帶余數除法定理的應用

(成都理工大學 四川 成都 610059)

一、引言

帯余數除法定理是初等數論的一個重要組成部分，其不僅與輾轉相除法有關，還與同余、不定方程等知識有著千絲萬縷的聯(lián)系。當余數為0時是整除，當整數為多項式時，就轉換成為多項式帯余數除法定理。帯余數除法定理貫穿于整個數學的學習階段，可以解決一些課本上的數學問題，比如求數列通項公式，求最大公約數等，同時也可以解決生活中所遇到的一些數學問題，比如購物中怎樣最劃算等。本文以求多邊形邊數問題以及角度和購物最優(yōu)化問題為例來研究其在生活中的應用。

二、帯余數除法定理及其推廣

帯余數除法定理：若a,b是兩個整數，且b>0，則存在兩個整數q及r，使得a=qb+r(0≤r

從定理中，我們可以發(fā)現(xiàn)，對于任意一個整數a，以及正整數b而言,a除以b所得到的余數，只能為0,1,2,3,…,b-2,b-1.這一列數中的一個，由此不難從定理中推廣出一些結論：

推論1:兩個整數a,d,被同一個正整數b除所得的余數相同，則整數a,b的差同樣可以被正整數b整除。

證:可設，對于任意不相等的整數q1,q2有：

a=q1b+r(0≤r

a-d=q1b-q2b=(q1-q2)b

∵q1≠q2，且都為整數，則可得到b|(a-d)。

推論2:設a,b是兩個整數，且b<0，則存在不等整數q1,q2及r1,r2，使得a=qb+r成立，即：a=q1b+r1b

農田水利現(xiàn)代化是我國農業(yè)現(xiàn)代化發(fā)展的重要手段之一。開展農田水利現(xiàn)代化建設，可以滿足人民提高生活水平的需要。但在農田水利現(xiàn)代化建設過程中，不可避免地存在一些機構或個人拿著國家賦予的權利做違規(guī)事情的現(xiàn)象。發(fā)展農田水利現(xiàn)代化應該堅持原則，嚴格按照相關標準對建設區(qū)域進行實地考察。要統(tǒng)籌處理建設事務，選擇適宜的農作物以及科學調配水資源分配供給。

a=q2b+r2b

則必定有|r1|+|r2|=|b| |q1-q2|=1。

證:a=bq+r=bq+b+r-b=b(q+1)+(r-b)，其中b

0

則有|r|+|r-b|=b|q-(q+1)|=1

三、帯余數除法定理在初等數學中的應用

在中學數學中，對多邊形的學習當中，經常會遇到一種求多邊形邊數的以及角度數的問題，這種問題其實可以用帯余數除法來解決。

例1:若多邊形內角和與其中一個外角的總和為780°，求多邊形邊數和內角和

解：在通常情況下，根據學生已有的知識基礎，可以利用不等式來解決此問題。

因為外角范圍為0°～180°，則內角和范圍在600°～780°

則可設多邊形邊數為n，有600°<(n-2)180°<780°

又∵n∈N*∴n=6即該多邊形為六邊形，且內角和為720°

若利用帯余數除法，可以更好的解決這道題，具體為：

設該多邊形邊數為n，該外角為m°，則有：

(n-2)180°+m°=720°變形得：780°÷180°=(n-2)…m°

又∵780°÷180°=4……60°可得n=6，且內角和為720°

由上述兩種方法可知，帯余數除法解決此類問題比用不等式要計算簡便些，只要用180°除題中所給的度數和，商就是多邊形邊數n-2，余數就是該外角的度數。

生活中，我們在逛商場的時候會遇到商場進行促銷活動，會有滿多少即送多少優(yōu)惠劵的問題，那么怎樣購買才最劃算呢？

例2:某公司計劃在勞動節(jié)給每位員工發(fā)放一個保溫杯，公司共有108位員工公司采購員到附近的三家批發(fā)商城考察，符合公司定位的保溫杯每個199元，三家批發(fā)商城的優(yōu)惠如下：A商城每單購買50各以上的優(yōu)惠25%;B商城買10個送3個，但不足10個以原價計算；C商城買4個送1個，但不滿4個的仍按原價計算，若你是公司采購員，你會如何購買花錢最少？為多少？

解：對A商城：優(yōu)惠25%即只賣原價的75%，費用為：

199×108×75%=16119元

對B商城：買13個只花10個的錢，則看108個中又多少個13，即

108=8×13+4此時購買8×10=80個，商城再送8×3=24個，剩下4個用原購買，總費用為：

199×(8×10+4)=16716元

對C商城：相當于買五個只花4個的錢，看108當中有多少個5，即108=21×5+3，這是購買21×4=84個，商城再送21個，余下3個按照原價購買，則總費用為：199×(21×4+3)=17313元。

對三個商城總費用進行對比可以得到結果，在A商城花費最少，A商城花費為16119元。

四、總結

通過學習帯余數除法定理的各類性質，然后將其進行一定的推廣，將帯余數除法定理的應用范圍不斷擴大，豐富了數學世界，更是解決生活中遇到的一些問題，進一步證實了數學來源于生活且服務于生活。