出功率最大并不能使車輛加速性能最優(yōu). 車速在60 km/h之后利用泛函分析法得到的發(fā)動機(jī)轉(zhuǎn)速有緩慢上升趨勢，逐漸偏離聯(lián)合輸出功率最大曲線.

圖2 全油門加速時發(fā)動機(jī)轉(zhuǎn)速曲線Fig.2 Engine speed curves of α=1

圖3和圖4分別表示全油門加速時車輛加速度和速比變化率曲線. 從圖中可以看出，加速過程中車輛加速度一直為正數(shù)，未出現(xiàn)車速下降的現(xiàn)象，符合文中目標(biāo)泛函表達(dá)式的建立前提. 發(fā)動機(jī)輸出功率最大法對應(yīng)的速比變化率負(fù)值最大，導(dǎo)致加速度形成兩個尖峰且最大加速度較低，加速性能相對較差.

圖3 全油門加速時車輛加速度曲線Fig.3 Vehicle acceleration curves of α=1

圖4 全油門加速時速比變化率曲線Fig.4 Speed ratio change rate curves of α=1

4 結(jié) 論

文中將泛函分析理論引入無級變速速比控制問題中，以表征車輛動力性的加速時間作為性能泛函，以變速箱速比iCVT作為泛函宗量，并考慮無級傳動效率，構(gòu)建了具有通用性的車輛加速時間性能泛函數(shù)學(xué)表征形式.

采用變分法原理和歐拉有限差分法分析以泛函取極值為優(yōu)化目標(biāo)的數(shù)學(xué)問題，對泛函宗量進(jìn)行數(shù)值求解，獲得了最佳動力性速比結(jié)果，通過仿真對比分析不同速比控制策略下的車輛加速性能，從理論上驗證了泛函分析法應(yīng)用于車輛傳動系統(tǒng)最佳動力性速比控制問題的可行性.