Hermite分?jǐn)?shù)時(shí)延濾波器在聲納信號(hào)源仿真逆波束形成中的應(yīng)用

王樂寧， 喻敏， 姚直象， 張曉亮

(1.武漢理工大學(xué) 交通學(xué)院, 湖北 武漢 430063; 2.海軍工程大學(xué) 電子工程學(xué)院, 湖北 武漢 430033; 3.中國(guó)船舶工業(yè)系統(tǒng)工程研究院, 北京 100036)

0 引言

水下信號(hào)處理算法研究一直是水聲工程學(xué)者研究的熱點(diǎn)，但由于水下實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)在水聲目標(biāo)噪聲和海洋環(huán)境噪聲等因素的影響下離散性大，并且試驗(yàn)過程耗時(shí)長(zhǎng)、成本高，并不適合直接用于新算法、新技術(shù)的初步測(cè)試和可行性檢測(cè)。而且各國(guó)的真實(shí)目標(biāo)數(shù)據(jù)保密等級(jí)高，不易獲得，現(xiàn)有數(shù)據(jù)也很難取得包含可變信號(hào)形式的不同目標(biāo)在整個(gè)模式空間內(nèi)的全部樣本，所以水下信號(hào)源仿真不僅是水聲技術(shù)的仿真基礎(chǔ)，也是關(guān)乎水下探測(cè)技術(shù)和水下對(duì)抗技術(shù)發(fā)展的重點(diǎn)問題和熱點(diǎn)問題。

從信號(hào)源仿真原理上看，陣元信號(hào)仿真的過程可以看成是波束形成的逆過程。傳統(tǒng)的聲納陣列信號(hào)波束形成處理方式可分為兩種，即頻域和時(shí)域波束形成。相對(duì)于時(shí)域波束形成，頻域法易使用于多波束形成，但由于現(xiàn)在主流的頻率分解方法不能完全消除子帶對(duì)陣列流型矢量的影響，并且波束主軸指向的信號(hào)特性不隨頻率變化，波束主瓣寬度內(nèi)非主軸的其他指向信號(hào)會(huì)有能量損失，且信號(hào)帶寬越大、偏離主軸越遠(yuǎn)，會(huì)引起波束偏移和失真[1-2]。時(shí)域波束形成是對(duì)時(shí)域信號(hào)進(jìn)行實(shí)時(shí)補(bǔ)償?shù)姆椒?，消除了波束偏移的問題。并且對(duì)于寬帶信號(hào)頻域波束形成需要將時(shí)域信號(hào)變換到頻域，劃分成子窄帶后進(jìn)行窄帶相移波束形成。整個(gè)過程要保證聲納測(cè)向的高分辨率，將會(huì)引起計(jì)算量大、所需儲(chǔ)存空間多的缺點(diǎn)，相較之下時(shí)域直接延時(shí)補(bǔ)償法更適合寬帶陣列信號(hào)處理，因此信號(hào)源仿真采用對(duì)基元信號(hào)的精確時(shí)延即直接時(shí)延法來實(shí)現(xiàn)。

