非線性雙端固支梯形梁壓電俘能器結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)與特性分析

高世橋 閆 麗 金 磊 張希洋 張廣義

(1.北京理工大學(xué)爆炸科學(xué)與技術(shù)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 北京 100081;2.中國科學(xué)院寧波材料技術(shù)與工程研究所， 寧波 315201)

0 引言

隨著微機(jī)電技術(shù)的發(fā)展，微小型、低功耗電子元器件的供電問題得到了廣泛關(guān)注。振動(dòng)能廣泛存在于自然環(huán)境中，具有綠色、無污染、能量密度高等優(yōu)點(diǎn)，收集振動(dòng)能并為低功耗電子元器件供能成為研究熱點(diǎn)[1-4]。壓電俘能器作為一種振動(dòng)能采集器，具有結(jié)構(gòu)簡單、無污染、無電磁干擾、易于小型化等優(yōu)點(diǎn)，其產(chǎn)生的能量可以滿足低功耗電子元器件的需求[5-7]。ROUNDY[8]將末端帶有質(zhì)量塊的單懸臂梁式壓電俘能器應(yīng)用在無線傳感網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)中。自然環(huán)境中的振動(dòng)源多為100 Hz以下的低頻振動(dòng)源[9-10]，而單懸臂梁式壓電俘能器固有頻率大多在100 Hz以上[11-12]，難以達(dá)到其諧振頻率點(diǎn)，且其帶寬窄，輸出性能較差。因此，降低壓電俘能器的固有頻率、拓寬壓電俘能器的帶寬成為研究重點(diǎn)。ZHANG等[13]設(shè)計(jì)了三角形、梯形、矩形3種形狀的懸臂梁結(jié)構(gòu)，并進(jìn)行了理論分析與試驗(yàn)驗(yàn)證。譚楊康等[14]對(duì)梯形懸臂梁進(jìn)行了研究,并與矩形懸臂梁作了對(duì)比，結(jié)果表明，梯形壓電片上應(yīng)力分布更加均勻。改變懸臂梁形狀可以在一定程度上降低固有頻率、增大開路電壓、提高輸出功率。另外，為拓寬俘能器帶寬，許多學(xué)者將非線性因素引入壓電俘能器中[15-16]。利用磁鐵的非接觸磁力引入非線性的方式，可以有效拓寬俘能器帶寬，改善輸出性能。針對(duì)雙端固支式壓電俘能器，筆者提出一種雙端固支矩形梁壓電俘能器[17]，并將其輸出性能與雙端固支梯形梁壓電俘能器進(jìn)行對(duì)比分析。

為滿足壓電俘能器低頻、寬帶、高效的要求[18-19]，本文提出一種非線性雙端固支梯形梁壓電俘能器，通過引入非接觸磁力，以降低俘能器諧振頻率，拓寬帶寬，并提高輸出功率。

1 結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)與理論分析

線性雙端固支梯形梁壓電俘能器結(jié)構(gòu)如圖1所示，由梯形壓電片、梯形基底梁和位于中間的作為質(zhì)量塊使用的磁鐵(質(zhì)量塊磁鐵)組成，質(zhì)量塊磁鐵兩側(cè)對(duì)稱布置兩片梯形壓電片。從應(yīng)力云圖(圖2)看出，應(yīng)力主要集中在固支端和質(zhì)量塊磁鐵兩側(cè)。質(zhì)量塊磁鐵可以降低諧振頻率，提高振幅并增大壓電片應(yīng)變。

圖1 線性雙端固支梯形梁壓電俘能器結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Linear double-end fixed trapezoidal beam PEH

壓電片上下兩表面鋪設(shè)電極，且使質(zhì)量塊磁鐵一側(cè)兩梯形壓電片的下表面電極相連，上下表面電極可通過導(dǎo)線與負(fù)載相連，形成回路并對(duì)外供能。圖3是振型簡圖，質(zhì)量塊磁鐵一側(cè)兩壓電片受力相反，將兩壓電片串聯(lián)可增加輸出電壓并提高輸出功率。在質(zhì)量塊磁鐵的上下兩側(cè)對(duì)稱布置相同的固定磁鐵，由此引入非接觸磁力，利用磁鐵間的引力改變俘能器振動(dòng)幅值，進(jìn)而改變輸出性能，非線性雙端固支梯形梁壓電俘能器結(jié)構(gòu)如圖4所示。

