自適應加權(quán)混合L1/L2范數(shù)匹配相減多次波壓制方法

陳習峰,薛永安,黃新武

(1.中國石油化工股份有限公司江蘇油田分公司物探研究院,江蘇南京210046;2.中國地質(zhì)大學工程技術(shù)學院,北京100083)

多次波是海洋和陸地地震勘探中面臨的突出問題,它嚴重降低了地震資料的品質(zhì),影響了地下地質(zhì)體成像的真實性和可靠性,干擾了后續(xù)的地震資料解釋,因此解決多次波的壓制問題對油氣勘探意義重大。

為了較好地壓制多次波,地球物理工作者研究了大量方法技術(shù)。WEGLEIN[1]將多次波壓制的方法分為兩類:一類是基于有效波和多次波之間動力學和運動學差異的方法,簡稱濾波方法;另一類是基于波動方程的預測相減法,簡稱波動方程預測減去法,即利用波動方程模擬實際波場或反演地震數(shù)據(jù)預測多次波,再將多次波從原始地震數(shù)據(jù)中減去的方法。陳祖?zhèn)鱗2]將多次波的壓制技術(shù)分為3類:第1類是利用一次波與多次波正常時差的差異,如共中心點疊加法、濾波法、變換樣點調(diào)序法等;第2類是多次波模型減去法,如波場外推法、表層多次波衰減法等;第3類是利用多次波的重復性和統(tǒng)計性去除多次波,此類方法利用多次波周期重復出現(xiàn)的統(tǒng)計特性,根據(jù)預測算子來消除多次波,如預測反褶積法。

目前較先進的壓制多次波方法是基于波動方程的預測相減法,根據(jù)地震數(shù)據(jù)預測多次波模型記錄,再采用自適應匹配相減方法減去多次波,達到多次波壓制的目的[3-4]。最典型的預測相減方法為與自由表面相關(guān)的多次波壓制算法,該方法適用于復雜地下結(jié)構(gòu),并且無需地下結(jié)構(gòu)的先驗信息,壓制多次波時采用了常規(guī)的最小二乘自適應匹配相減方法[5-9]。WANG[10]提出了擴展多道匹配方法,李鵬等[11-12]提出了均衡擬多道匹配相減方法,這兩種方法均對常規(guī)的匹配相減方法進行了較大改進,衰減自由表面多次波效果良好。上述預測相減法主要基于L2范數(shù)。理論上,一次波與多次波正交時,基于L2范數(shù)自適應匹配相減方法(簡稱L2范數(shù)方法)可有效地消除多次波。但一般情況下,一次波與多次波不正交,此時采用自適應匹配相減方法壓制多次波效果差,而且有可能損害有效波。為此,孫維薔等[13]提出了一種相似系數(shù)譜約束的多次波自適應匹配相減方法,并取得一定效果。

2004年,GUITTON等[14]提出了基于L1范數(shù)的多次波自適應匹配相減方法(簡稱L1范數(shù)方法),該方法在數(shù)據(jù)中存在較大異常值時也能給出穩(wěn)定解,且無須滿足有效波與多次波正交這一假設條件,因而可以利用L1范數(shù)代替L2范數(shù)建立多次波自適應匹配相減濾波器。但是基于L1范數(shù)的目標函數(shù)的一階導數(shù)不是處處連續(xù),因此不能采用高效的萊文森遞推算法求解,需采用非線性反演方法來確定最優(yōu)的匹配濾波器,這給目標函數(shù)求解帶來了困難。盡管采用迭代加權(quán)最小二乘(iterative reweighted least squares,IRLS)算法可近似求解基于L1范數(shù)的非線性問題,但求解過程較L2范數(shù)方法復雜得多,計算量顯著增加。

形成多次波的地質(zhì)條件復雜多樣,實際地震資料不僅包括自由表面相關(guān)多次波,還包括層間多次波,波場的復雜特性使其通常不完全滿足L2范數(shù)或者L1范數(shù)的假設條件,有效波與多次波的能量對比隨時間和空間變化差別大,如果單獨應用一種方法壓制多次波,可能會導致較強的多次波能量剩余或計算效率較低,甚至可能壓制部分有效信號。本文提出了一種自適應加權(quán)混合L1/L2范數(shù)多次波匹配相減方法,可以利用L1范數(shù)和L2范數(shù)方法的優(yōu)點,并避開L1范數(shù)和L2范數(shù)方法的缺點。將該方法應用于多層水平層狀模型及SEG/EAGE Pluto模型的多次波壓制,驗證了方法的有效性。

