應(yīng)對變換功在平時(shí)

徐怡鈞

一、通過折疊變換考查數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的運(yùn)用

例1 將圖1所示的四邊形紙片ABCD的邊AD向邊AB折過去（其中AD

【解析】關(guān)于圖形的折疊問題，我們只需要將變換后的圖形還原，同時(shí)找到折痕并進(jìn)行標(biāo)識，利用軸對稱的性質(zhì)找出相等的量即可。

將圖3還原后得到圖4，由題意，AC和BE是折疊時(shí)的折痕。第一次對折可以發(fā)現(xiàn)，AC是∠DAB的平分線，即∠DAC=∠BAC;第二次對折可以發(fā)現(xiàn)BA=BC，因此∠BAC=∠BCA，從而∠DAC=∠BCA，從而得到AD∥BC。由于AD

【點(diǎn)評】折疊時(shí)，重合的量相等，即對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等。這往往是解決此類問題的通常思路。

二、通過旋轉(zhuǎn)變換考查坐標(biāo)系中圖形位置的刻畫

例2 矩形AOCD繞頂點(diǎn)A（0，5）逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到如圖5所示的位置時(shí)，邊BE交邊CD于M，且ME=2，CM=4。

（1）求AD的長。

（2）求經(jīng)過A、B、D三點(diǎn)的拋物線解析式。

【解析】本題是平面直角坐標(biāo)系背景下的圖形旋轉(zhuǎn)，可根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)及坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)與線段長度之間的關(guān)系進(jìn)行探索。（1）如圖6，連接AM，設(shè)OC=AD=m，由題意知，AB=CD=OA=5，BE=OC=m，故BM=m-2，DM=1。由AB2+BM2=AD2+DM2，得52+（m-2）2=m2+12，求得m=7，即AD=7。（2）如圖7，過點(diǎn)B作GH∥x軸，分別交OA、CD于G、H，由（1）可知AB=BM=5，易證△ABG≌△BMH。設(shè)G（0，n），則HC=OG=n，所以GB=MH=4-n，BH=AG=5-n，因?yàn)镚H=GB+BH=9-2n，GH=OC=7，所以n=1，所以B（3，1），又因?yàn)镈（7，5），A（0，5），從而求得過A、B、D三點(diǎn)的拋物線解析式為y=[13x2]-[73x]+5。

【點(diǎn)評】許多幾何計(jì)算問題常?？梢酝ㄟ^設(shè)未知數(shù)，再根據(jù)幾何圖形中存在的某種特定數(shù)量關(guān)系建立方程來解決。比如，利用全等、相似、勾股定理等都可以建立方程，從而解決問題。

三、通過運(yùn)動問題考查對圖形變換本質(zhì)的理解和運(yùn)用

例3 如圖8，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，點(diǎn)C是反比例函數(shù)y=[kx]的圖像上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)C分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為A、B，連接AB。

（1）若△ABC的周長為4+[26]，AB=4，求k的值。

（2）連接OC，若點(diǎn)C在（1）中的雙曲線上運(yùn)動，線段OC是否存在最小值？若存在，請求出點(diǎn)C的坐標(biāo);若不存在，請說明理由。

【解析】以函數(shù)為背景的運(yùn)動型問題，需要充分挖掘圖形的幾何性質(zhì)，將基本數(shù)量關(guān)系用方程的形式表達(dá)出來。（1）設(shè)CA=b，CB=a，由a+b=[26]，a2+b2=16，可得ab=4，因?yàn)閳D像位于第二象限，故k=-4。（2）OC存在最小值。不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)C為雙曲線y=[-4x]與直線y=-x的交點(diǎn)時(shí)，OC最小，可求得C1（-2，2）、C2（2，-2）。

【點(diǎn)評】（1）利用k的幾何意義來求解，這是最直接、最有效的方法。具體解答過程中利用完全平方公式的一個基本變式ab=[a+b2-a2+b22]可以快速地解決問題。（2）直截了當(dāng)?shù)乜疾榱诵D(zhuǎn)變換（雙曲線的中心對稱性）和軸對稱變換（雙曲線的軸對稱性）。同時(shí)，這也是一個數(shù)形結(jié)合的典型案例——隨著點(diǎn)C在雙曲線上運(yùn)動，OC長的變化規(guī)律究竟如何？同學(xué)們可以試著用所學(xué)過的代數(shù)知識，來說明當(dāng)點(diǎn)C在直線y=-x上時(shí)，OC取得最小值的理由。

在某種意義上，圖形的變換其實(shí)是數(shù)學(xué)基本模型和數(shù)學(xué)思想方法的集中營。抓住三種基本變換的本質(zhì)，把尋找對應(yīng)相等的幾何元素作為分析題目的“規(guī)定動作”，平時(shí)做好對常用數(shù)學(xué)模型和經(jīng)典問題背景的積累與歸類工作，對你解決圖形變換類問題會大有裨益。

（作者單位：江蘇省無錫市蠡園中學(xué)）