直接時(shí)延法的核心是對(duì)各個(gè)方向接收的陣列信號(hào)進(jìn)行精確延時(shí)補(bǔ)償以保證快速準(zhǔn)確地搜索定位，但現(xiàn)有的模擬/數(shù)字(A/D)采樣速率是有限的，不可能無限高，因此陣列信號(hào)的延時(shí)精度受到限制。傳統(tǒng)提高時(shí)間精度的方法可以分為模擬和數(shù)字兩類，但模擬延時(shí)線成本高，體積龐大且穩(wěn)定度不高。相比之下，以分?jǐn)?shù)延時(shí)技術(shù)為代表的數(shù)字延遲法結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，更易于實(shí)現(xiàn)[3]。傳統(tǒng)的分?jǐn)?shù)時(shí)延濾波器(如最小二乘法分?jǐn)?shù)時(shí)延濾波器、Lagrange插值濾波器)的幅頻特性與群時(shí)延特性在信號(hào)高頻段性能惡化，因而導(dǎo)致波束形成中信號(hào)高頻部分衰減失真變大，數(shù)字波束形成的增益下降[4]。Soontornwong等[5]給出了后向差分、2階中央差分和4階中央差分近似的3階Hermite濾波器的幅頻響應(yīng)和群延時(shí)響應(yīng)，但階數(shù)較小，相應(yīng)的分?jǐn)?shù)延時(shí)量也較小。Tseng等[6]驗(yàn)證了Hermite高階分?jǐn)?shù)時(shí)延濾波器的可行性。隨后，杜強(qiáng)等[1]采用Hermite濾波器對(duì)超寬帶(USB)雷達(dá)時(shí)延波束形成的性能優(yōu)化，但僅考慮了單一延時(shí)量的分析。

基于以上研究現(xiàn)狀，本文提出了Hermite可變分?jǐn)?shù)時(shí)延濾波器，即將Hermite濾波器和Farrow型設(shè)計(jì)相結(jié)合組成可變分?jǐn)?shù)時(shí)延濾波器用于精確延時(shí)，應(yīng)用到聲納直接時(shí)延法信號(hào)仿真中，并對(duì)陣列信號(hào)源進(jìn)行頻域波束形成驗(yàn)證，以證明Hermite分?jǐn)?shù)時(shí)延濾波器在信號(hào)直接時(shí)延仿真時(shí)衰減少、性能好的特點(diǎn)。

1 分?jǐn)?shù)時(shí)延濾波器

在模擬信號(hào)處理中，理想的分?jǐn)?shù)時(shí)延濾波器的信號(hào)輸入x(t)和輸出y(t)，需滿足y(t)=x(t-tD)，其中tD為延時(shí)量。只要設(shè)計(jì)單位沖激響應(yīng)逼近于h(t)=x(t-tD)的線性系統(tǒng)就可以實(shí)現(xiàn)。但在數(shù)字系統(tǒng)中，對(duì)連續(xù)時(shí)間信號(hào)進(jìn)行采樣可以得到y(tǒng)(n)=x(n-D)，其中n為采樣點(diǎn)數(shù)，D=int {D}+d，int{D}表示時(shí)延量D的整數(shù)部分，d表示時(shí)延量D的小數(shù)部分。從時(shí)域角度分析連續(xù)可變的時(shí)延可以通過設(shè)計(jì)逼近hd(n)=sinc(n-D)的單位脈沖響應(yīng)函數(shù)來實(shí)現(xiàn)，從頻域角度分析，設(shè)計(jì)的分?jǐn)?shù)濾波器要滿足系統(tǒng)響應(yīng)[7]為

(1)

|H(ejω)|=1，arg{H(ejω)}=-Dω，

(2)

式中：X(ejω)和Y(ejω)分別為x(n)和y(n)的離散時(shí)間傅里葉變換；ω=2πf，f為信號(hào)頻率?？梢缘玫狡淙貉舆tτg和相位延遲τp分別為

(3)

兩種延遲都能描述系統(tǒng)的時(shí)延，對(duì)于線性系統(tǒng)或者逼近線性系統(tǒng)來說，群延遲和相位延遲都是一條平坦的曲線，且(3)式在整個(gè)歸一化頻率范圍內(nèi)都是常數(shù)D[8]，本文通過逼近理想相位延遲曲線，來設(shè)計(jì)分?jǐn)?shù)時(shí)延濾波器。

1.1 Hermite分?jǐn)?shù)時(shí)延濾波器

Hermite分?jǐn)?shù)時(shí)延濾波器是基于Hermite插值多項(xiàng)式近似的時(shí)延濾波器。其原理如下：已知N+1個(gè)不同的點(diǎn)(t0,x(t0)),(t1,x(t1)),…,(tN,x(tN))和其1階導(dǎo)數(shù)(t0,x′(t0)),(t1,x′(t1)),…,(tN,x′(tN))，則有Hermite插值多項(xiàng)式：

(4)

其滿足于H2N+1(tk)=x(tk)和H′2N+1(tk)=x′(tk)，且H2N+1(t)≈x(t)，t∈[n-N,n].

