平面簡(jiǎn)諧波波函數(shù)中相位演變的“上下游”理解法

李澤朋 周青軍 魏通 杜明潤

(中國民航大學(xué)理學(xué)院 天津 300300)

大學(xué)物理的授課過程中，平面簡(jiǎn)諧波波函數(shù)的理解和掌握是重要的知識(shí)點(diǎn)，是學(xué)生們學(xué)習(xí)過程中容易出錯(cuò)的知識(shí)疑點(diǎn)，該知識(shí)的理解對(duì)后續(xù)波的疊加、駐波以及波的干涉等知識(shí)學(xué)習(xí)至關(guān)重要，這要求學(xué)生更方便和高效地掌握平面簡(jiǎn)諧波波函數(shù)的求解方法[1～3].

平面簡(jiǎn)諧波的波源振動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)，該振動(dòng)在均勻各向同性介質(zhì)中沿單一方向傳播，傳播方向上各處介質(zhì)重復(fù)波源振動(dòng)形式，僅相位與波源不同.在講授求解平面簡(jiǎn)諧波波函數(shù)時(shí)，一般給定振源的振動(dòng)方程；或在已知傳播方向上，給定某一參考點(diǎn)(如坐標(biāo)原點(diǎn))的振動(dòng)方程，利用任意點(diǎn)與參考點(diǎn)間相位超前或落后，求得任意一點(diǎn)的振動(dòng)函數(shù)，即平面簡(jiǎn)諧波波函數(shù)[3～6].但比較任意點(diǎn)與參考點(diǎn)間相位超前或落后問題對(duì)部分學(xué)生稍顯抽象，不易深刻理解.為方便理解平面簡(jiǎn)諧波波函數(shù)求解過程中相位超前或落后問題，本文提出將相位演變行為與 “河流上下游(相位河)”形象地對(duì)應(yīng)起來，可以方便理解相位的超前或落后行為，同時(shí)弱化傳播方向在波函數(shù)求解過程中的影響，可方便快捷地理解和求得平面簡(jiǎn)諧波波函數(shù)表達(dá)式.

1 “相位河上下游”理解法用于平面簡(jiǎn)諧波波函數(shù)求解過程的相位演變

波傳播方向上質(zhì)點(diǎn)相位各不相同，相位反應(yīng)了各點(diǎn)振動(dòng)與波源(或已知參考點(diǎn))相比振動(dòng)的超前或落后關(guān)系.假定平面簡(jiǎn)諧波在各向同性均勻介質(zhì)中傳播，且傳播過程中沒有能量損失(傳播介質(zhì)不變)，只需求解得到任意點(diǎn)與參考點(diǎn)間的相位差即可求解得到任意點(diǎn)平面簡(jiǎn)諧波波函數(shù).因此，為便于理解平面簡(jiǎn)諧波傳播過程的相位演變問題，將波沿傳播方向的相位演變形象地看做“相位河”的流動(dòng).特別強(qiáng)調(diào)的是，“相位河”的流動(dòng)是平面簡(jiǎn)諧波在傳播方向上相位演變的形象化對(duì)應(yīng)，并不意味著波傳播過程中參與振動(dòng)的各處質(zhì)點(diǎn)元沿傳播方向“流動(dòng)”.利用“相位河”形象理解法，在求解平面簡(jiǎn)諧波波函數(shù)過程中，可以根據(jù)“相位河”上下游間的形象差別關(guān)系，方便地求出任意點(diǎn)與參考點(diǎn)間的振動(dòng)早晚或相位差別，進(jìn)而方便地寫出待求任意點(diǎn)平面簡(jiǎn)諧波波函數(shù).

圖1 平面簡(jiǎn)諧波傳播示意圖

一平面簡(jiǎn)諧波(橫波)在各向同性均勻介質(zhì)中沿x軸傳播(圖1)，已知坐標(biāo)原點(diǎn)O的振動(dòng)方程為

y=Acos(ωt+φ)

(1)

按照前述提到的“相位河上下游”形象化理解方式，(a)向右傳播時(shí)任意點(diǎn)P與參考點(diǎn)(已知點(diǎn))O相比，在“相位河”中位于已知點(diǎn)O的“ 下游”，P點(diǎn)振動(dòng)晚于參考點(diǎn)O，則在參考點(diǎn)O的振動(dòng)方程式(1)相位部分減去落后的相位差

(2)

(|Δx|為參考點(diǎn)傳播到P點(diǎn)的距離)，即得到P點(diǎn)振動(dòng)方程

(3)

(b)當(dāng)波向左傳播時(shí)，任意點(diǎn)P與參考點(diǎn)(已知點(diǎn))O比較，在“相位河”中位于已知點(diǎn)O的“上游”，P點(diǎn)振動(dòng)早于參考點(diǎn)O，需在參考點(diǎn)O的振動(dòng)方程式(1)相位部分加上超前的相位差式(2)，可得到任意點(diǎn)P點(diǎn)振動(dòng)方程

(4)

式(3)和式(4)即為任意點(diǎn)P(右傳/左傳)波函數(shù).