圖2 應(yīng)力云圖Fig.2 Stress nephogram

圖3 振型簡圖Fig.3 Mode of vibration diagram

圖4 非線性雙端固支梯形梁壓電俘能器結(jié)構(gòu)示意圖Fig.4 Nonlinear double-end fixed trapezoidal beam PEH

圖5 壓電俘能器等效電路圖Fig.5 Equivalent circuit of PEH

線性雙端固支梯形梁壓電俘能器由機(jī)械振動(dòng)單元和壓電俘能單元組成，兩部分通過傳遞因子相互作用。壓電俘能器可等效為電流源和電容并聯(lián)[20]，如圖5所示。

壓電耦合狀態(tài)方程[21]為

(1)

(2)

式中me——等效質(zhì)量

ce——等效阻尼系數(shù)

k——梯形梁等效剛度

t——時(shí)間

R——外接負(fù)載電阻

V(t)——負(fù)載兩端電壓

a(t)——外界激勵(lì)加速度

z(t)——俘能器位移

θ——機(jī)械振動(dòng)單元與壓電俘能單元間的傳遞因子

C——雙端固支梯形梁質(zhì)量塊磁鐵一側(cè)兩壓電片串聯(lián)電容

βp——壓電材料介電常數(shù)

ε——梯形梁截面變化率

δ——壓電片厚度

L——質(zhì)量塊一側(cè)基底梁總長度

a0——基底梁寬度

磁鐵間磁力[22]為

(3)

式中μ0——磁導(dǎo)率

M1、M0——兩磁鐵磁化強(qiáng)度

在整個(gè)高速公路的養(yǎng)護(hù)和管理的過程中，成本的管理是貫穿在整個(gè)公路養(yǎng)護(hù)過程中的，根據(jù)當(dāng)?shù)氐膶?shí)際情況選擇合適的養(yǎng)護(hù)計(jì)劃、進(jìn)行運(yùn)行和養(yǎng)護(hù)成本的預(yù)測(cè)、監(jiān)督成本的使用情況、工作人員根據(jù)計(jì)劃的實(shí)施情況提出相關(guān)的改進(jìn)建議等都是工作人員需要重點(diǎn)考慮的。我國的高速公路養(yǎng)護(hù)和管理歷史并不長，因此需要向國外引進(jìn)相關(guān)的經(jīng)驗(yàn)。國外在這方面的一個(gè)非常重要的發(fā)展經(jīng)驗(yàn)就是實(shí)現(xiàn)成本管理的制度化和規(guī)范化。

V1、V0——兩磁鐵體積

d——兩磁鐵之間的靜態(tài)距離

在外界激勵(lì)下，當(dāng)俘能器質(zhì)量塊磁鐵的某瞬時(shí)振幅為z(t)時(shí)，質(zhì)量塊磁鐵與上、下固定磁鐵之間的作用力分別為Fm1、Fm2，則質(zhì)量塊磁鐵受到的非線性磁力為

(4)

式中Mm、Mt、Mb——質(zhì)量塊磁鐵和上、下固定磁鐵磁化強(qiáng)度

Vm、Vt、Vb——質(zhì)量塊磁鐵和上、下固定磁鐵體積

為避免梁的塑性變形，應(yīng)使質(zhì)量塊磁鐵受到的非線性磁力小于梁的彈性恢復(fù)力。

當(dāng)俘能器上下兩固定磁鐵相同，且與質(zhì)量塊磁鐵的靜態(tài)距離分別相等時(shí)，將式(4)在俘能器的靜態(tài)位置處泰勒展開并忽略三階以上的高階項(xiàng)，得到

Fm(z(t))=k1z+k3z3

(5)

(6)

(7)

式中k1——非接觸磁力引起的線性剛度

則非線性雙端固支梯形梁壓電俘能器耦合狀態(tài)方程為

(8)

