借助輔助圓 提升三角形問(wèn)題解決效率

張 健

(江蘇省海門市東洲國(guó)際學(xué)校 226100)

圓作為特殊的平面曲線圖形，其特殊性質(zhì)可以幫助學(xué)生們提高一些常規(guī)方法難以解決的問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的降級(jí)化、簡(jiǎn)單化.借助構(gòu)造的輔助圓，讓看似與圓無(wú)關(guān)的較難問(wèn)題、抽象問(wèn)題轉(zhuǎn)變成簡(jiǎn)單、形象的問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的快速解決.本文就詳細(xì)講解在三角形中，如何通過(guò)構(gòu)造的圓，來(lái)促進(jìn)問(wèn)題的解決.

一、構(gòu)造圓，證明不等式問(wèn)題

圓因其自身的特殊性質(zhì)，不僅是初中數(shù)學(xué)中需要掌握的重要內(nèi)容，也是幫助學(xué)生們解決某些數(shù)學(xué)問(wèn)題的橋梁.有關(guān)三角形不等式的求解方法很多，但是當(dāng)正面求解較為困難時(shí)，可以借助構(gòu)造的圓來(lái)解決.妙用三角形的內(nèi)接圓也可以降低原問(wèn)題的難度.

例1已知三角形ABC中的∠BAC=90°，AD是斜邊BC上的高，證明：AD+BC>AB+AC.

圖1

證明令Rt△ABC的內(nèi)切圓的半徑是r，如圖1 ，因?yàn)锳B+AC=BC+2r，又2rAB+AC.

反思此題需要知道三角形內(nèi)接圓與邊之間的等量關(guān)系，r=(a+b-c)/2，即轉(zhuǎn)化為本題中的AB+AC=BC+2r.幾何不等式證明常規(guī)思路是截長(zhǎng)補(bǔ)短，但需要借助構(gòu)造的全等三角形或者比例線段來(lái)求解，技巧性很強(qiáng)，而借助輔助圓則避免了這一弊端，實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合幫助理解.

二、輔助圓，簡(jiǎn)化角度求解

借助三角形的外接圓可以簡(jiǎn)化某些問(wèn)題，同樣，通過(guò)構(gòu)造的圓也可以簡(jiǎn)化三角形角度求解問(wèn)題.一般將三角形的公共定點(diǎn)當(dāng)做是一個(gè)頂點(diǎn)，然后作出三角形的外接圓，搭建起等角和輔助圓中有關(guān)角度橋梁，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的解決.

圖2

例2 如圖2，在△ABC中，AB=AC，且 ∠ABC的角平分線與邊AC相交于點(diǎn)D，且BD+AD=BC,求∠A的度數(shù).

解析根據(jù)題意知，BD是∠ABC的角平分線，所以∠ABD=∠DBC.因此以BD為圓的直徑，作一個(gè)如圖2的輔助圓，交BC于點(diǎn)E，連接DE，所以AD與DE的弧長(zhǎng)相等(同圓中相等圓周角所對(duì)應(yīng)的的弧長(zhǎng)相等).又四邊形ABED是圓的內(nèi)接四邊形，所以

反思三角形中常見的構(gòu)圓類型十分多，可以構(gòu)造內(nèi)接圓、外接圓、或者部分圓，究竟以哪個(gè)圖形為基礎(chǔ)構(gòu)造何種類型的圓，都需要借助題目條件和問(wèn)題進(jìn)行多次嘗試，經(jīng)過(guò)日常的積累和歸納總結(jié)，形成一定的解題敏感性和思維的發(fā)散性.通過(guò)構(gòu)造的圓可以簡(jiǎn)化三角形角度的求解；有關(guān)圓的性質(zhì)需要熟悉并靈活運(yùn)用，如圓周角、圓心角、弧長(zhǎng)等；圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)也要準(zhǔn)確把握.

三、借助圓，判斷三角形類別

三角形種類繁多，如正三角形、直角三角形等，每種特殊三角形都有自己的特殊性質(zhì)，如正三角形的三條邊都相等、三個(gè)角都相等、中線垂直于對(duì)應(yīng)的邊等特殊性質(zhì).判斷三角形的種類歸根結(jié)底是依據(jù)特殊三角形的角或者邊的關(guān)系進(jìn)行判斷.但是，當(dāng)已知條件錯(cuò)綜復(fù)雜時(shí)，難以直接利用已有信息判斷時(shí)，可以借助圓來(lái)搭建橋梁，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題化簡(jiǎn)和解決.

圖3

例3 如圖3，點(diǎn)F是正方形ABCD中AB上的一點(diǎn)，∠ACF=30°,AF邊上的中點(diǎn)G滿足GH∥AD,交BD于點(diǎn)H求證：△HAF是正三角形.

解析連接HC，則△DHA與△CHD全等，所以AH=CH.又GH∥AD,所以GH⊥AF.又G是AF的中點(diǎn)，所以GH是AF的中垂線，因此AH=HF，所以HA=HF=HC.以H為圓心，HA為半徑作圓H；則A,F,C在圓H上，則∠AHF=2∠ACF=60°,所以△HAF是正三角形.

反思有關(guān)圓的傳遞角的關(guān)系是極其重要的的內(nèi)容，當(dāng)問(wèn)題含有三點(diǎn)距離某一個(gè)點(diǎn)距離相同時(shí)，可以考慮構(gòu)造整個(gè)圓、部分圓，借助圓的性質(zhì)與特殊三角形的性質(zhì)，搭建橋梁，鋪設(shè)解題的道路；三角形、正方形等各種平面圖形的都可以進(jìn)行結(jié)合形成復(fù)雜的圖形問(wèn)題，因此，復(fù)雜問(wèn)題的求解需要學(xué)生們熟悉掌握各種平面圖形的性質(zhì).

添加輔助線、構(gòu)建基本圖形是證明平面幾何證明問(wèn)題的法寶，輔助線添加的巧妙，往往會(huì)起到化腐朽為神奇，讓解題思路煥然一新.在三角形問(wèn)題中，通過(guò)構(gòu)建合適的圓，熟悉構(gòu)造圓的情形和應(yīng)用條件，借助圓和三角形知識(shí)有關(guān)知識(shí)，搭設(shè)題設(shè)問(wèn)題與求解問(wèn)題的聯(lián)系，得到解題的新思路、新方法，最終實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的快速求解與證明.