令tk=n-k，k∈[0,N]，則(4)式可變換為

(5)

根據(jù)文獻(xiàn)[5-6]，(5)式需滿足

(6)

對(duì)(6)式左右兩邊進(jìn)行離散傅里葉變換：

(7)

兩邊同時(shí)除以X(ejωD)，得

(8)

由(8)式可知，理想時(shí)延濾波器的系統(tǒng)響應(yīng)G(ejωD)可由Hermite插值多項(xiàng)式近似得到，即

G(ejωD)=G1(ejωk)+jωG2(ejωk)，

(9)

此時(shí)，進(jìn)行Z變換z=ejω，Hermite分?jǐn)?shù)時(shí)延濾波器可以基于兩個(gè)有限沖激響應(yīng)(FIR)濾波器和一個(gè)微分器進(jìn)行設(shè)計(jì)，兩個(gè)濾波器分別為G1型FIR濾波器和G2型FIR濾波器：

式中：g1(k)和g2(k)為兩個(gè)濾波器的系數(shù)，且滿足

(10)

根據(jù)上述原理，搭建成的Hermite分?jǐn)?shù)時(shí)延濾波器框架如圖1所示。

圖1 Hermite分?jǐn)?shù)時(shí)延濾波器實(shí)現(xiàn)框架Fig.1 Framework of Hermite fractional delay filter

對(duì)于單波束形成而言，此類時(shí)域波束形成相較于傳統(tǒng)的頻域波束，其計(jì)算復(fù)雜度會(huì)大大降低。這是因?yàn)閷?duì)于N點(diǎn)信號(hào)劃分為B個(gè)子帶時(shí)，其K點(diǎn)的傅里葉變換的復(fù)乘次數(shù)為(NB/2)log2K，劃分子帶時(shí)L階多相濾波器組處理復(fù)乘次數(shù)為(L+1)N/2. 而對(duì)于Hermite分?jǐn)?shù)時(shí)延濾波器，僅有兩個(gè)L階G1型和G2型濾波器以及一個(gè)微分器組成。對(duì)于G1和G2型濾波器的復(fù)乘次數(shù)為(L+1)N，傳統(tǒng)的微分器也可以用線性相位FIR濾波器或無限沖激響應(yīng)(IIR)濾波器法。相較之下傅里葉變換的復(fù)乘次數(shù)，Hermite時(shí)延濾波器計(jì)算復(fù)雜度較低。

1.2 Farrow型Hermite延時(shí)濾波器

經(jīng)典的Farrow結(jié)構(gòu)由M組2N+1階直接型 FIR濾波器以及M-1個(gè)分?jǐn)?shù)時(shí)延乘法器組成[9]。設(shè)計(jì)Farrow型的目的是將分?jǐn)?shù)時(shí)延量D獨(dú)立于具體的濾波器系數(shù)，使得時(shí)延改變時(shí)，系統(tǒng)不需重新加載濾波器系數(shù)，避免了大量系數(shù)的存儲(chǔ)，同時(shí)時(shí)延精度改變時(shí)只需改變送入的時(shí)延D精度即可[10]。為了實(shí)現(xiàn)可變分?jǐn)?shù)Hermite濾波器的設(shè)計(jì)，將Farrow型結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)原理引入Hermite濾波器。

(11)

式中：Am(ejω)和Bm(ejω)分別是am(k)和bm(k)的離散傅里葉變換。此時(shí)，進(jìn)行Z變換z=ejω，得到數(shù)字信號(hào)濾波器的設(shè)計(jì)方案，即