2 仿真分析

2.1 線性和非線性壓電俘能器數(shù)值仿真

在建立耦合狀態(tài)方程的基礎(chǔ)上，利用Matlab/Simulink對(duì)線性和非線性雙端固支梯形梁壓電俘能器進(jìn)行數(shù)值仿真，建立的線性仿真模型(圖6)和引入非接觸磁力后的非線性仿真模型(圖7)的相關(guān)設(shè)計(jì)參數(shù)如表1所示。通過數(shù)值仿真對(duì)比線性及非線性兩種情況下俘能器的輸出性能，分析非接觸磁力對(duì)俘能器輸出性能的影響。

對(duì)線性及非線性兩種情況進(jìn)行Matlab/Simulink仿真分析，輸出功率隨頻率變化曲線如圖8所示。線性壓電俘能器諧振頻率為93 Hz，諧振時(shí)輸出功率為0.175 mW；非線性壓電俘能器諧振頻率為82 Hz，諧振時(shí)輸出功率為0.187 mW。引入的非接觸磁力使壓電俘能器等效剛度降低，諧振頻率比線性時(shí)小，更易在低頻環(huán)境中達(dá)到諧振狀態(tài)。非線性壓電俘能器諧振時(shí)輸出功率比線性提高了6.8%，輸出性能明顯優(yōu)于線性壓電俘能器。

2.2 非線性壓電俘能器輸出性能影響參數(shù)

分析固定磁鐵與質(zhì)量塊磁鐵間距d、外接負(fù)載電阻R、外界激勵(lì)加速度a3個(gè)參數(shù)對(duì)俘能器輸出性能的影響。

圖6 線性雙端固支梯形梁壓電俘能器仿真模型Fig.6 Simulation model of linear double-end fixed trapezoidal beam PEH

外界激勵(lì)加速度為2 m/s2，固定磁鐵與質(zhì)量塊磁鐵間距d為18、15、12 mm時(shí)，輸出功率隨頻率變化曲線如圖9所示。磁鐵間距18 mm時(shí)，諧振頻率為83 Hz，最大輸出功率為0.186 mW；磁鐵間距15 mm時(shí)，諧振頻率為82 Hz，最大輸出功率為0.178 mW；磁鐵間距12 mm時(shí)，諧振頻率為82 Hz，最大輸出功率為0.173 mW。隨著磁鐵間距的減小，俘能器諧振頻率略有下降，最大輸出功率降低。

圖7 非線性雙端固支梯形梁壓電俘能器仿真模型Fig.7 Simulation model of nonlinear double-end fixed trapezoidal beam PEH

參數(shù)數(shù)值介電常數(shù)βp/(F·m-1)1.3×10-8等效電容C/F5.148×10-9傳遞因子θ/(N·V-1)0.002466彈性模量Yp/GPa66等效阻尼系數(shù)ce/(N·s·m-1)0.3等效質(zhì)量me/kg0.02線性時(shí)等效剛度k/(N·m-1)6503.1剩磁(釹鐵硼)Br/Gs4200磁導(dǎo)率μ0/(H·m-1)4π×10-7

圖8 線性及非線性壓電俘能器輸出性能仿真對(duì)比Fig.8 Output performance comparison between linear and nonlinear PEH

圖9 不同磁鐵間距時(shí)輸出功率隨頻率的變化曲線Fig.9 Variation curves of output power with frequency at different spaces between magnets

在外界激勵(lì)加速度為4 m/s2、磁鐵間距15 mm條件下，外接負(fù)載電阻R對(duì)俘能器輸出性能的影響如圖10所示。在初始階段，隨著負(fù)載電阻的增加，輸出功率快速增加，直至輸出功率達(dá)到最大值；隨后輸出功率隨負(fù)載的增加緩慢下降?？梢钥闯觯罴沿?fù)載在200 kΩ左右。

圖10 輸出功率隨負(fù)載電阻的變化曲線Fig.10 Variation curve of output power with load

圖11 不同加速度時(shí)輸出功率隨頻率的變化曲線Fig.11 Variation curves of output power with frequency at different excitation accelerations

在固定磁鐵與質(zhì)量塊磁鐵間距d為15 mm情況下，俘能器輸出功率隨頻率變化曲線如圖11所示，外界激勵(lì)加速度為2、3、4 m/s2時(shí)，最大輸出功率分別為0.185、0.412、0.711 mW。隨著加速度的增大，最大輸出功率顯著增加，俘能帶寬增大，諧振頻率降低。不同外界激勵(lì)加速度下輸出功率隨電阻變化曲線如圖12所示。不同加速度下，功率隨電阻的變化趨勢(shì)相同，同一電阻的輸出功率隨加速度的增大而增大，最佳負(fù)載下的輸出功率隨加速度增大而增大。