上述示意題目模型較為理想，因此“相位河上下游”形象化理解并求解波函數(shù)過程，表面看來沒有方便許多，但后續(xù)例題將會(huì)展示該方法在求解波函數(shù)中的快捷作用.該方法不僅可以形象化理解相位超前/落后關(guān)系，同時(shí)該形象化方法還可以降低波函數(shù)求解過程中波傳播方向的分類要求(例2有涉及)，因此屬于簡(jiǎn)單、實(shí)用、形象化方法.在平面簡(jiǎn)諧波波函數(shù)的學(xué)習(xí)過程中，涉及的題目類型多樣，可在不同情形下使用該方法.

2 例證

【例1】一平面簡(jiǎn)諧波以速度u=20 m/s沿x軸正向直線傳播,如圖2所示，波長為10 m，已知A點(diǎn)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程為

yA=3×10-2cos(4πt)

(5)

y,t單位分別為m,s. 若以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，表達(dá)出該波的波函數(shù).

圖2 平面簡(jiǎn)諧波傳播示意圖

分析解答：按照參考書常見的求解過程，波向右傳播，A點(diǎn)與B(坐標(biāo)原點(diǎn))點(diǎn)相比相位落后，計(jì)算B點(diǎn)相位超前A點(diǎn)

(6)

得到B點(diǎn)的振動(dòng)方程為

y=3×10-2cos(4πt+π)

(7)

此方程即為參考點(diǎn)(原點(diǎn))的振動(dòng)方程. 依據(jù)該波沿x軸正向傳播，將任意點(diǎn)P坐標(biāo)帶入相應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)方程

(8)

便得到任意點(diǎn)的振動(dòng)方程即為該平面簡(jiǎn)諧波波函數(shù).

上述求解過程的思路為先求出原點(diǎn)(參考點(diǎn))B的振動(dòng)方程，結(jié)合波傳播方向，將任意點(diǎn)坐標(biāo)x帶入標(biāo)準(zhǔn)方程，即得到波函數(shù)方程.

若采用前述介紹的“相位河上下游”理解法，經(jīng)判斷，任意點(diǎn)P位于“相位河”中已知點(diǎn)A的“下游”，P點(diǎn)振動(dòng)與已知點(diǎn)A相位差為

(9)

依據(jù)“下游點(diǎn)”減去相位差，將已知A點(diǎn)振動(dòng)方程式(5)相位部分減去式(9)，即可得到任意點(diǎn)P的振動(dòng)方程

(10)

(11)

即為任意點(diǎn)波函數(shù).利用該方法求解過程較為簡(jiǎn)單.

“相位河上下游”理解法在求解含反射情形下反射波函數(shù)時(shí)，更為方便.

【例2】如圖3所示，一列波以波速u沿x軸正向傳播，已知原點(diǎn)O振動(dòng)方程為

y=Acos(ωt+φ)

(12)

距離原點(diǎn)L處有一墻面(反射面M)，求反射波在P點(diǎn)的波函數(shù)(墻面反射時(shí)，無能量損失，但存在半波損失).

圖3 平面簡(jiǎn)諧波入射和反射傳播示意圖

分析解答：按照參考書的常見求解流程，考慮入射波向右傳播，根據(jù)原點(diǎn)O的振動(dòng)方程式(12)，入射波傳播方向上任意點(diǎn)P的振動(dòng)方程為

(13)

該波繼續(xù)向右傳播到M點(diǎn)，將M點(diǎn)坐標(biāo)代入，得到入射波M點(diǎn)的振動(dòng)方程為

(14)

波在M點(diǎn)反射后由于存在半波損失，因此反射波M點(diǎn)的振動(dòng)方程為

(15)

之后該波向左傳播.

(16)

化簡(jiǎn)得到其振動(dòng)波函數(shù)為

(17)

考慮到P點(diǎn)的任意性，式(17)即為反射波的波函數(shù).

若按本文提出的“相位河上下游”理解法：不論傳播方向向左或是向右，反射波中P點(diǎn)的相位與已知點(diǎn)(參考點(diǎn))O相比位于“相位河下游”，因此與參考點(diǎn)O的振動(dòng)相比，其相位落后；按照總共傳播距離(“相位河”相位演變)來計(jì)算(下游方向)相位落后.從O點(diǎn)傳播到M點(diǎn)，再反射至P點(diǎn)，共計(jì)傳播距離為(2L-x), 考慮到中間反射一次，因此具有附加相位差π，反射波到達(dá)P點(diǎn)后，P點(diǎn)最終的振動(dòng)函數(shù)為

(18)

式(18)即為P點(diǎn)的反射波函數(shù).

因此，采用該理解方式求解此類習(xí)題時(shí)，過程較為簡(jiǎn)單便捷，且因反射引起的傳播方向改變時(shí)也可以簡(jiǎn)單處理.

3 結(jié)束語

“相位河上下游”法是筆者教學(xué)實(shí)踐中提出的一種處理簡(jiǎn)諧波問題的教學(xué)方法，它可以形象化理解波傳播中的相位超前和落后關(guān)系，且在等效求解過程中對(duì)波傳播方向分類要求低，求解過程中可忽略不同波傳播方向的區(qū)別或傳播方向的改變.在面對(duì)復(fù)雜問題(如反射波)時(shí)，弱化了波傳播方向在求解波函數(shù)過程中的影響，將傳播方向這一影響因素與相位的超前與落后歸結(jié)在一起，可將理解平面簡(jiǎn)諧波波函數(shù)的求解過程變得形象化和簡(jiǎn)單化.