因此，Hermite分?jǐn)?shù)時(shí)延濾波器可以設(shè)計(jì)為延時(shí)量獨(dú)立的Farrow型濾波器，其框架為圖2所示。

圖2 Farrow型Hermite分?jǐn)?shù)時(shí)延濾波器框架Fig.2 Framework of Farrow-type Hermite fractional time delay filter

2 直接時(shí)延補(bǔ)償逆波束形成

陣列信號(hào)源仿真一般基于波束形成的逆過程，本文采用直接時(shí)延補(bǔ)償逆波束形成進(jìn)行信號(hào)源仿真。直接時(shí)延補(bǔ)償波束形成是將陣元接收信號(hào)相對(duì)參考陣元進(jìn)行精確時(shí)延補(bǔ)償，使接收陣列在來波方向接收能量最大，從而確定來波方向[11-12]。其中精確延時(shí)通過采樣間隔的整數(shù)倍延遲和分?jǐn)?shù)時(shí)延濾波器延遲兩部分實(shí)現(xiàn)。本文著重研究Hermite分?jǐn)?shù)時(shí)延濾波器相對(duì)傳統(tǒng)Lagrange分?jǐn)?shù)時(shí)延濾波器的優(yōu)化性問題，故采用此兩類濾波器進(jìn)行精確延時(shí)。圖3為基于Hermite分?jǐn)?shù)時(shí)延濾波器的直接延時(shí)補(bǔ)償波束形成的實(shí)現(xiàn)框圖，各陣元信號(hào)是將參考信號(hào)分成兩路進(jìn)行處理：一路直接通過A/D轉(zhuǎn)換，經(jīng)過粗延時(shí)即整數(shù)延時(shí)再經(jīng)G1型FIR數(shù)字濾波器；另一路先通過模擬微分濾波器進(jìn)行微分后，再經(jīng)過粗延時(shí)和G2型FIR數(shù)字濾波器，將兩路信號(hào)疊加即完成了該路信號(hào)的時(shí)延過程。

圖3 直接延時(shí)補(bǔ)償逆波束形成的實(shí)現(xiàn)框圖Fig.3 Framework of direct delay compensation inverse beamforming

3 仿真分析

3.1 分?jǐn)?shù)延時(shí)插值濾波器頻響特性分析

本文對(duì)16階的復(fù)頻響應(yīng)法、切比雪夫加窗法、Lagrange插值法和Hermite插值法設(shè)計(jì)的FIR濾波器進(jìn)行實(shí)驗(yàn)仿真，以濾波器頻率響應(yīng)的均方誤差作為判斷準(zhǔn)則，分析各個(gè)濾波器的優(yōu)缺性。圖4～圖7分別展示了復(fù)頻響應(yīng)法、切比雪夫加窗法、Lagrange插值法和Hermite插值法分?jǐn)?shù)時(shí)延濾波器的頻率響應(yīng)?？梢悦黠@地看出，Hermite分?jǐn)?shù)時(shí)延濾波器在整個(gè)頻域范圍內(nèi)即歸一化角頻率帶寬為[0,π]，其幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)都是最為逼近理想分?jǐn)?shù)時(shí)延濾波器的，此類濾波器的效果最佳。

圖4 復(fù)頻響應(yīng)法的分?jǐn)?shù)時(shí)延濾波器頻率響應(yīng)Fig.4 Frequency response of fractional delay filter with complex frequency response method

圖5 切比雪夫法的分?jǐn)?shù)時(shí)延濾波器頻率響應(yīng)Fig.5 Frequency response of fractional delay filter with Chebyshev method

圖6 Lagrange分?jǐn)?shù)時(shí)延濾波器頻率響應(yīng)Fig.6 Frequency response of Lagrange fractional delay filter