圖12 不同加速度時(shí)輸出功率隨電阻的變化曲線Fig.12 Variation curves of output power with load at different excitation accelerations

圖13 壓電俘能器樣機(jī)Fig.13 Prototype of PEH

圖14 試驗(yàn)測(cè)試系統(tǒng)Fig.14 Test measuring system1.信號(hào)發(fā)生器 2.功率放大器 3.示波器 4.激振臺(tái) 5.動(dòng)態(tài)信號(hào)分析儀

3 試驗(yàn)與結(jié)果分析

針對(duì)線性及非線性雙端固支梯形梁壓電俘能器設(shè)計(jì)了樣機(jī)并搭建了試驗(yàn)測(cè)試系統(tǒng)，俘能器樣機(jī)及試驗(yàn)測(cè)試系統(tǒng)分別如圖13、14所示。壓電俘能器結(jié)構(gòu)模型使用PZT-5H作為壓電材料，使用鈹青銅作為基底梁材料，線性時(shí)使用強(qiáng)力磁鐵作為質(zhì)量塊磁鐵，非線性時(shí)在質(zhì)量塊磁鐵上下兩側(cè)布置相同的磁鐵，使質(zhì)量塊磁鐵與上下兩相同磁鐵之間產(chǎn)生非接觸磁力，磁鐵均為圓柱型強(qiáng)力磁鐵。結(jié)構(gòu)模型參數(shù)如表2所示。

試驗(yàn)測(cè)試系統(tǒng)中，信號(hào)發(fā)生器生成簡諧信號(hào)，簡諧信號(hào)由功率放大器放大后傳遞給激振臺(tái)，激振臺(tái)帶動(dòng)壓電俘能器振動(dòng)，動(dòng)態(tài)信號(hào)分析儀和示波器分別顯示外界激勵(lì)加速度信號(hào)及壓電俘能器輸出電壓。

3.1 線性與非線性壓電俘能器性能對(duì)比

在激勵(lì)加速度為2 m/s2時(shí)，線性及非線性雙端固支梯形梁壓電俘能器的開路電壓隨頻率變化曲線如圖15所示，輸出功率隨頻率的變化曲線如圖16所示。此時(shí)非線性壓電俘能器中固定磁鐵與質(zhì)量塊磁鐵間距為18 mm，固定磁鐵與質(zhì)量塊磁鐵間的作用力為引力。測(cè)量結(jié)果顯示，線性壓電俘能器諧振頻率為90.8 Hz，最大峰峰值電壓為34.8 V，帶寬為2.5 Hz；非線性壓電俘能器諧振頻率為81.8 Hz，最大峰峰值電壓為33.6 V，帶寬為3 Hz。

表2 結(jié)構(gòu)模型參數(shù)Tab.2 Structural model parameters mm

圖15 線性及非線性時(shí)開路電壓隨頻率的變化曲線Fig.15 Variation curves of voltage with frequency

圖16 線性及非線性時(shí)輸出功率隨頻率的變化曲線Fig.16 Variation curves of output power with frequency

非線性壓電俘能器諧振頻率降低了9 Hz，帶寬增加了0.5 Hz，帶寬拓寬了20%，輸出功率提高了7.5%，與數(shù)值仿真結(jié)果一致。

3.2 引力作用下非線性壓電俘能器性能測(cè)試

通過試驗(yàn)測(cè)試研究引力作用下固定磁鐵與質(zhì)量塊磁鐵間距d、外接負(fù)載電阻R、外界激勵(lì)加速度a3個(gè)參數(shù)對(duì)非線性雙端固支梯形梁壓電俘能器輸出性能的影響。

不同固定磁鐵與質(zhì)量塊磁鐵間距時(shí)非線性壓電俘能器的輸出性能如圖17、18所示。當(dāng)間距d減小時(shí)，非線性壓電俘能器諧振頻率降低，開路電壓略有增大，輸出功率下降，與數(shù)值仿真結(jié)果一致。由于磁鐵間距的減小，非線性壓電俘能器等效剛度降低，諧振頻率下降。磁鐵間距是影響非線性壓電俘能器輸出性能的重要參數(shù)，在實(shí)際應(yīng)用過程中需要綜合考慮諧振頻率與輸出功率，使俘能效果達(dá)到最優(yōu)。

