平面索牽引機構(gòu)工作空間解析求解與驗證

何世凱，段清娟，李 浩，趙 萍

(西安電子科技大學(xué) 機電工程學(xué)院，陜西 西安 710071)

索驅(qū)動機器人是一類使用索將所需的運動傳遞給末端執(zhí)行器的機器人，通過控制連接到末端執(zhí)行器的索長度來移動末端執(zhí)行器。其最令人矚目的成果是應(yīng)用于500m口徑球面射電望遠鏡(Five-hundred-meter Aperture Spherical Telescope,FAST)的索牽引饋源系統(tǒng)[1]。

索驅(qū)動機器人與傳統(tǒng)機器人相比，具有工作空間大、慣性小、制造成本低、易于組裝和重新配置等優(yōu)點，應(yīng)用廣泛，例如康復(fù)機器人系統(tǒng)[2]、運動攝像系統(tǒng)[3]以及航天虛擬作業(yè)訓(xùn)練系統(tǒng)[4]等。

在許多研究中，索驅(qū)動機構(gòu)用于操作單個剛體，例如文獻[5]對索驅(qū)動機械手的穩(wěn)定性進行了研究，但是對于多體機構(gòu)的研究相對較少。索驅(qū)動機構(gòu)要擴展到多體機構(gòu)，需要解決的最基本的問題是所需的索數(shù)量和多體機構(gòu)上的索分布[6]。文獻[6]提出一種分析索驅(qū)動多體系統(tǒng)所需的索總數(shù)及其在各個剛體上的分布方法。

在索驅(qū)動機構(gòu)中，存在的一個關(guān)鍵性問題是索在工作時只受拉力。這一關(guān)鍵問題與索驅(qū)動機構(gòu)的工作空間密切相關(guān)[7]。文獻[7]對索驅(qū)動機器人工作空間進行了分類討論，當索拉力t∈[0 ∞)時，末端執(zhí)行器能到達位置的集合，稱為力旋量封閉工作空間 (Wrench Closure Workspace, WCW)；當索拉力t∈[tmin,tmax]，且tmin>0時，末端執(zhí)行器能到達位置的集合稱為力旋量可行工作空間 (Wrench Feasible Workspace, WFW)，且最為實用。文獻[8]提出了一種用于確定多體索驅(qū)動機構(gòu)可控工作空間的方法。

上述文獻在求解工作空間時基于空間離散后逐點驗證方法，并沒有給出解析的工作空間邊界，不能保證工作空間的連續(xù)性。筆者以平面兩桿三索機構(gòu)為例，找出其力旋量封閉工作空間邊界和力旋量可行工作空間，提出最大力旋量可行工作空間的優(yōu)化方法，并對前述理論進行實驗驗證。

1 工作空間邊界

1.1 兩桿構(gòu)型及索拉力求解公式

為確保索牽引機構(gòu)中的所有索處于張緊狀態(tài)，至少需要n+1根索，其中n為系統(tǒng)的自由度數(shù)[6]。筆者基于此理論在最少索數(shù)量情況下進行研究，分析有一端固定的兩桿索牽引機構(gòu)。

根據(jù)文獻[8]驅(qū)動串聯(lián)兩桿機構(gòu)中共有兩種配置：[m1,m2]= [1,2]或者[0,3]，其中[1,2]表示第1根桿上牽引1根索，第2根桿上牽引2根索。同理，[0,3]表示第1根桿沒有牽引索，第2根桿上牽引3根索，分別對應(yīng)圖1(a)和圖1(b)。

圖1 兩桿三索的兩種配置

圖1中,O0X0Y0為基坐標系，θi為桿中線相對于X0軸的夾角,qi為第i根桿中線相對于Y0軸的夾角，且順時針為負，逆時針為正，如圖1(b)q1為負；di為第i根索與連桿連接點到其轉(zhuǎn)動副距離，Mi為第i個電機位置。

多體索牽引機構(gòu)中索力可以通過拉格朗日方程和虛功原理求解。根據(jù)文獻[9]可知

(1)

Q=JLT,

(2)

其中,L是拉格朗日函數(shù);Q為廣義力或廣義力矩;T為繩索拉力向量；φi為廣義坐標，在文中的定義如圖1(a)所示;JL可表示為

其中，ti為第i根索單位向量，Ui為基坐標系原點到索i在桿上牽引點的向量，m為牽引在機構(gòu)上的總索數(shù)。求解式(2)可得

T=JL+Q+ce，

(3)

