針對衛(wèi)星動中通伺服系統(tǒng)辨識的輸入信號設(shè)計*

宋欽良，賈維敏，袁 丁，江弘杰

(火箭軍工程大學(xué)， 西安 710025)

0 引言

衛(wèi)星動中通系統(tǒng)是一種廣泛應(yīng)用于現(xiàn)代戰(zhàn)爭通信、自然災(zāi)害應(yīng)急通信、治安管理通信等的寬帶移動通信系統(tǒng)。衛(wèi)星動中通系統(tǒng)除擁有傳統(tǒng)的固定式衛(wèi)星通信的優(yōu)點外，還可以在載體運動過程中實時與衛(wèi)星進行通信。衛(wèi)星動中通伺服系統(tǒng)正是支持其在運動中時刻與衛(wèi)星對準(zhǔn)的關(guān)鍵系統(tǒng)之一[1]。

隨著衛(wèi)星動中通技術(shù)的廣泛應(yīng)用，為適用不同領(lǐng)域的需求，使得動中通天線口徑大小不同，從而導(dǎo)致了伺服系統(tǒng)的負(fù)載不同。而伺服系統(tǒng)的參數(shù)整定效率嚴(yán)重制約了動中通整機系統(tǒng)的研發(fā)和調(diào)試效率，因此提高動中通伺服系統(tǒng)的通用性是非常迫切的。

在衛(wèi)星動中通伺服系統(tǒng)中引入系統(tǒng)辨識，一方面可以提高動中通系統(tǒng)的研發(fā)效率，大幅度降低調(diào)試時間；另一方面，基于系統(tǒng)辨識結(jié)果，可以獲得更好的控制參數(shù)，從而提高控制效果[2]。由此可見，對伺服系統(tǒng)進行辨識在提高系統(tǒng)的通用性和控制性能等方面具有重要的意義。

1 動中通伺服系統(tǒng)設(shè)計方案

針對衛(wèi)星動中通伺服系統(tǒng)功能的設(shè)計需求，本方案主要以STM32F407嵌入式系統(tǒng)為核心，實現(xiàn)信息交互、系統(tǒng)辨識以及對整個控制器的控制功能；通過電流傳感器和角速度傳感器采集相關(guān)信息，并存儲在EEPROM中，作為系統(tǒng)辨識的直接依據(jù)；使用LM5018實現(xiàn)降壓功能，對外界輸入的介于20 V到75 V之間的電壓都能直接降至15 V，并進一步降壓至5 V，為整個系統(tǒng)提供穩(wěn)定的電源。本方案硬件結(jié)構(gòu)如圖1所示。

2 最小二乘法系統(tǒng)辨識的原理

系統(tǒng)辨識的本質(zhì)是通過對系統(tǒng)輸入和輸出信號的分析，獲得能夠在最大程度上反應(yīng)系統(tǒng)特性的數(shù)學(xué)模型。在系統(tǒng)辨識和參數(shù)估計領(lǐng)域，最小二乘法已經(jīng)是一種基本的重要估計方法，其既可以應(yīng)用于離線辨識也可以應(yīng)用于在線辨識;且利用最小二乘法原理擬定的辨識算法在實施上比較簡單，適合應(yīng)用在嵌入式系統(tǒng)中[3]。

圖1 系統(tǒng)硬件結(jié)構(gòu)圖

對于一個含有噪聲的單輸入單輸出系統(tǒng)，其差分方程可以表示為:

y(k)=ψT(k)θ0+e(k)

(1)

為了采用最小二乘法進行參數(shù)估計，利用式(1)構(gòu)建如下模型:

Y(N)=ψ(N)θ+ε(N,θ)

(2)

式中：

Y(N)=[y(n+i)y(n+i+1) …y(N+i)]

(3)

ψ(N)=[ψT(n+i)ψT(n+i+1) …ψT(N+i)]T

(4)

θ=[a1…anb1…bn]T

(5)

(6)

(7)

通過對式(7)求解，可獲得系數(shù)矩陣的結(jié)果為:

(8)

另外，利用最小二乘法進行系統(tǒng)辨識所需的數(shù)據(jù)相對較少，只需保證N-n+1>2n即可實現(xiàn)系統(tǒng)參數(shù)的辨識，其中n為被辨識系統(tǒng)的階數(shù)。在此前提下，有效數(shù)據(jù)越多，其辨識結(jié)果越精確。

