借助輔助圓 搭建動(dòng)態(tài)最值問(wèn)題求解橋梁

周志韌

(上海市同濟(jì)大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué) 201805)

初中數(shù)學(xué)中的很多幾何問(wèn)題，看似與圓沒(méi)有任何關(guān)系，但是借助已知條件恰當(dāng)構(gòu)建輔助圓，常常可以實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的簡(jiǎn)單化和簡(jiǎn)潔化，讓解題思路豁然開(kāi)朗.究竟如何發(fā)現(xiàn)圓、何時(shí)構(gòu)建圓是關(guān)鍵問(wèn)題，本文就結(jié)合例子詳細(xì)講解.

一、借助圓的定義，構(gòu)建輔助圓

圓的定義告訴我們，圓心到圓上任意一點(diǎn)的距離都相等或者是到圓心距離都相等的點(diǎn)在圓上.當(dāng)問(wèn)題中涉及運(yùn)動(dòng)過(guò)程，涉及到某一定點(diǎn)且某一線(xiàn)段的長(zhǎng)度保持不變時(shí)，可以嘗試構(gòu)建圓，借助圓的性質(zhì)進(jìn)行求解，如：

圖1

例1如圖1，已知△ABC是直角三角形，∠C=90°,AC=6,BC=8，邊AC上有一點(diǎn)F，滿(mǎn)足CF=2，邊BC上有一動(dòng)點(diǎn)E，現(xiàn)將△CEF沿著直線(xiàn)EF進(jìn)行翻轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)C落在P，則點(diǎn)P到邊AB最小距離是( ).

反思借助已知條件將點(diǎn)到邊的距離轉(zhuǎn)化為圓上某點(diǎn)到某邊最短的距離，實(shí)現(xiàn)了原問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，實(shí)現(xiàn)原問(wèn)題的難度降低.轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵在于能夠準(zhǔn)確把握已知條件實(shí)現(xiàn)知識(shí)的遷移和轉(zhuǎn)化.

二、借助圓切線(xiàn)尋找相關(guān)量的關(guān)系，構(gòu)建輔助圓

結(jié)合圓的切線(xiàn)和三角函數(shù)的關(guān)系，可以知道圓O外一定點(diǎn)A，與圓外一動(dòng)點(diǎn)P，當(dāng)AP與圓相切時(shí)，∠PAO取得最大值.借助此特性，可以解決某類(lèi)最值問(wèn)題，如：

圖2

例2如圖2，點(diǎn)A(2,0),B(0,2)，圓C是半徑為1，圓心坐標(biāo)(-1，0)的圓.D是圓C上的動(dòng)點(diǎn)，線(xiàn)段DA與y軸的交點(diǎn)是E，求△ABE面積最小值.

反思此題關(guān)鍵在于能夠用恰當(dāng)?shù)氖阶雍线m表示S△ABE，并借助題意構(gòu)建以線(xiàn)段AC為直徑的輔助圓.

三、利用動(dòng)點(diǎn)與定線(xiàn)段構(gòu)成張角是定值，構(gòu)建輔助圓

在同一個(gè)平面內(nèi)，一動(dòng)點(diǎn)C是已知直線(xiàn)AB外的一個(gè)點(diǎn)，且∠ACB為一定值，那么點(diǎn)C在以線(xiàn)段AB為弦長(zhǎng)的某圓弧上；當(dāng)∠ACB=90°特殊角時(shí)，點(diǎn)C在以AB為直徑的圓上.熟悉此類(lèi)動(dòng)點(diǎn)與定線(xiàn)段所構(gòu)成的角為定值的情形，明確此動(dòng)點(diǎn)是在以定長(zhǎng)線(xiàn)段為弦的圓上運(yùn)動(dòng)，特別是出現(xiàn)90°時(shí)，要高度留意90°的圓周角對(duì)應(yīng)的那條弦實(shí)際就是直徑的的特殊情況，是解決以此模型為基礎(chǔ)的動(dòng)點(diǎn)構(gòu)成的最值問(wèn)題.

圖3

例3如圖3，邊長(zhǎng)是4的正方形ABCD對(duì)角線(xiàn)是BD，一異于端點(diǎn)B,D的點(diǎn)P在BD上運(yùn)動(dòng)，連接AP，并過(guò)點(diǎn)B作垂直于AP的垂線(xiàn)，垂足記為H，連接DH，則線(xiàn)段DH的位于( )時(shí)(位置)取值最小，最小值是( ).

反思此題模型關(guān)鍵在于找出定角、以及定角相對(duì)相應(yīng)的定線(xiàn)段；模型的運(yùn)用離不開(kāi)學(xué)生們已有的模型認(rèn)識(shí)，也離不開(kāi)需要充分挖掘題目隱含的信息，借助挖掘的條件快速鎖定合適模型，然后依托模型的內(nèi)容幫助學(xué)生們快速解題.因此，積累特定情況所對(duì)應(yīng)的特殊模型結(jié)構(gòu)是十分有必要的.

幾何中最值問(wèn)題，不僅要重視常見(jiàn)的幾何法、代數(shù)法等基礎(chǔ)方法，也要重視將“直”化“曲”，重視圓的知識(shí)的運(yùn)用，熟悉常見(jiàn)的構(gòu)圓情景，把握情景中的本質(zhì)，通過(guò)構(gòu)建合適的輔助圓，促進(jìn)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化與解決.