其中,JL+是矩陣JL的偽逆，e是JL零空間中的任意單位向量，c是任意實數(shù)。

1.2 工作空間解析求解原理

1.2.1 工作空間邊界求解

從索力求解公式可看出，兩桿三索機構(gòu)中JL的零空間是一維的。可以通過分析其零空間找到此類機構(gòu)的力旋量可行工作空間的邊界。如果e的分量都是非零的，并且具有相同的符號，則可以取合適的c，使所有索的拉力都為正。

為了找到e，首先讓di是JL的第i列，它是與第i根索相關(guān)的列，由此可以得到

(4)

S是JL的前n列,可表示為

(5)

當JL滿秩時,可以假定S是滿秩的(可以通過改變JL中列的順序?qū)崿F(xiàn)),因此很容易得出JL的零空間向量nL,即

(6)

其中，S*是S的伴隨矩陣。當S行列式為零時(即出現(xiàn)奇異JL不是滿秩)，上式中給出的nL的定義將有除零的情況。為了避免這一點，可以考慮nL的變形，命名為ε，可表示為

(7)

使用式(7)進行計算,就可以避免奇異的情況。

由于ε的分量是廣義坐標系下的連續(xù)函數(shù)，當且僅當,其中的分量變?yōu)榱銜r將發(fā)生符號變化。因此，滿足零空間條件的區(qū)域的邊界是通過求解εi每個分量的根來確定的,即

(8)

其中,εi是ε的第i個分量。用等式(8)求解，可得到一組曲線，每條曲線將空間劃分為兩個區(qū)域，ε在兩個區(qū)域具有不同的符號。在每條曲線上，零空間向量的分量是零，也即為力旋量封閉工作空間的邊界。

1.2.2 兩種構(gòu)型求解

表1 [1,2]配置和[0，3]配置的參數(shù)

使用上述方法求解前述兩種構(gòu)型的力旋量封閉工作空間邊界，對圖1(a)，在[1,2]配置中，JL是2行3列的矩陣。JL的零空間可以使用關(guān)節(jié)變量θ1和θ2,即

(9)

所給出的方程是非線性的，因此有多個解。在本例中，式(9)的3個方程在θ1和θ2的平面中產(chǎn)生4條曲線，如圖2(a)所示,其坐標軸范圍都取0到2π。其參數(shù)值如表1所示。

為了找出εi符號相同的區(qū)域，在θ1和θ2軸都以π/30為間隔進行掃描，結(jié)果如圖2(a)所示。其中黑色區(qū)域是εi符號相同的區(qū)域，即為此系統(tǒng)力旋量封閉工作空間。由于角坐標是周期性的，這些區(qū)域中的一些部分實際上是連接在一起的，最上面的部分和最下面的部分是可以拼接在一起的。接下來將第1根索牽到第2個桿上,從而形成第2種配置即[0,3],如圖1(b)所示。參數(shù)配置如表1所示。

圖2 兩種配置的求解結(jié)果

圖2(b)描繪了該機構(gòu)的[0,3]配置在給定構(gòu)型下的工作空間區(qū)域。根據(jù)圖2(b)可以看出,其力旋量封閉工作空間相對第1種配置明顯減小，這限制了規(guī)劃軌跡的范圍，有可能影響實際操作。筆者提出了一種優(yōu)化方法，優(yōu)化電機位置Mi和牽索點di，確保規(guī)劃的軌跡在力旋量可行工作空間內(nèi)的前提下，使得力旋量可行工作空間最大。這樣當調(diào)整軌跡時，有較大的概率不用改變電機位置和牽索點，新的軌跡仍然在力旋量可行工作空間內(nèi)，從而節(jié)省了人工調(diào)整的時間，提高了工作效率。

圖3 優(yōu)化流程圖

2 最大力旋量可行工作空間優(yōu)化

2.1 優(yōu)化方法

以上討論的都是力旋量封閉工作空間，而在實際應(yīng)用中力旋量可行工作空間是更為實用的。而更大的力旋量可行工作空間意味著可以在更大的空間范圍內(nèi)進行軌跡規(guī)劃，從而使機構(gòu)完成預(yù)想的實驗或工作。在此使用蒙特卡羅方法對電機位置Mi和牽索點di進行優(yōu)化，在保證規(guī)劃的軌跡在力旋量可行工作空間內(nèi)的前提下，找出力旋量可行工作空間最大的配置。優(yōu)化流程圖如圖3所示。