3 衛(wèi)星動中通伺服系統(tǒng)辨識輸入信號的選擇

在使用最小二乘法辨識時，通常選用偽隨機M序列作為輸入信號，單純從算法效果的角度來分析，辨識結(jié)果能很好的反映真實系統(tǒng)的基本特性。但對于衛(wèi)星動中通伺服系統(tǒng)來講，由于伺服系統(tǒng)所驅(qū)動執(zhí)行機構(gòu)(直流力矩電機)的性能參數(shù)差異較大，特別體現(xiàn)在電機的死區(qū)方面和減速齒輪之間的齒隙問題，使用M序列作為系統(tǒng)的輸入時，對于不同的電機需要進行特別的分析討論，否則，極有可能使得采集到的大多數(shù)數(shù)據(jù)落在電機轉(zhuǎn)動的非線性區(qū)間中，對辨識結(jié)構(gòu)造成難以估計的錯誤。

出于工程實踐的需要，在衛(wèi)星動中通伺服系統(tǒng)中，我們希望進行系統(tǒng)辨識時所設(shè)計的輸入信號盡可能簡單且易于產(chǎn)生。然而由于最小二乘法算法具有一定的特殊性，直接使用某一固定電平(即常值序列)作為輸入信號時，該算法無法獲得數(shù)值解，因此需要通過分析最小二乘法對輸入信號的要求，設(shè)計出簡單且合理的輸入信號。

3.1 最小二乘法對系統(tǒng)輸入信號的要求

[yu]

(9)

(10)

根據(jù)正定矩陣的性質(zhì)，要求ψTψ正定，則必須保證uTu正定。這個條件稱為n階持續(xù)激勵條件，很明顯，當(dāng){u(k)}為常值序列時，uTu為奇異陣，不滿足持續(xù)激勵的條件[4]。

3.2 階躍信號用作為最小二乘法輸入時的限制條件

實質(zhì)上，我們更希望使用階躍信號作為系統(tǒng)的輸入信號。一方面，階躍信號便于產(chǎn)生，僅需確定階躍點和信號幅度就可以完全確定階躍信號的全部數(shù)據(jù)；另一方面，只要階躍信號的幅值不超過伺服系統(tǒng)中直流電機的額定工作范圍，電機始終工作在一個逐漸加速至穩(wěn)定運行的過程中，采集到的數(shù)據(jù)可靠性更高。

對于階躍信號通常可以表示為:

(11)

衛(wèi)星動中通伺服系統(tǒng)為典型的二階系統(tǒng)，對于二階系統(tǒng)，n=2，令i=1，可以得到:

(12)

將f代入可以得到：

(13)

當(dāng)K=0或N-K-1=0時，f為常值序列，顯然不滿足持續(xù)激勵條件。當(dāng)K≠0且N-K-1≠0時，有

(14)

很明顯，uTu正定。即階躍信號在不全為0或者全為1時，滿足作為二階系統(tǒng)的持續(xù)激勵條件，可以用作二階系統(tǒng)使用最小二乘法辨識時的輸入信號。

下面分析n(n>2)階系統(tǒng)，同樣取i=1可以得到：

(15)

將f代入可以得到：

(16)

進一步可以求得：

(17)

對于式(17)進行初等變換可以得到[5]：

(18)

顯然uTu正定。當(dāng)然以上表示方式未包含矩陣中有全0行和全1行時的兩種特殊情況。對于這兩種特殊情況，必須另作討論。

當(dāng)矩陣中存在全0行時，可以很容易的求得，uTu中必定存在全0行，從式(16)可以得到，此時恰好滿足條件N-K-n+1=0，即K=N-n+1，那么通過計算式(17)不難發(fā)現(xiàn)，此時的uTu最后一行和最后一列均全為零，不滿足uTu正定的條件；當(dāng)矩陣中有且僅有一行全1行時，從式(16)可以得到，此時恰好滿足K-n+1=0，即K=n-1，此時uTu經(jīng)初等變換后仍適用于式(18)，即滿足uTu正定的條件；當(dāng)矩陣中有兩個全1行時，uTu可以表示為：

(19)

(20)

顯然uTu中有兩行完全一樣的數(shù)據(jù)，即uTu不滿足正定條件。同理可以證明，當(dāng)矩陣中有n(n>2)行全1行時，uTu中將會含有n行完全相同的數(shù)據(jù)，即當(dāng)矩陣中具有兩個或兩個以上的全1行時，uTu不滿足正定條件。

通過以上證明了解到，使用最小二乘法進行系統(tǒng)辨識時，可以使用滿足特定條件的階躍信號作為系統(tǒng)的激勵信號。這個特定條件可以描述為：

在對激勵信號進行采樣后，階躍信號中代表低電平的點數(shù)K與系統(tǒng)階數(shù)n以及用于系統(tǒng)辨識的點數(shù)N(N>3n-1)之間滿足n-2