圖7 Hermite分?jǐn)?shù)時(shí)延濾波器頻率響應(yīng)Fig.7 Frequency response of Hermite fractional delay filter

在其他3種濾波器之中，復(fù)頻響應(yīng)法的頻率響應(yīng)是最為逼近理想分?jǐn)?shù)時(shí)延濾波器的，此濾波器在延時(shí)量D=2.4，頻段[0,0.6π]范圍內(nèi)均方誤差僅為1.74%. 但是此方法計(jì)算復(fù)雜，還可能會(huì)遇到矩陣計(jì)算中的病態(tài)問題，在實(shí)際工程中應(yīng)用并不廣泛。與此相比，Lagrange分?jǐn)?shù)時(shí)延濾波器只能保證在[0,0.4π]范圍內(nèi)滿足分?jǐn)?shù)時(shí)延濾波器的設(shè)計(jì)要求，其均方誤差為0.93%. 切比雪夫分?jǐn)?shù)時(shí)延濾波器的頻率響應(yīng)只能在帶寬[0,0.4π]內(nèi)保持較為理想的特性，此頻率范圍的均方誤差為1.02%，并且影響此濾波器的因素還包括主旁瓣高度差等。各濾波器在不同頻率范圍內(nèi)的均方誤差如表1所示。

表1 不同頻率范圍內(nèi)各濾波器均方誤差

本文在保證均方誤差最小的前提下，選擇適應(yīng)帶寬盡可能高的濾波器。綜合上述分析，Lagrange分?jǐn)?shù)時(shí)延濾波器的運(yùn)算量和影響因素相對(duì)較少，且在一定帶寬內(nèi)均方誤差最小。Hermite分?jǐn)?shù)時(shí)延濾波器雖然設(shè)計(jì)復(fù)雜度相對(duì)較高，但是在高帶寬內(nèi)保證了最小的均方誤差。所以本文將采用這兩種方法對(duì)各基元信號(hào)進(jìn)行精確延時(shí)，從而完成陣元聲壓信號(hào)的仿真，并在下文中進(jìn)行波束形成處理，以驗(yàn)證Hermite分?jǐn)?shù)時(shí)延濾波器的正確性和優(yōu)化性。

3.2 波束形成驗(yàn)證

假設(shè)目標(biāo)聲源處于遠(yuǎn)場(chǎng)，信號(hào)發(fā)射形式為窄帶CW信號(hào)和線性調(diào)頻LFM信號(hào)，信號(hào)幀長(zhǎng)為1 s，脈沖重復(fù)周期為0.2 s，脈寬為0.05 s，窄帶信號(hào)的初始位置方位角θ為30°，中心頻率為1 kHz. 寬帶信號(hào)的方位角為60°，中心頻率為2 kHz，帶寬為2 kHz. 接收基陣為線性陣列，基陣數(shù)目為16，基陣間距為0.5 m. 將產(chǎn)生的窄帶信號(hào)和寬帶信號(hào)分別波束形成，圖8為窄帶信號(hào)的波束形成圖，圖9為寬帶LFM信號(hào)的寬帶頻域波束形成圖。

圖8 窄帶信號(hào)的相移波束形成圖Fig.8 Phase-shifting beamforming diagram of narrow band signals

圖9 寬帶LFM信號(hào)的寬帶頻域波束形成圖Fig.9 Frequency domain beamforming diagram of wideband LFM signals

