對(duì)稱性及其在解題中的應(yīng)用

王建忠

(江蘇省啟東中學(xué) 江蘇 南通 226200)

對(duì)稱是一個(gè)常用詞，現(xiàn)代漢語(yǔ)詞典的解釋是指圖形或物體對(duì)某個(gè)點(diǎn)、直線或平面而言，在大小、形狀和排列上具有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系．?dāng)?shù)學(xué)家外爾教授給出了對(duì)稱性的一個(gè)極好的定義，意思是如有一件東西，你有可能對(duì)它做某種操作，使得你完成了操作之后，它看起來(lái)同操作以前是一樣的，那么那件東西就是對(duì)稱的[1]．這里說(shuō)的對(duì)稱主要表現(xiàn)在空間形式上，對(duì)稱還可以表現(xiàn)在時(shí)間過(guò)程中，對(duì)稱性是自然界的普遍規(guī)律，對(duì)稱性方法和對(duì)稱性原理的廣泛應(yīng)用，使物理學(xué)取得了許多令人振奮的成果．庫(kù)侖利用對(duì)稱分析的思想確立了庫(kù)侖定律．在驗(yàn)證靜電力與電荷量成正比時(shí)，當(dāng)時(shí)人們只知道物體有沒(méi)有電荷，但沒(méi)有辦法精確地測(cè)定物體所帶的電荷量．為了尋找靜電力與電荷量間的關(guān)系，庫(kù)侖用了一個(gè)雖不夠嚴(yán)格但極為巧妙的方法．他從對(duì)稱性的物理思想出發(fā)，令一個(gè)帶電金屬球與半徑、材料相同的另一個(gè)不帶電金屬球接觸后分開(kāi)，每球的電荷量應(yīng)為原帶電球的電荷量的一半，庫(kù)侖就用這種對(duì)稱均分的方法驗(yàn)證了靜電力與電荷量成正比的規(guī)律[2]．對(duì)稱守恒觀是物理學(xué)科形成的認(rèn)識(shí)自然界的基本思想方法和處理問(wèn)題的基本思維方式．

本文從研究對(duì)象、物理過(guò)程、物理量3個(gè)方面討論對(duì)稱性在物理解題中的應(yīng)用．

1 研究對(duì)象的對(duì)稱

【例1】圖1所示的網(wǎng)狀電路中含有4個(gè)六邊形，已知六邊形每邊的電阻都是r，求A，H間的電阻．

圖1 含有4個(gè)六邊形的網(wǎng)狀電路

解法1：等勢(shì)點(diǎn)短接法．等勢(shì)點(diǎn)間無(wú)電流，可視問(wèn)題的需要將其做短路或斷路處理．

設(shè)想將A，H兩端接入電源，由于電路關(guān)于過(guò)ACFH的直線對(duì)稱，所以，各對(duì)稱電路段上分布的電流應(yīng)相等.因此，B，D為等勢(shì)點(diǎn)；同理E，G也為等勢(shì)點(diǎn)，可以將等勢(shì)點(diǎn)短路，電路等效為圖2(b)所示．

圖2 圖1的等效電路

這樣A,H間的電阻可以看成A和B，B和E，E和H3個(gè)部分串聯(lián)而成．B，E間是3部分并聯(lián)，可求得

所以

解法2：對(duì)稱軸折疊法．電路以ACFH為軸上下對(duì)稱，沿ACFH對(duì)稱軸對(duì)折，兩電阻重疊，即為兩電阻并聯(lián)，得到如圖3所示等效電路．易得

圖3 對(duì)稱折疊的等效電路圖

點(diǎn)評(píng)：通過(guò)對(duì)研究對(duì)象(電路)的對(duì)稱性分析，確定解題的總體思路或入手方向，作必要的等效處理，變復(fù)雜電路為簡(jiǎn)單電路．對(duì)稱性既是一個(gè)理論概念，也是人們思考和解決問(wèn)題的一種方法，對(duì)稱性在物理學(xué)中有著舉足輕重的作用，合理地使用對(duì)稱性方法可使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化．

【例2】一玻璃齒輪，每個(gè)齒均為相同的正三角棱鏡(頂角為60°)，若此裝置能使光繞著齒輪轉(zhuǎn)，求齒數(shù)為N時(shí)，玻璃的折射率n為多少? 當(dāng)N=6時(shí)，折射率n為多少?

