關(guān)于華東師大版《數(shù)學(xué)分析》教材中的一個錯誤證明的糾正

梁海華

[摘 要]指出了華東師大版《數(shù)學(xué)分析》教材中對實指數(shù)冪的運算性質(zhì)的證明過程中的邏輯錯誤， 引入新的技巧來糾正其證明并用該技巧來給出實指數(shù)冪運算性質(zhì)的完整證明（包括教材中“證明留給讀者”的部分）.

[關(guān)鍵詞]華東師大版;數(shù)學(xué)分析;實指數(shù)冪運算性質(zhì);證明錯誤

[中圖分類號] G64 [文獻標識碼] A [文章編號] 2095-3437（2019）08-0100-03

一、引言

數(shù)學(xué)分析是數(shù)學(xué)專業(yè)最重要的一門課程，是常微分方程、數(shù)學(xué)物理方程、復(fù)變函數(shù)、微分幾何等分析類課程的基礎(chǔ). 學(xué)好數(shù)學(xué)分析，不僅可以培養(yǎng)嚴密的邏輯思維、審慎的推理能力，還能通過數(shù)學(xué)建模來解決實際問題. 當前，國內(nèi)出版了眾多的《數(shù)學(xué)分析》教材，各有特色，但國內(nèi)使用最多的當屬華東師大版的《數(shù)學(xué)分析》，見文獻[1].

然而，一套好的教材需千錘百煉方可成為經(jīng)典. 盡管華東師大版的《數(shù)學(xué)分析》教材頗受好評[2]， 且已更新至第四版（以下把第四版簡稱為教材），但里面仍有一些瑕疵. 因此，不少數(shù)學(xué)教師發(fā)表論文，指出了教材中編寫不合理的地方并提出修正的建議[3-4].

筆者在使用教材的過程中，也發(fā)現(xiàn)了一些較為明顯的排版錯誤，如上冊第84頁的倒數(shù)第10行的“（7）”應(yīng)為“（8）”;第154頁第6行“必要性已由費馬定理可出”應(yīng)為“必要性已由費馬定理看出”;第213頁第6行的“定理9.5”應(yīng)為“定理9.6”;等等. 但這些錯誤對于使用者而言影響不大， 本文主要指出教材在證明定理4.10時的邏輯錯誤，該錯誤較為隱秘，至今仍未有文獻對其展開探討.

為方便，此處重述定理4.10.

定理4.10：設(shè)[a>0]是一個確定的實數(shù)，則對任意[α，β∈R]都有

[aα+β=aα?aβ， （aα）β=aαβ.] （1）

II. 定理4.10的證明錯誤及修正

教材通過分別證明[aα+β≥aα?aβ]和[aα+β≤aα?aβ]來得到第一個等式. 但在證明[aα+β≤aα?aβ]的過程中存在一個隱蔽的錯誤（87頁4-6行）：

“為證相反的不等式，同理存在有理數(shù)[p≤α+β]，使得

[aα+β-ε

再取有理數(shù)[r≤α]和[s≤β]，并使[p≤r+s]”.

此處的錯誤在于，倘若[p=α+β]，則由

“[r≤α]，[s≤β]且[α+β=p≤r+s≤α+β]”

知，[r=α]且[s=β]. 這樣，當[α]和[β]均為無理數(shù)（例如[α=1+3，] [β=3-3]）時，[r]和[s]不可能是有理數(shù).

下面將給出正確的證明. 讀者將會看到，當[p<α+β]時，教材的證明是正確的;而當[p=α+β]時，需要另尋他法. 首先給出如下引理.

引理. 設(shè)有理數(shù)[α，β]是任意兩個實數(shù)，[p]是有理數(shù)且[p<α+β]. 則必存在兩個有理數(shù)[r，s]使得[r≤α，s≤β]且[r+s>p].

證明：不妨設(shè)[α，β]均為正數(shù)，其余情形可類似得證. 因為[p<α+β]，所以存在非負整數(shù)[n]，使得[p]的[n]位過剩近似小于[α+β]的[n]位不足近似，即[pn<（α+β）n]，從而

[pn≤（α+β）n-110n].

另一方面，容易證明，

[αn+βn=（α+β）n]或[αn+βn=（α+β）n-110n.] （2）

事實上，設(shè)[α=a0. a1a2…， β=b0. b1b2…]. 若[an+1+bn+1<10]，則[αn+βn=（α+β）n];若[an+1+bn+1≥10]，則[αn+βn=（α+β）n-110n.]無論何種情況均成立著，從而總有[αn+βn][≥pn]. 于是，取[r=αn<α， s=βn<β]，便得到

[α+β>r+s=αn+βn≥pn>p.]