1 方法原理

L2范數(shù)方法是目前應用最廣泛的一種方法,該方法基于剩余能量最小準則,假定地震有效波具有最小能量?；贚2范數(shù)求取匹配濾波算子為f時的目標函數(shù)Q2(f)為:

(1)

式中:M是預測多次波模型;d為原始含多次波地震數(shù)據(jù)。

當有效波與多次波不正交,或在最小二乘意義下有效波不具有最小能量時,L2范數(shù)方法應用效果不佳,會剩余較多的多次波能量,甚至損害一次波。

采用L1范數(shù)方法對數(shù)據(jù)中的異常值或者大振幅異常處理結(jié)果穩(wěn)健[15],如果原始數(shù)據(jù)的有效波能量強,可將數(shù)據(jù)中的有效波能量看作異常值,利用L1范數(shù)方法進行處理?；谶@種假設,GUITTON等[14]提出了基于L1范數(shù)求取匹配濾波算子f的方法,其目標函數(shù)Q1(f)為:

(2)

方程(2)是奇異的,因此在目標函數(shù)最小化時必須采用特殊技術(shù)來最小化或者近似代替L1范數(shù)[16-17]。IRLS算法可近似代替L1范數(shù)[18-19]。此時,重新定義目標函數(shù)為:

(3)

式中:算子W為加權(quán)矩陣,是剩余誤差的函數(shù)。

(4)

i=1,2,…,N

式中:ε為先驗值參數(shù),ε=max|d|/100;ri為第i個采樣點去除多次波后的殘差?；谔囟ǖ腤,最小化Q1(f):

(5)

式中:N為數(shù)據(jù)樣點數(shù)。利用能量最小化原則,對于任意的ri,可以得到:

(6)

可以看出,當ri較小時,求解的是L2范數(shù)解,而當ri較大時,求解的是L1范數(shù)解。目標函數(shù)的最小二乘解的方程組如下:

(7)

目標函數(shù)(3)的最優(yōu)化過程是非線性的。IRLS算法作為一種非線性優(yōu)化技術(shù),采用分步線性的方法來求解非線性問題。當?shù)卣鹩行Рㄅc多次波的能量比隨空間和時間變化時,僅采用基于L2范數(shù)或者L1范數(shù)的多次波自適應匹配相減方法可能會造成一次波損害,運算速度降低或者多次波壓制效果不佳。為此,熊繁升等[20]引入了一種混合范數(shù)方法,它利用加權(quán)系數(shù)將兩種范數(shù)的目標函數(shù)組合,定義如下:

(8)

式中:λ為自適應加權(quán)系數(shù);‖·‖1表示L1范數(shù);‖·‖2表示L2范數(shù)。

采用迭代加權(quán)最小二乘算法將(8)式的目標函數(shù)Q(f)重新定義為:

(9)

采用最小二乘算法,得到的混合目標函數(shù)為:

(10)

將得到的加權(quán)矩陣W,加權(quán)系數(shù)λ,原始地震數(shù)據(jù)d,以及預測多次波模型M代入(10)式,求得最優(yōu)匹配算子f。

實際地震數(shù)據(jù)中有效波與多次波能量比隨空間和時間變化,為了保持地震有效波不受損害,必須自適應地確定加權(quán)系數(shù)λ。為此,我們研究出一種完全由數(shù)據(jù)驅(qū)動,并且根據(jù)實際地震有效波與多次波能量之比隨空間和時間變化的情況自適應地確定加權(quán)系數(shù)λ的方法。

(11)

自適應匹配后的多次波定義如下:

(12)

在自適應匹配處理的時間-空間窗口內(nèi),定義地震有效波與多次波能量比為PMR:

(13)

根據(jù)公式(13),可自適應地定義加權(quán)系數(shù)λ:

(14)

自適應加權(quán)系數(shù)λ具有如下特點:

1) 能量比PMR為0～∞,根據(jù)方程(14),加權(quán)系數(shù)λ為0～1。

2) 根據(jù)方程(13),當PMR?1時,地震有效波能量遠大于多次波能量,極限情況是PMR為∞,即時窗內(nèi)不存在多次波。此時不滿足基于最小能量準則的假設條件,不適用L2范數(shù)方法求解,宜采用L1范數(shù)方法求解。在此情況下,根據(jù)方程(14)定義的加權(quán)系數(shù)λ趨近于0,代入方程(9),此時的目標函數(shù)正好趨近于L1范數(shù)方法的目標函數(shù)。

3) 根據(jù)方程(13),當PMR?1時,地震有效波能量遠小于多次波能量,極限情況是PMR=0,即時窗內(nèi)無有效波。此時完全滿足基于最小能量準則的假設條件,適用L2范數(shù)方法求解。在此情況下,根據(jù)方程(14)定義的加權(quán)系數(shù)λ趨近于1,代入方程(9),目標函數(shù)趨近于L2范數(shù)的目標函數(shù)(1)。

2 模型測試

2.1 二維模型測試

設計的5層水平層狀模型見圖1a;圖1b和圖1c分別為采用有限差分法模擬的不含自由表面多次波和含自由表面多次波的疊前炮集數(shù)據(jù)。選取兩個時窗(0～1.2s)和(1.2～2.0s)分析PMR隨炮檢距的變化情況,結(jié)果如圖1d和圖1e所示。分析發(fā)現(xiàn),PMR隨時間和空間的變化大,淺層部分以有效波為主,適宜采用L1范數(shù)方法求解;中、深層部分有效波與多次波能量相當,甚至相對更弱,適合采用混合范數(shù)優(yōu)化方法或L2范數(shù)方法求解。

圖2a是原始的含自由表面多次波的炮集記錄;圖2b 是采用L2范數(shù)方法壓制多次波后的單炮記錄,很明顯由于原始數(shù)據(jù)不滿足其假設條件,應用效果較差;圖2c是采用L1范數(shù)方法壓制多次波的結(jié)果,應用效果較好,但淺部大偏移距處多次波壓制效果不佳,從圖1d 可知,淺部大偏移處的數(shù)據(jù)更符合L2范數(shù)的假設條件。圖2d是采用本文提出的自適應加權(quán)混合L1/L2范數(shù)匹配相減方法壓制多次波后的單炮記錄,可以看出,該方法得到的結(jié)果明顯優(yōu)于L2范數(shù)方法得到的結(jié)果,計算效率比圖2c中的L1范數(shù)方法提高了1.2倍。

圖1 二維水平層狀模型數(shù)據(jù)分析結(jié)果a 速度模型; b 不含自由表面多次波的單炮記錄; c 含自由表面多次波的單炮記錄; d 時窗0～1.2s內(nèi)PMR隨炮檢距變化曲線; e 時窗1.2～2.0s內(nèi)PMR隨炮檢距變化曲線

圖2 原始單炮記錄和采用不同方法壓制多次波后的單炮記錄a 原始單炮記錄(含多次波); b L2范數(shù)方法; c L1范數(shù)方法; d 本文方法

2.2 三維模型測試

圖3為5層水平層狀介質(zhì)三維深度域速度模型,層速度與圖1的參數(shù)相同,但無基底速度,采用聲波方程的三維有限差分法人工合成地震記錄,對模型邊界分別采用吸收和反射邊界條件處理。

采用主頻為20Hz的零相位Ricker地震子波,數(shù)據(jù)采集為三維固定排列放炮觀測系統(tǒng),每炮包括51條接收線,接收線距20m,每條接收線包括51個接收點,接收點距20m,每炮包括2601個接收點,排列內(nèi)最小偏移距為0,時間長度為1500ms,時間采樣間隔為4ms,炮點和檢波點間距均為20m,炮線距20m。炮點與檢波點完全重合,一共包括51條激發(fā)炮線,每條炮線包括51個炮點,共模擬了2601炮記錄,激發(fā)時接收排列固定不變。

圖4a為模擬的原始單炮記錄(含多次波),圖4b為采用三維波動方程方法預測的y方向的多次波貢獻道集(MCG),圖4c為MCG道集疊加后采用三維波動方程方法預測的單道多次波的結(jié)果,紅色豎線代表選取炮集上的某一道,紅色橫線是為了便于對比相同時刻的地震波場對比。