解析：當(dāng)光繞著齒輪轉(zhuǎn)時(shí)，由對(duì)稱分析可知，光線在每個(gè)棱鏡中的偏轉(zhuǎn)情況必須是相同的，光路一定是對(duì)稱的，在棱鏡中的光線一定與棱鏡底邊平行，如圖4所示．

由折射定律

得

當(dāng)N=6時(shí)

點(diǎn)評(píng)：解題的第一步是選取研究的對(duì)象．通過(guò)審題，由結(jié)構(gòu)對(duì)稱分析出光路對(duì)稱；經(jīng)過(guò)科學(xué)推理，得出每個(gè)棱鏡對(duì)光線的偏轉(zhuǎn)情況相同，棱鏡中光線平行于底邊是解題的關(guān)鍵．對(duì)稱分析是我們解決問(wèn)題的一把鑰匙，通過(guò)定性和定量?jī)蓚€(gè)角度對(duì)問(wèn)題進(jìn)行科學(xué)推理，找出規(guī)律，形成結(jié)論.

2 物理過(guò)程的對(duì)稱性

物理過(guò)程對(duì)稱又分時(shí)間對(duì)稱和空間對(duì)稱．

【例3】從地面上同一點(diǎn)以相同初速度v0=30 m/s先后豎直向上拋出2個(gè)小球，兩小球拋出的時(shí)間間隔Δt=2 s，問(wèn)第二個(gè)小拋出后多久與第一個(gè)小球在空中相遇？取重力加速度g=10 m/s2．

解法1：利用上拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律求解．兩個(gè)小球以相同的初速度上拋，不可能在第一個(gè)小球的上升過(guò)程中兩球相遇，只能在第一個(gè)小球的下落過(guò)程中兩球相遇．設(shè)第二個(gè)小球拋出后ts兩球在空中相遇，此時(shí)先拋出的小球運(yùn)動(dòng)了(t+2) s．以拋出點(diǎn)為原點(diǎn)，豎直向上為y軸正方向，由上拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律

相遇的條件是

y1=y2

聯(lián)立得

t=2 s

解法2：利用上拋運(yùn)動(dòng)“上升過(guò)程和下落過(guò)程經(jīng)過(guò)同一高度處的速度等大反向”這一空間對(duì)稱性求解．相遇時(shí)有

v2=-v1

即

v0-gt=-[v0-g(t+Δt)]

30-10t=-[30-10(t+2)]

得

t=2 s

對(duì)第二個(gè)小球

v=v0-gt10=30-10t

得

t=2 s

圖5 兩小球的位移-時(shí)間圖像

點(diǎn)評(píng)：利用對(duì)稱性進(jìn)行思考，得到了多種簡(jiǎn)潔的解題方法．在分析處理問(wèn)題時(shí)，有意識(shí)地利用對(duì)稱性，并使思維過(guò)程與之相適應(yīng)，不但可以更好地把握問(wèn)題的本質(zhì)，還可以使思維和推理過(guò)程更簡(jiǎn)潔，更快地打開(kāi)思路，并能快捷地解決問(wèn)題，達(dá)到事半功倍的效果．

【例4】如圖6所示由細(xì)桿組成的軌道，MN,CD兩部分處于水平位置，長(zhǎng)度均為L(zhǎng)，兩桿間距離為h．MEC是直徑為h的半圓，與MN,CD在同一豎直平面內(nèi)，且MN,CD恰為半圓弧在M,C兩點(diǎn)處的切線．質(zhì)量為m，帶正電荷q的小球P，穿在細(xì)桿上，已知小球P與兩水平細(xì)桿間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，小球P與半圓軌道MEC之間的摩擦不計(jì)，小球P帶的電荷量不變．在MD,NC連線的交點(diǎn)O處固定一電荷量為Q的負(fù)點(diǎn)電荷，使小球P從D端出發(fā)沿桿滑動(dòng)，滑到N點(diǎn)時(shí)速度恰好為零．求小球P從D端出發(fā)時(shí)的初速度v0．過(guò)程中小球所受庫(kù)侖力始終小于重力．

圖6 細(xì)桿組成的軌道示意圖

解析：小球P從D端滑到N端全過(guò)程，由動(dòng)能定理

式中Wf,WE,WG分別為摩擦力、電場(chǎng)力和重力對(duì)小球P做的功．由對(duì)稱性可知，D,N兩點(diǎn)是-Q電場(chǎng)的等勢(shì)點(diǎn)，WE=0；WG=-mgh．要求出初速度v0，關(guān)鍵是求出摩擦力對(duì)小球P做的功Wf．由于電場(chǎng)力是變力，小球在水平桿上運(yùn)動(dòng)時(shí)，小球?qū)U的正壓力是變力，因此滑動(dòng)摩擦力是變力．但由于裝置具有對(duì)稱性，我們可以取DC,MN上關(guān)于O對(duì)稱的兩點(diǎn)P1,P2，設(shè)∠P2P1C=θ，如圖7所示．

