恒力作用下動量定理DIS實驗的研究

楊陽 倪敏 魏瑩 郭強友 杜曉賀

(上海師范大學(xué)數(shù)理學(xué)院 上海 200234)

動量定理是高中物理一個重要的知識點，也是物理實驗教學(xué)中必不可少的內(nèi)容.本文對恒力作用下動量定理的DIS實驗進行分析，得出影響實驗誤差大小的4個因素，并對實驗的內(nèi)容進行改進以減小這4個因素對實驗造成的誤差.定量計算導(dǎo)軌滾動摩擦系數(shù)后，采用引入滾動摩擦系數(shù)對實驗數(shù)據(jù)進行修正的改進方法，不僅可以提高實驗精度，也可簡化實驗步驟.對于實驗拓展的內(nèi)容，利用落體法的原理，設(shè)計出一種在豎直方向上驗證恒力作用下動量定理的DIS實驗，并對實驗結(jié)果進行分析，討論該方法的可行性，發(fā)現(xiàn)將其應(yīng)用在教學(xué)中可向?qū)W生直觀完整地展現(xiàn)動量定理的內(nèi)容.

1 基本原理及誤差分析

1.1 基本原理

動量定理的內(nèi)容是：物體所受合力的沖量等于物體動量的變化，即Ft=m(v′-v).實驗原理如圖1所示.

圖1 實驗原理圖

利用質(zhì)量遠小于小車的重物拉動小車在導(dǎo)軌上運動，此時拉力可以看作是小車所受到的恒力，使用光電門測速后自動計算小車經(jīng)過兩個光電門的時間，由此得到小車所受合力的沖量；由小車本身質(zhì)量、光電門所記錄的小車兩次擋光時間和擋光片寬度，即可得到小車的動量變化.

1.2 誤差分析

根據(jù)上述實驗原理，動量定理公式可寫為

mv2-mv1=I+fT12+I′

(1)

式(1)中，m是小車的質(zhì)量，v1和v2分別是小車通過兩個光電門時的瞬時速度，I是恒力在一段時間內(nèi)給小車的沖量，f是小車受到的滾動摩擦力，T12是小車經(jīng)過兩個光電門所需的時間，I′是系統(tǒng)誤差沖量[1].實驗相對誤差為

(2)

式(2)中I為小車所受沖量的大小，Δp為小車的動量變化量.可根據(jù)公式(1)將式(2)改寫為

(3)

根據(jù)上式，若要減小實驗誤差，就要將誤差公式中的兩項分別減小.對于式(3)中的第一項，可以將摩擦力減到最小或者消除摩擦力的影響，使得這一項的大小近似為零.第二項中可以通過增大小沙桶m1的質(zhì)量，增大小車m的質(zhì)量，增大小車通過兩個光電門的速度差，增大小車通過兩個光電門的時間來增大分母，使這一項的大小近似為零[2].另外，還需固定導(dǎo)軌，增加系統(tǒng)的穩(wěn)定性，以此來減小誤差.

綜上分析可得減小實驗誤差的方法為：(1)固定導(dǎo)軌；(2)增大小車的質(zhì)量；(3)增大光電門之間的距離；(4)使小車在實驗前進行受力平衡，消除摩擦力的影響.

2 改進方案

2.1 影響實驗誤差大小4個因素的改進方法及結(jié)果分析

將寬度為0.02 m的“I”型擋光片固定于載有配重片的小車上，同時將兩個光電門固定于力學(xué)導(dǎo)軌上并接入數(shù)據(jù)采集器，打開DISLab“通用軟件”，添加計算表格記錄拉力、動量變化、沖量等，首先將導(dǎo)軌的一側(cè)微微墊高，以保證小車在水平方向上所受到的合外力為恒力，隨后改變小車配重片個數(shù)或拉力大小，進行動量定理的驗證[3].

2.1.1 固定導(dǎo)軌

在實驗過程中，分別在力學(xué)導(dǎo)軌固定前后進行3次實驗，小車質(zhì)量

m=0.323 8 kg

觀察實驗誤差的變化情況.實驗結(jié)果如表1所示.

表1 固定導(dǎo)軌前后，改變拉力F

從表1數(shù)據(jù)可看出，導(dǎo)軌的固定度會給實驗結(jié)果造成不確定誤差，用固定的導(dǎo)軌實驗后計算的誤差相對較小且穩(wěn)定.

2.1.2 增大小車質(zhì)量

在固定導(dǎo)軌的基礎(chǔ)上，逐漸增加小車質(zhì)量[4]，采用同樣的實驗方法，記錄當(dāng)小車質(zhì)量逐漸增加時的“沖量”與“動量變化”及其相對誤差，拉力m1=0.019 2 kg,實驗結(jié)果如表2所示.

表2 增大小車質(zhì)量

由表2數(shù)據(jù)分析可得，在拉力不變的情況下，當(dāng)小車質(zhì)量增大時，實驗誤差逐漸減小.

