三重積分計算中投影坐標(biāo)面的選擇研究

摘 要：計算三重積分時投影面的選擇以及投影后坐標(biāo)系的確定非常重要，這關(guān)乎后面運(yùn)算的正確或錯誤。本文對三重積分計算中投影坐標(biāo)面選擇依據(jù)做了全面研究：明確選擇投影面的依據(jù)以及具體投影后的坐標(biāo)系差異選擇，幫助學(xué)生突破三重積分中坐標(biāo)系選擇、投影面選擇這個知識難點(diǎn)，明晰解題思路，減少計算錯誤。

關(guān)鍵詞：三重積分；投影坐標(biāo)面；坐標(biāo)系

三重積分的投影法計算都要求投影到坐標(biāo)面上去完成二重積分的計算，所以具體題目投影到哪個坐標(biāo)面去計算就顯得尤為重要。如果投影面選擇不當(dāng)，必將導(dǎo)致后面運(yùn)算的困難或錯誤。因此教學(xué)中要重視三重積分計算中投影面的選擇依據(jù)以及具體投影后的坐標(biāo)系差異選擇，通過例題分析示范，讓學(xué)生明確正確選擇的重要性。

下面首先明確三重積分選擇坐標(biāo)面以及坐標(biāo)系求解的依據(jù)；接著通過舉例，幫助學(xué)生選擇投影坐標(biāo)面以及投影后的坐標(biāo)系，明晰解題思路，簡化計算。

一、選擇合適的坐標(biāo)系是計算三重積分的關(guān)鍵：

（1）若W在xoy面上的投影是x型或y型區(qū)域，說明積分限比較簡單，可以用直角坐標(biāo)計算。

（2）若W是圓柱形、圓錐形、球形或它們的組合，被積函數(shù)中的x、y以x2+y2或x/y的形式出現(xiàn)，用柱面坐標(biāo)計算比較簡單。比如，球面與圓柱面，球面與旋轉(zhuǎn)拋物面，但不絕對。

（3）若W是球形、球形的一部分、球面與錐面圍成的部分，被積函數(shù)中的x、y、z以x2+y2+z2的形式出現(xiàn)，則適合用球面坐標(biāo)計算。比如，球面與圓錐面，但不絕對。

二、三重積分投影坐標(biāo)面選擇的問題：

我們發(fā)現(xiàn)：關(guān)于三重積分投影到哪個坐標(biāo)面的問題與立體側(cè)面母線平行于哪個軸密切相關(guān)。多數(shù)情況下，我們會投影到xoy坐標(biāo)面，但是有時為了計算簡便，可將立體Ω 投影到 yoz 面或 zox 面上，使三重積分化成其他順序的三次積分。

1、當(dāng)立體側(cè)面母線平行于z軸，在xoy面上的投影區(qū)域為Dxy，則計算先z后xy，即是投影到xoy面上計算。

2、當(dāng)立體側(cè)面的母線平行于y軸，它在xz面上的投影區(qū)域為Dxz，則可選擇先對 y 積分，然后到Dxz上作二重積分，即是投影到xoz面上計算。

3、側(cè)面的母線平行于x軸，它在yz面上的投影區(qū)域為Dyz，則可選擇先對x 積分，然后到Dyz上作二重積分。

例1.計算： 其中Ω：x2+y2+z2 ? 1，且z?0.（圖形見下面左邊圖）

分析：因為此題符合選擇截面法的兩個條件： ；且截面為圓、橢圓、三角形、正方形等，面積易求。所以此題采用截面法完成相較于投影法計算更為簡單。

解：當(dāng)0?z?1時，過（0，0，z）作平行于xOy面的平面，截得立體W的截面為圓。

故Dz的面積為：

例2.計算：

（圖形見右圖）

分析：若先對 z 積分，即投影到xoy坐標(biāo)面去完成。由于沿z 軸方向的下方曲面和上方曲面均由兩片曲面組成，且W在xy面上投影區(qū)域相對復(fù)雜，積分較繁。

改為先對 y 積分，即投影到xoz坐標(biāo)面去完成。因為立體側(cè)面的母線平行于y 軸。投影后利用極坐標(biāo)計算這個二重積分。

解：投影到xoz坐標(biāo)面去完成。求W在xz面上的投影區(qū)域Dxz。 消去 y，

綜上，我們看到：

1、有些題目有多種方法可以選擇，選擇哪一類計算方法，需要根據(jù)積分區(qū)域以及被積函數(shù)的特征來對比決定方法的利弊。

2、不管利用哪一種坐標(biāo)系來計算“三重積分”，一定要正確選擇投影坐標(biāo)面完成不同坐標(biāo)系下的二次積分。

在實際教學(xué)過程中，我們可以通過更多的實例讓學(xué)生探索：如何通過適當(dāng)選擇坐標(biāo)系以及投影坐標(biāo)面來求解“三重積分”以達(dá)到簡化運(yùn)算的目的。

參考文獻(xiàn)：

[1] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室主編.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，1992.

[2] 羅釗，韓天勇，王偉鈞.高等數(shù)學(xué)（下冊）[M].北京：科學(xué)出版社，2010.

作者簡介：

吳文前（1968—），女，成都大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院副教授，碩士。研究方向：數(shù)學(xué)教育

（作者單位：成都大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院）