圖3 5層水平層狀介質(zhì)三維深度域速度模型

圖4 預測多次波的單道示例a x=0,y=0位置處的單炮記錄; b 預測的MCG道集; c MCG道集疊加后預測的單道多次波

圖5展示了圖3模型所示的雙層旅行時,267ms時出現(xiàn)第1反射界面的同相軸,467ms時出現(xiàn)第2反射界面的同相軸,667ms時出現(xiàn)第3反射界面的同相軸,967ms時出現(xiàn)第4反射界面的同相軸。

圖6a為模擬的原始單炮記錄(含多次波),結(jié)合圖5的雙層旅行時,確定了各反射界面的反射波和多次波;圖6b為采用波動方程方法預測的多次波,圖6c為采用本文方法壓制多次波后的單炮記錄?？梢钥闯?本文方法對層間多次波的壓制效果好,尤其是近偏移距處壓制效果較好,但遠偏移距處的壓制效果仍有待改進。

圖7為原始數(shù)據(jù)剖面與壓制多次波后得到的零偏移距剖面。與含多次波的原始數(shù)據(jù)剖面相比,采用本文方法壓制多次波后得到的零偏移距剖面中包括層間多次波在內(nèi)的絕大部分多次波能量已得到了有效壓制。

圖5 水平層狀介質(zhì)模型各層的雙層旅行時

圖8分別為采用本文方法、L1范數(shù)和L2范數(shù)方法壓制多次波后得到的疊加剖面,其中圖8a為原始數(shù)據(jù)剖面,圖8b為采用L2范數(shù)方法壓制多次波后得到的疊加剖面,圖8c為采用L1范數(shù)方法壓制多次波后得到的疊加剖面,圖8d為采用本文方法壓制多次波后得到的疊加剖面。可以看出,L2范數(shù)方法對多次波壓制效果差,L1范數(shù)方法雖然壓制多次波效果好,但一定程度上損害了有效信號,采用本文方法不但較好地壓制了多次波,還較好地保護了有效信號。

2.3 Pluto模型測試

圖9為SEG/EAGE提供的Pluto速度模型。該模型的淺層為海水層,速度為1500m/s,鹽丘的速度為4500m/s,因此正演模擬數(shù)據(jù)中,存在強烈的海水面與海底間反射的多次波。

圖6 單炮記錄a 模擬的原始單炮記錄(含多次波); b 采用波動方程方法預測的多次波; c 采用本文方法壓制多次波后的單炮記錄

圖7 原始數(shù)據(jù)剖面(a)與采用本文方法壓制多次波后得到的零偏移距剖面(b)

圖8 原始數(shù)據(jù)剖面和不同方法壓制多次波后的疊加剖面a 原始數(shù)據(jù)剖面; b L2范數(shù)方法; c L1范數(shù)方法; d 本文方法

圖9 SEG/EAGE Pluto速度模型

圖10a為原始單炮記錄,圖10b為采用L2范數(shù)方法壓制多次波后得到的單炮記錄,圖10c為采用L1范數(shù)方法壓制多次波后得到的單炮記錄,圖10d為采用本文方法壓制多次波后得到的單炮記錄。對比可知,L2范數(shù)方法存在較多的多次波殘留,L1范數(shù)方法噪聲殘留較少,而本文方法壓制噪聲的效果最好。從圖11 的疊加剖面上也可看出,本文方法壓制多次波的效果要優(yōu)于L1范數(shù)和L2范數(shù)方法,海底多次波殘留較少。

圖10 原始單炮記錄和不同方法壓制多次波之后的單炮記錄a 原始單炮記錄; b L2范數(shù)方法; c L1范數(shù)方法; d 本文方法

圖11 不同方法壓制多次波后的疊加剖面a 原始數(shù)據(jù); b L2范數(shù)方法; c L1范數(shù)方法; d 本文方法

3 結(jié)束語

本文采用的自適應加權(quán)混合L1/L2范數(shù)匹配相減壓制多次波方法兼顧了L1范數(shù)方法適合有效信號能量強、多次波能量弱的優(yōu)點以及L2范數(shù)方法適合有效信號能量弱、多次波能量強的優(yōu)點,并克服了L1范數(shù)和L2范數(shù)方法的缺點。模型測試結(jié)果表明,該方法可以有效地分離地震數(shù)據(jù)中的有效波與多次波,實現(xiàn)多次波的壓制,具有獨特的優(yōu)勢及良好的推廣應用價值。