可見小車質(zhì)量大小對實驗結(jié)果的影響是比較顯著的，并且小車的質(zhì)量越大于小沙桶的質(zhì)量，實驗誤差越小.因此，增大小車的質(zhì)量有利于減小實驗誤差.

2.1.3 改變兩光電門的間距

在減小了前兩種誤差因素對實驗結(jié)果的影響后，通過改變兩個光電門之間的距離，進而改變小車通過兩個光電門的速度差及經(jīng)過時間，采用同樣的實驗方法，記錄當(dāng)兩光電門間距改變時的“沖量”與“動量變化”及其相對誤差，小車質(zhì)量

m=0.421 6 kg

拉力

m1=0.019 2 kg

實驗結(jié)果如表3所示.

表3 兩個光電門相距的長度

其中L是兩光電門之間的距離，從數(shù)據(jù)上可以看出,在本次實驗使用的力學(xué)導(dǎo)軌上，0.1～0.3 m是誤差近似較小的范圍，距離再增大后誤差又會再次增大.雖然對于不同導(dǎo)軌而言，兩光電門之間的最佳距離是不一樣的，但根據(jù)誤差分析可知，兩光電門的間距仍然不能太小.若要使實驗結(jié)果更為精確，可合理增大光電門之間的距離.

2.1.4 平衡摩擦力

在減小了前3種誤差因素對實驗結(jié)果的影響后，進一步平衡摩擦來減小實驗誤差[5]，調(diào)節(jié)軌道的傾斜程度，推動小車使其經(jīng)過兩光電門的時間近似相等，這時小車的受力近似視為平衡，在這種狀態(tài)下按照動量定理DIS實驗的內(nèi)容進行實驗，觀察誤差的變化情況并且分析小車在受力平衡時對于實驗誤差的影響，兩光電門距離

L=0.25 m

小車的質(zhì)量

m=0.421 6 kg

實驗結(jié)果如表4所示.

表4 小車受力平衡(最佳方案選擇)

由以上實驗數(shù)據(jù)可知.當(dāng)小車平衡摩擦力后，計算得出的誤差比較之前實驗結(jié)果要小，所以,摩擦力對實驗結(jié)果的影響是非常大的.平衡摩擦力后，實驗誤差都趨向于穩(wěn)定并且誤差的數(shù)值也非常小.

本次的實驗是實驗的最佳方案.在本次實驗中，兩光電門間的最佳距離在25 cm處，小車的質(zhì)量為0.421 6 kg，遠大于拉力大小，并且在平衡摩擦力后固定了力學(xué)導(dǎo)軌的位置.在此4個條件同時滿足的情況下，恒力作用下動量定理DIS實驗的誤差將會減小并趨于穩(wěn)定.

2.2 引入滾動摩擦系數(shù)進行數(shù)據(jù)修正

2.2.1 修正方法

小車在導(dǎo)軌上的運動可以看成無滑滾動，因此可采用引入滾動摩擦系數(shù)對實驗數(shù)據(jù)修正的方法來減小實驗誤差.

首先,利用水準儀將軌道調(diào)整至水平狀態(tài)，如圖2所示.保證小車在水平方向上所受到的外力只有摩擦力.然后,使小車在水平導(dǎo)軌上運動，分別測出小車在水平方向上只受到摩擦力作用時通過兩個光電門的瞬時速度大小后，利用公式

v2=v1+at

圖2 軌道調(diào)平

最后，將得到的平均滾動摩擦系數(shù)帶入在水平導(dǎo)軌上測得的實驗數(shù)據(jù)中，便可以達到修正誤差的效果.

2.2.2 定量修正導(dǎo)軌滾動摩擦力實驗數(shù)據(jù)與分析

根據(jù)上述實驗原理，測得力學(xué)軌道滾動摩擦系數(shù)實驗數(shù)據(jù)如表5所示.

表5 力學(xué)導(dǎo)軌滾動摩擦系數(shù)

根據(jù)實驗數(shù)據(jù)得出本實驗導(dǎo)軌的平均滾動摩擦系數(shù)為0.010 8(此時兩光電門相距0.25 m).

實驗中，小車受到的合外力大小

F=m1g-f

將表5所測得的平均滾動摩擦系數(shù)代入在水平導(dǎo)軌上測得的實驗數(shù)據(jù)中，對小車在實驗中所受合外力作用的沖量進行修正.修正結(jié)果如表6所示,小車的質(zhì)量m=0.422 1 kg.

修正后，實驗誤差處于0.2%～4.2%之間.在誤差允許的范圍內(nèi)，可以視小車在恒力作用下的一段時間內(nèi)的沖量近似等于小車在這段時間內(nèi)的動量變化量.這樣的定量計算可使實驗操作更加簡單有效，使實驗精度明顯提高.同時，讓學(xué)生運用已有的物理知識來解決實驗問題，鍛煉其科學(xué)思維與科學(xué)探究能力，并能有效地培養(yǎng)其物理核心素養(yǎng).

因此,采用引入滾動摩擦系數(shù)對實驗數(shù)據(jù)修正的方法來減小實驗誤差是有效可行的.