圖17 不同磁鐵間距時(shí)開路電壓隨頻率的變化曲線Fig.17 Variation curves of voltage with frequency at different spaces between magnets

圖18 不同磁鐵間距時(shí)輸出功率隨頻率的變化曲線Fig.18 Variation curves of output power with frequency at different spaces between magnets

保持外界激勵(lì)加速度a為4 m/s2、磁鐵間距d為15 mm，輸出功率隨負(fù)載電阻的變化曲線如圖19所示。由圖19可知，輸出功率先隨負(fù)載電阻的增大快速增加，當(dāng)電阻為220 kΩ時(shí)輸出功率最大，隨后輸出功率隨負(fù)載電阻的增大而緩慢下降，變化趨勢(shì)與仿真結(jié)果相符合。

圖19 輸出功率隨負(fù)載電阻的變化曲線Fig.19 Variation curve of output power with load

圖20 不同加速度時(shí)輸出電壓隨頻率的變化曲線Fig.20 Variation curves of voltage with frequency at different excitation accelerations

圖21 不同加速度時(shí)輸出功率隨頻率的變化曲線Fig.21 Variation curves of output power with frequency at different excitation accelerations

外界激勵(lì)加速度分別為2、3、4 m/s23種情況下非線性壓電俘能器的輸出性能如圖20、21所示。由圖20、21可知，隨著外界激勵(lì)加速度的增大，非線性壓電俘能器諧振頻率降低，開路電壓、輸出功率都顯著提高，非線性效應(yīng)隨加速度的增大而增強(qiáng)。

不同激勵(lì)加速度下輸出電壓隨電阻的變化曲線如圖22所示。由圖22可知，隨著外接負(fù)載電阻逐漸增大，負(fù)載兩端電壓增大。不同加速度時(shí)，外接負(fù)載輸出功率隨負(fù)載電阻變化曲線如圖23所示，當(dāng)加速度2 m/s2時(shí)，最佳負(fù)載電阻為190 kΩ，對(duì)應(yīng)的輸出功率為0.263 mW；當(dāng)加速度3 m/s2時(shí)，最佳負(fù)載電阻為200 kΩ，對(duì)應(yīng)輸出功率為0.532 mW；加速度4 m/s2時(shí)，最佳負(fù)載電阻為220 kΩ，對(duì)應(yīng)的輸出功率為0.927 mW。由此可以看出，最佳負(fù)載電阻隨加速度的增大略有增大，最佳負(fù)載電阻對(duì)應(yīng)的輸出功率有顯著提高。

圖22 不同加速度時(shí)輸出電壓隨電阻的變化曲線Fig.22 Variation curves of voltage with load at different excitation accelerations

圖23 不同加速度時(shí)輸出功率隨電阻的變化曲線Fig.23 Variation curves of output power with load at different excitation accelerations

4 結(jié)論

(1)建立了非線性雙端固支梯形梁壓電俘能器耦合狀態(tài)方程，利用Matlab/Simulink進(jìn)行數(shù)值仿真，并試驗(yàn)測(cè)試、對(duì)比分析了線性及非線性壓電俘能器輸出性能，結(jié)果表明：非接觸磁力的引入使非線性雙端固支梯形梁諧振頻率降低了9 Hz，帶寬拓寬了20%，輸出功率提高了7.5%。

(2)研究了引力作用下固定磁鐵與質(zhì)量塊磁鐵間距、外接負(fù)載電阻、外界激勵(lì)加速度對(duì)輸出性能的影響。固定磁鐵與質(zhì)量塊磁鐵間距減小時(shí)，非線性壓電俘能器等效剛度下降，使得諧振頻率降低，更容易達(dá)到諧振狀態(tài)，同時(shí)其輸出功率有所降低；外接負(fù)載電阻變化時(shí)，存在一個(gè)使輸出功率達(dá)到最大值的最佳負(fù)載電阻；隨著外接激勵(lì)加速度的增加，非線性壓電俘能器的輸出性能得到提高。