2.2 優(yōu)化實例

以兩桿[1,2]配置為例，為了讓兩桿機構(gòu)在運動過程中能平穩(wěn)加速、準確停止，一般采用梯形速度曲線控制運動過程。筆者設(shè)計的兩桿運動如圖4所示，q1在10 s內(nèi)先加速再勻速再減速達到15°，然后再以此趨勢先加速再勻速再減速在30 s時達到-15°，最后再經(jīng)過一次加速勻速減速的過程達到起始位置。q2的變化趨勢與q1相同，不過其角度變化為30°。ω1和ω2分別代表筆者設(shè)計的兩桿運動的兩桿角速度。

圖4 軌跡規(guī)劃

根據(jù)實際電機扭矩情況限制索拉力范圍為[5 N,200 N]，即索拉力在此范圍內(nèi)機構(gòu)所能達到的位置的集合為力旋量可行工作空間。以拉力的二范數(shù)最小為目標求解拉力,即

(10)

優(yōu)化結(jié)果即為圖5(a)所示，圖5(a)對應(yīng)的參數(shù)見表1。為了對比優(yōu)化結(jié)果，隨機選取了一組未優(yōu)化的參數(shù)配置結(jié)果,如圖5(b)所示，具體參數(shù)值不再贅述。

圖5 優(yōu)化結(jié)果與對比結(jié)果

圖5中黑色區(qū)域和淺色區(qū)域共同組成力旋量封閉工作空間，淺色區(qū)域為力旋量可行工作空間，黑色線段為圖4中規(guī)劃的q1和q2轉(zhuǎn)換為θ1和θ2即機構(gòu)的軌跡圖。兩圖中力旋量可行工作空間大小區(qū)別明顯，圖5(b)力旋量可行工作空間的點數(shù)為1 164，圖5(a)為1 912，圖5(b)僅為圖5(a)的60%。

3 實驗驗證

3.1 實驗平臺

由第2節(jié)優(yōu)化結(jié)果可知,表1中的配置工作空間較大，所以依表1中的數(shù)據(jù)進行實驗驗證。

實驗平臺如圖6所示,平臺框架的長寬高分別為2 000 mm、2 000 mm、2 000 mm。電機和驅(qū)動器固定在鋁框上，索通過兩個滑輪繞在電機上。通過電機的正反轉(zhuǎn)控制索的收放，從而帶動桿件的運動。通過連接在鋁框內(nèi)滑輪2的拉力傳感器，采集索拉力的大?。煌ㄟ^目標運動跟蹤裝置MARS2H采集桿件上關(guān)鍵點位置數(shù)據(jù)，計算出實際q1和q2，并與理論值進行對比。

圖6 實驗平臺

3.2 實驗結(jié)果

實驗結(jié)果如圖7和圖8所示。

圖7 理論軌跡與實際軌跡對比

圖8 三索拉力理論值與實際值

從圖7可以看出，在大部分時間，實際角度值與理論角度值基本吻合，出現(xiàn)誤差的時間較短,且誤差大的時刻都是在桿的轉(zhuǎn)動方向發(fā)生改變的時刻。

在10 s處q2的誤差最大,且實際角度未達到理論的角度,這就導(dǎo)致索的張緊索力增大，從實際索力圖可以看出,索2拉力和索3拉力與理論值相比有較大的誤差,且比理論值大。根據(jù)力矩平衡原理，索2和索3拉力的增大,導(dǎo)致索1的拉力隨之增大。接著從角度對比圖可以看出,q1和q2在20～30 s區(qū)間內(nèi)誤差逐漸增大，實際角度逐漸落后于理論角度,且在30 s時這個誤差達到此區(qū)間最大。同理，這將導(dǎo)致實際情況中3根索力都增大,且在30 s左右實際值與理論值的偏差達到最大。30 s之后角度誤差減小，實際拉力也逐漸接近于拉力的理論值。

由圖8可以看出,實際拉力基本保持在5 N～200 N之間，這也進一步說明了優(yōu)化出的構(gòu)型可以保證軌跡在力旋量可行的工作空間內(nèi)。

4 結(jié)束語

文中針對平面多體索牽引機構(gòu)提出了零空間的方法求解力旋量封閉工作空間邊界的解析方程，此方法適用于單冗余的平面索牽引多體機構(gòu)。并在此基礎(chǔ)上掃描出力旋量可行工作空間。使用蒙特卡羅方法優(yōu)化配置使得力旋量可行工作空間最大。根據(jù)優(yōu)化出的結(jié)果進行實驗，驗證了此配置的正確性即機構(gòu)運行過程中拉力始終保持在規(guī)定范圍內(nèi)。

蒙特卡羅優(yōu)化方法只是大規(guī)模抽樣，并不能找出所有的配置進行分析從而找到最優(yōu)的配置，而分析所有配置又會導(dǎo)致效率低下。后續(xù)會對此問題進一步研究,找出更好的優(yōu)化方案。