表6 滾動摩擦系數(shù)修正

3 拓展實驗——落體法驗證動量定理

3.1 拓展實驗原理

在恒力作用下動量定理的DIS實驗是在力學(xué)導(dǎo)軌上進行的水平方向上的實驗驗證.小沙桶的質(zhì)量需要遠小于小車的質(zhì)量才能看作小車所受到的是恒力.在實驗中，由于小沙桶的晃動或者其質(zhì)量沒有遠遠小于小車質(zhì)量，這些因素都會給實驗帶來誤差.

當(dāng)物體在做自由落體運動時，其受到自身的重力與空氣阻力的影響.所受到空氣阻力的大小和物體本身與空氣的接觸面積有關(guān).若物體在下落過程中與空氣的接觸面積足夠小，可以近似地將物體所受到的恒力視為物體自身的重力.

在實驗操作中，可在塑料直尺上加一塊擋光片充當(dāng)自由下落的物體，實驗原理如圖3所示.

圖3 落體法實驗原理

首先，將擋光片與直尺緊緊粘貼在一起；其次，直尺在下落過程中與空氣的接觸面積非常小，由此可忽略阻力的影響；最后，塑料直尺豎直下落時擋光片經(jīng)過兩個光電門，可計算其經(jīng)過兩個光電門時的瞬時速度.

落體法驗證動量定理DIS實驗中，直尺所受到的恒力就是直尺本身的重力.由測得的通過兩個光電門的時間T12，可計算出重力在這段時間內(nèi)作用在直尺上的沖量大??；利用直尺分別經(jīng)過兩個光電門時的瞬時速度，得到直尺動量變化量.

3.2 實驗結(jié)果及分析

根據(jù)上文中落體法驗證動量定理的實驗原理進行操作，擋光片與塑料直尺的質(zhì)量m=0.163 8 kg,得到實驗數(shù)據(jù)如表7所示.

表7 落體法驗證動量定理

通過分析表7可得，實驗誤差范圍在1.9%～3.9%.在誤差允許的范圍內(nèi)，可以近似認為直尺在下落過程中重力在一段時間內(nèi)所產(chǎn)生的沖量大小等于直尺在這段時間內(nèi)的動量變化量.

直尺受恒力作用過程中，有

mv2-mv1=I+fT12

(4)

式(4)中，m是直尺的質(zhì)量，v1和v2分別是直尺通過兩個光電門時的瞬時速度，I是直尺所受的重力在一段時間內(nèi)產(chǎn)生的沖量，f是直尺所受到的空氣阻力，T12是擋光片經(jīng)過兩個光電門所需的時間.由式(4)可得，落體法進行動量定理DIS實驗在誤差上比利用力學(xué)導(dǎo)軌進行實驗少一項系統(tǒng)沖量I′，并且空氣阻力帶來的影響也微乎其微.

雖然在本次實驗中所得到的誤差較小且穩(wěn)定，但直尺受到的空氣阻力所帶來的誤差影響是存在的，并且無法通過計算得出阻力的大小，故無法修正本次實驗數(shù)據(jù).在實驗中，直尺是否豎直下落對實驗影響是不可忽略的，若下落時直尺并非豎直狀態(tài)，擋光片的擋光距離則會發(fā)生改變，從而再次引入不可測量的實驗誤差.因此，在實驗過程中，應(yīng)認真調(diào)節(jié)帶有擋光片的直尺，保證其下落過程一直保持豎直狀態(tài).

4 總結(jié)

通過理論分析與實驗驗證發(fā)現(xiàn)，在實驗中應(yīng)平衡摩擦力，固定力學(xué)導(dǎo)軌，合理增大兩光電門間距，增大小車的質(zhì)量.當(dāng)這4個條件同時滿足時，可以有效減小實驗的相對誤差.雖然在操作步驟上需要一定的時間，但是在減小誤差的表現(xiàn)上卻是非常完美的.

在平衡摩擦力方面，定量計算滾動摩擦系數(shù)的方法操作簡單，只需將實驗導(dǎo)軌利用水準儀調(diào)至水平后進行計算.這可以讓學(xué)生逃離出繁瑣的實驗步驟，專注于實驗本身所要驗證的定理中，運用已有物理知識解決實際問題，做到活學(xué)活用，加深學(xué)生對知識點的理解.

落體法驗證動量定理實驗相對于力學(xué)導(dǎo)軌驗證動量定理實驗有著兩大優(yōu)勢：

(1)實驗器材與實驗操作簡單明了，只需保證下落時直尺的豎直即可；

(2)實驗誤差穩(wěn)定，實驗原理符合動量定理.由于阻力大小的不可測，使得該實驗的誤差無法進行減小或是修正.所以,落體法必定會存在一定的誤差.落體法驗證動量定理實驗簡化了步驟與器材，向?qū)W生直觀地展現(xiàn)出了動量定理的內(nèi)容，讓學(xué)生更加完整、簡單地了解并認識動量定理.