首先，由圖8～圖9可知，Hermite分?jǐn)?shù)時(shí)延濾波器延時(shí)模式的信號(hào)源仿真信號(hào)正確估算出了聲源的方位，可以達(dá)到波束形成所需的精確時(shí)延精度。其次，由圖8可知，Hermite濾波器延時(shí)的信號(hào)波束形成處理產(chǎn)生的波束圖主瓣寬度相較Lagrange濾波器會(huì)窄一些，旁瓣電平數(shù)會(huì)相對(duì)較小。由圖9可知，Lagrange分?jǐn)?shù)時(shí)延濾波器所產(chǎn)生信號(hào)經(jīng)過能量疊加后，相對(duì)Hermite分?jǐn)?shù)時(shí)延濾波器所產(chǎn)生的信號(hào)能量有近3.8 dB的損失。這是因?yàn)镠ermite分?jǐn)?shù)濾波器適用帶寬比較大，信號(hào)高頻段經(jīng)過濾波器后衰減較小，而Lagrange分?jǐn)?shù)時(shí)延濾波器的適用帶寬比較窄，可能會(huì)使信號(hào)高頻段發(fā)生衰減。綜上所述，Hermite分?jǐn)?shù)時(shí)延濾波器不僅能完成陣元聲壓信號(hào)的高精度延時(shí)，而且可以在較寬頻帶內(nèi)保持分?jǐn)?shù)時(shí)延濾波器的特性。

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證Hermite分?jǐn)?shù)時(shí)延濾波器算法的有效性，在消聲水池進(jìn)行兩個(gè)陣元間時(shí)延估計(jì)試驗(yàn)。陣元個(gè)數(shù)為2，間距是0.4 m，聲源距離陣元5 m，通過幾何關(guān)系計(jì)算得到陣元間的信號(hào)延遲為0.006 2 ms，采樣率為108 kHz，故兩路數(shù)字采樣信號(hào)之間的信號(hào)延遲為0.67個(gè)采樣間隔，將信號(hào)進(jìn)行濾波，門限判斷后得到可用實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，圖10為兩陣元間的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)。利用Hermite分?jǐn)?shù)時(shí)延濾波器以第1路信號(hào)為基準(zhǔn)進(jìn)行分?jǐn)?shù)時(shí)延，得到第2路仿真數(shù)據(jù)，對(duì)比實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)驗(yàn)證分?jǐn)?shù)時(shí)延的正確性。圖11為信號(hào)仿真數(shù)據(jù)和實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的對(duì)比圖。

圖10 基元接收的實(shí)測(cè)信號(hào)Fig.10 Measured signals received by the elements

圖11 仿真數(shù)據(jù)和實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)比圖Fig.11 Comparison of simulated and measured data

為了衡量仿真誤差，本文采用均方根誤差作為衡量標(biāo)準(zhǔn)，信號(hào)采樣幀長(zhǎng)為40 ms，幀數(shù)為10幀，其均方根誤差如表2所示。通過實(shí)驗(yàn)可以得出，Hermite分?jǐn)?shù)時(shí)延濾波器的均方誤差在0.97%左右，證明了Hermite濾波器的分?jǐn)?shù)延時(shí)的可行性。

5 結(jié)論

本文將Farrow型Hermite分?jǐn)?shù)時(shí)延濾波器應(yīng)用到聲納信號(hào)源仿真中，通過與現(xiàn)有時(shí)延濾波器的性能比較、波束形成驗(yàn)證以及仿真與試驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差分析，得出以下結(jié)論：

表2 Hermite分?jǐn)?shù)時(shí)延濾波器仿真數(shù)據(jù)與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的均方根誤差

1)Hermite分?jǐn)?shù)時(shí)延濾波的幅頻特性與群時(shí)延特性在信號(hào)高頻段性能較好，在整個(gè)歸一化頻帶內(nèi)的均方誤差較小，表明了此方法在高帶寬信號(hào)時(shí)延時(shí)的優(yōu)勢(shì)。

2)基于Hermite分?jǐn)?shù)時(shí)延濾波器的窄帶波束圖主瓣寬度稍窄，旁瓣電平較低；寬帶波束圖的主瓣也接收了更多的信號(hào)能量。

3)通過對(duì)比實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，測(cè)得Hermite分?jǐn)?shù)時(shí)延濾波器時(shí)延信號(hào)具有較小的均方誤差，驗(yàn)證了此方法的有效性。