4 辨識算法仿真與驗證

衛(wèi)星動中通伺服系統(tǒng)通過執(zhí)行機構(gòu)保持天線的指向不變。系統(tǒng)中的平板陣列天線結(jié)構(gòu)經(jīng)過嚴(yán)格配比，屬于穩(wěn)定平臺。執(zhí)行機構(gòu)為直流力矩電機。

4.1 系統(tǒng)模型

由于伺服系統(tǒng)的負(fù)載經(jīng)過了嚴(yán)格配比，并設(shè)計有軸承系統(tǒng)和滑環(huán)系統(tǒng)，因此其數(shù)學(xué)模型中的負(fù)載是恒定不變的，其傳遞函數(shù)關(guān)系式可以簡化為[6]：

(21)

式中:Ta=La/R為電機的電磁時間常數(shù)；TM=(GD2R)/(375CeCTΦ2)為電機的機電時間常數(shù)；C′e=CeΦ60/2(π),Ce為電勢常數(shù)。

由理論分析得到系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型傳遞函數(shù)如式(21)所示，為了便于計算，進一步將系統(tǒng)的傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換為系統(tǒng)差分方程為[7]:

y(n)=a1y(n-1)+a2y(n-2)+b1u(n-1)

(22)

在上述差分方程中待辨識的參數(shù)矩陣為:

θ=[a1,a2,b1]T

(23)

4.2 模型參數(shù)辨識

系統(tǒng)采樣頻率為5 000 Hz，電源電壓24 V。系統(tǒng)輸入的階躍信號前0.008 s(對應(yīng)當(dāng)前采樣頻率為前40個點)為0，之后為占空比36%的脈寬調(diào)制信號，采樣時間為1 s。輸入信號的波形如圖2所示。對比前面得出的結(jié)論，此時N=5 000,n=2,K=40，很明顯，滿足n-2

使用衛(wèi)星動中通伺服系統(tǒng)直接進行系統(tǒng)辨識，中間不需要外界干預(yù)，辨識結(jié)束后通過串口將辨識結(jié)果和為系統(tǒng)辨識采集的數(shù)據(jù)上傳至上位機，以便對辨識結(jié)果的精度進行分析。經(jīng)辨識獲得的參數(shù)矩陣為θ=[1.409 8,-0.416 0,0.271 3]T。將辨識所得的差分方程模型轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù):

(24)

4.3 辨識結(jié)果分析與驗證

通過系統(tǒng)辨識，我們得到了衛(wèi)星動中通伺服系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，但是模型是否能夠真實的反映出系統(tǒng)的特性還需要經(jīng)過驗證。通常，模型驗證時會分別選擇階躍信號和正弦信號作為輸入，然后比對系統(tǒng)實際輸出和模型仿真輸出的響應(yīng)曲線，如若二者非常接近，則說明辨識結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)模型較為真實地反映了被辨識系統(tǒng)的基本特性。

4.3.1 階躍信號的驗證

由于系統(tǒng)辨識時使用的輸入信號為階躍信號，因此不需要再做額外的實驗，可以直接比對系統(tǒng)輸出的原始數(shù)據(jù)曲線和模型仿真的輸出數(shù)據(jù)曲線，結(jié)果如圖3所示。

圖3 原系統(tǒng)與辨識模型的階躍響應(yīng)對比

從圖3中可以看出原始數(shù)據(jù)由于采樣時量化過程存在的量化誤差和干擾，數(shù)據(jù)離散程度比較嚴(yán)重，但是數(shù)據(jù)幾乎都均勻地分散在仿真數(shù)據(jù)的上下兩側(cè)，這說明模型是可靠的，辨識結(jié)果是可信的。

4.3.2 正弦信號的驗證

給定輸入信號為正弦信號，周期為2 s，采樣頻率為1 250 Hz，采樣時間為8 s。模型的正弦響應(yīng)仿真曲線和真實系統(tǒng)的正弦響應(yīng)采樣數(shù)據(jù)如圖4所示，可以看到，原系統(tǒng)與辨識結(jié)果的數(shù)學(xué)模型仿真結(jié)果的響應(yīng)曲線基本一致。

5 結(jié)束語

文中主要對在衛(wèi)星動中通伺服系統(tǒng)辨識中，基于最小二乘算法采用的輸入信號設(shè)計進行了探討，得出了基于該算法使用階躍信號作為輸入所必須遵循的限定條件。并使用滿足該限定條件的階躍信號作為輸入，對衛(wèi)星動中通伺服系統(tǒng)進行模型參數(shù)的辨識，得到了較為精確的辨識結(jié)果。最后用正弦信號對辨識模型進行驗證，證實了辨識結(jié)果是可信的。

圖4 原系統(tǒng)與辨識模型的正弦響應(yīng)對比