增生算子擾動(dòng)方程的迭代解

張芯語(yǔ), 張樹(shù)義

(渤海大學(xué) 數(shù)理學(xué)院, 遼寧 錦州 121013)

文獻(xiàn)[1]在一致光滑Banach空間中,討論了形為

f∈Tx+Sx,x∈D(T)

的擾動(dòng)方程解的逼近問(wèn)題, 其中T:D(T)?X→2X是多值m-增生算子,S是α-強(qiáng)增生算子.文獻(xiàn)[2]將上述成果擴(kuò)展到了一般的實(shí)Banach空間中, 討論形為

f∈Tx+Ax+Cx,x∈D(T)

的擾動(dòng)方程的Ishikawa和Mann迭代的收斂問(wèn)題,其中T同上,A是一致連續(xù)增生算子或強(qiáng)增生算子,C是單值算子.文獻(xiàn)[3-5]研究了廣義Lipschitz非線性算子不動(dòng)點(diǎn)迭代逼近問(wèn)題.文獻(xiàn)[6]利用錐壓縮不動(dòng)點(diǎn)定理, 得到了非線性Dirichlet型三點(diǎn)邊值問(wèn)題正解存在性的條件.近年來(lái),文獻(xiàn)[7-19]研究了包括增生算子在內(nèi)的幾類非線性算子迭代收斂問(wèn)題.受上述工作的啟發(fā),本文在集值廣義Lipschitz條件下研究這類擾動(dòng)方程解的具誤差的迭代序列的收斂性, 由于集值廣義Lipschitz一定是值域有界的, 而反之未必成立.因此,本文的結(jié)果從以下4方面推廣和改進(jìn)了文獻(xiàn)[2]中的相應(yīng)結(jié)果:

1)T(D),(I-A)(D),C(D)有界性條件被廣義Lipschitz條件所代替;

3) 將迭代程序推廣到具誤差的迭代程序;

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)X為實(shí)Banach空間,映射T:D(T)?X→2X稱為增生的,如果對(duì)任意的x,y∈D(T)和r>0,有

它可等價(jià)定義為:對(duì)任意的x,y∈D(T),存在j∈J(x-y),使得 〈u-v,j〉≥0,?u∈Tx,v∈Ty.映射T:D(T)?X→2X稱為m-增生的,如果T是增生的,且對(duì)任意的λ>0,R(λI+T)=X.映射T:D(T)?X→2X稱為k-強(qiáng)增生的,如果存在k>0,使得對(duì)任意的x,y∈D(T),存在j∈J(x-y),有

定義1[3]T:D→D稱為廣義Lipschitz的,如果存在L≥1,?x,y∈D,有

注意到若T是Lipschitz的,以及值域{Tx},x∈D有界,則T是廣義Lipschitz的,但反之一般不成立,反例見(jiàn)文獻(xiàn)[4].

定義2[5]T:D→2E稱為集值廣義Lipschitz的,如果存在L≥1,?x,y∈D,有

其中,u∈Tx,v∈Ty.

引理1[4]設(shè){an}n≥0,{bn}n≥0,{cn}n≥0和{en}n≥0是4個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)列,滿足條件,存在正整數(shù)n0,當(dāng)n≥n0時(shí),有

an+1≤(1-tn)an+bnan+cn+en,

2 主要結(jié)果

定理1 設(shè)T:D?X→2X是集值廣義Lipschitzm-增生算子,A:X→X是單值廣義Lipschitz增生算子,C:X→X是單值廣義Lipschitz非線性算子,假定存在k,r>0,k>r,使得C-kI是具有常數(shù)r>0的Lipschitz連續(xù)算子,{αn}n≥0,{βn}n≥0,{γn}n≥0,{δn}n≥0是[0,1]中的4個(gè)實(shí)數(shù)列,{un}n≥0,{vn}n≥0是D中的有界序列,滿足下列條件:

1)αn+γn≤1,δn+βn≤1;

2)αn→0,βn→0,δn→0(n→∞);

對(duì)f∈X,x0∈D,由下式定義的具有誤差的Ishikawa迭代序列

證明 因?yàn)閧un}n≥0,{vn}n≥0為D中的有界序列,所以

記T0q∈Tq,使f=T0q+Aq+Cq.由式(1)有

由T+A的增生性, 據(jù)式(2)有

對(duì)式(3)右端第4項(xiàng)、第5項(xiàng)和第6項(xiàng)做如下估計(jì).式(3)右端第4項(xiàng),由式(1)有

式(3)右端第5項(xiàng),由式(1)有

式(3)右端第6項(xiàng),由式(1)有

把式(4)～式(6)代入式(3)有

因αn→0,βn→0,δn→0,Υn→0,Φn→0(n→∞),所以存在正整數(shù)n0,使得n≥n0,有

從而n≥n0,由式(7)有

an→0(n→∞), 即xn→q(n→∞).

證畢.

在定理1中取δn=βn=0,可得定理2.

定理2 設(shè)T、A、C、k、r如定理1所述.對(duì)f∈X,x0∈X,由Mann迭代序列

得到的{xn}?D.{αn}n≥0,{γn}n≥0是[0,1]中的實(shí)數(shù)列,{un}n≥0是D中的有界序列且滿足下列條件:

從而

據(jù)此有

于是滿足定理1中的所有條件. 但因T,C和I-A的值域均無(wú)界,因此文獻(xiàn)[2]中的定理1對(duì)此例失效.