圖7 例6解析圖

小球P在P1,P2位置時(shí)，O點(diǎn)處電荷-Q對(duì)小球P的靜電力大小相等，設(shè)為F，在P1,P2位置考察一微小位移Δs，摩擦力做功分別為ΔWf1,ΔWf2,有

ΔWf1=-f1Δs=-μN(yùn)1Δs=-μ(mg-Fsinθ)Δs

ΔWf2=-f2Δs=-μN(yùn)2Δs=-μ(mg+Fsinθ)Δs

這兩個(gè)微小位移上摩擦力做的總功為

ΔWf=ΔWf1+ΔWf2=-2μmgΔs

DC,MN上位移可分成這樣一對(duì)一對(duì)對(duì)稱的微元，全過(guò)程摩擦力做的功為

Wf=∑ΔWf=-2μmg∑Δs=-2μmgL

將Wf,WE代入動(dòng)能定理表達(dá)式，可得

點(diǎn)評(píng)：通過(guò)選取一對(duì)對(duì)稱的過(guò)程微元，解決了滑動(dòng)摩擦力變力做功問(wèn)題．對(duì)稱性是美的化身，物理學(xué)中對(duì)稱美是普遍存在的，她可以是顯性的，也可以是隱性的．我們不僅要懂得去欣賞她，更要有意識(shí)地去發(fā)現(xiàn)和利用她．

3 物理量的對(duì)稱

【例5】測(cè)量空間某固定點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小隨時(shí)間的變化，得到如圖8所示圖線．電場(chǎng)是由兩個(gè)相同的點(diǎn)電荷產(chǎn)生的，其中一個(gè)點(diǎn)電荷不動(dòng)且到觀察點(diǎn)的距離為d，另一個(gè)點(diǎn)電荷以恒定速度運(yùn)動(dòng)．求：

(1)每個(gè)點(diǎn)電荷的電荷量；

(2)運(yùn)動(dòng)點(diǎn)電荷到觀察點(diǎn)的最近距離；

(3)運(yùn)動(dòng)點(diǎn)電荷的速度．

圖8 例5題圖

解析：當(dāng)時(shí)間t很長(zhǎng)時(shí)，運(yùn)動(dòng)點(diǎn)電荷與觀察點(diǎn)相距很遠(yuǎn)，可以認(rèn)為觀察點(diǎn)的電場(chǎng)僅由固定的點(diǎn)電荷產(chǎn)生，這時(shí)場(chǎng)強(qiáng)為E0．設(shè)點(diǎn)電荷的電荷量為Q，則

該電荷可正可負(fù)．

從圖8看出，t=0時(shí)，觀察點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)為零．此外圖像關(guān)于縱軸對(duì)稱，又由于是兩個(gè)相同點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)，因此，只有這樣才可能，t=0時(shí)兩點(diǎn)電荷與觀察點(diǎn)在一直線上且關(guān)于觀察點(diǎn)對(duì)稱，運(yùn)動(dòng)點(diǎn)電荷與觀察點(diǎn)相距d，這是運(yùn)動(dòng)點(diǎn)電荷與觀察點(diǎn)的最近距離．運(yùn)動(dòng)點(diǎn)電荷的速度方向與固定點(diǎn)電荷和觀察點(diǎn)的連線垂直(這樣才能使場(chǎng)強(qiáng)E關(guān)于縱軸對(duì)稱)．如圖9所示，為求運(yùn)動(dòng)點(diǎn)電荷的速度，考察t=0時(shí)刻附近極短時(shí)間Δt，設(shè)點(diǎn)電荷是正電荷，Δt時(shí)間內(nèi)觀察點(diǎn)P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)由零增加到E，在等腰 ΔE0EP中

得

由此得

圖9 例5解析圖

點(diǎn)評(píng)：充分利用對(duì)稱性的思想方法，可以提高直覺(jué)思維能力和形象思維能力，能很容易概括出我們所面對(duì)問(wèn)題的關(guān)鍵，從而有效解決問(wèn)題．

楊振寧先生說(shuō)：“物理學(xué)最重要的部分是與物理思想有關(guān)的，絕大部分物理學(xué)是從物理思想來(lái)的，物理思想是物理學(xué)的根源．”[3]對(duì)稱性是物理學(xué)的一個(gè)重要思想．在中學(xué)物理中，對(duì)稱思想的應(yīng)用不僅在于方便解題，提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，更重要的是可有效激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)物理的興趣，加深對(duì)物理規(guī)律、科學(xué)本質(zhì)的理解，提升學(xué)生的思維品質(zhì)，形成物理觀念，進(jìn)而提高物理核心素養(yǎng)．