下面給出“[aα+β≤aα?aβ]”的正確證明.

不妨設(shè)[a>1]（關(guān)于[0

[aα+β=sup r≤α+β{ar|r 為有理數(shù)}]，

所以對任意[ε>0]，存在有理數(shù)[r0≤α+β]，使得

[ar0>aα+β-ε.] （3）

如果[r0<α+β]，則由引理知，存在兩個有理數(shù)[r，s]使得

[r≤α，s≤β; r+s>r0.]

于是，

[ar0

其中第一和第三個不等號是利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到，而第二個等號則是利用有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì). 結(jié)合（3）和（4）便得：

[aα+β

因[ε]是任意的正數(shù)，所以上式意味著[aα+β≤aα?aβ].

如果[r0=α+β]，則未必存在有理數(shù)[r，s]使得[r≤α，s≤β; r+s≥r0.]以下將引入一種小技巧來解決這個問題，讀者不難發(fā)現(xiàn)，下面的證明方法也完全適用于[r0<α+β]的情形.

既然[r0=α+β]，那么對任何正整數(shù)[n]都有[r0-1n<α+β]. 利用引理（那里的[p]相當于此處的[r0-1n]）知，存在有理數(shù)[r，s]使得

[r≤α，s≤β]且[r0-1n

故

[ar0-1n

注意[r0]和[1n]均為有理數(shù)，所以[ar0-1n=a-1n?ar0]，再由及便得

[aα+β-ε

令[ε→0]，由函數(shù)極限的保不等式性質(zhì)得

[aα+β≤（aα?aβ）?a1n].

再令[n→∞]，由數(shù)列極限保不等式性質(zhì)以及[limn→∞an=1]得[aα+β≤aα?aβ].

因此，無論是[r0<α+β]還是[r0=α+β]，都有[aα+β≤aα?aβ].

注. 證明過程中，先引入[r0-1n]，而后應(yīng)用引理，最后再令[n→∞]是關(guān)鍵的技術(shù).

III. 定理4.10第二式的證明

教材并未給出定理4.10第二式的證明，而是留給讀者. 顯然，第二式的證明比第一式的證明更復(fù)雜. 而且，如果沒看出第一式的證明錯誤，則在證明第二式時仍會產(chǎn)生類似的邏輯錯誤.

下面將使用上一節(jié)所提出的技巧，給出后一個式子的嚴謹證明. 為此，只需要分別證明

[ （aα）β≤aαβ]及[aαβ≤ （aα）β].

根據(jù)實數(shù)指數(shù)冪的定義，[aα=sup r≤α{ar|r 為有理數(shù)}]，而

[（aα）β=sup r≤β{（aα）r|r 為有理數(shù)}， ]

[sup r≤αβ{ar|r 為有理數(shù)}.] ? ? ?（6）

首先證明[ （aα）β≤aαβ].

由上確界的定義，對任意[ε>0]，存在有理數(shù)[r≤α]使得[aα≤ar+ε]; 存在有理數(shù)[s≤β]使得

[（aα）β≤（aα）s+ε.] （7）

因此，

[（aα）β≤（ar+ε）s+ε.] （8）

記[f（x）=（ar+x）s+x.][f]可看作[g（u）=us]和[u（x）=ar+x]的復(fù)合函數(shù)再加上線性函數(shù)[h（x）=x]. 由于[s]為有理數(shù)，所以[g（u）=us]是其定義域上的連續(xù)函數(shù)，[u（x）][=ar+x]是[x]的連續(xù)函數(shù)，故 [（ar+x）s]是[x]的連續(xù)函數(shù)，從而[f]為定義域內(nèi)的連續(xù)函數(shù). 這樣，

[limx→0f（x）=f（0）=（ar）s=ars.]

于是，在（7）的兩邊同時令[ε→0]便得[（aα）β≤ars.] 再由[r≤α]及[s≤β]以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得

[（aα）β≤ars≤aαβ].

其次證明[ aαβ≤（aα）β].

對任何正整數(shù)[n]，由（6）的第二式以及上確界的定義知，存在有理數(shù)[p≤αβ]使得

[aαβ≤ap+1n.] （9）

根據(jù)有理數(shù)的稠密性，可取有理數(shù)[r，s]使得[r≤α，s≤β]且[ rs+1n>p]. 于是，

[ap+1n≤ars+1n+1n=a1n?ars+1n]

[=a1n?（ar）s+1n≤a1n?（aα）β+1n.]

結(jié)合（9）立刻得

[aαβ≤a1n?（aα）β+1n.]

令[n→∞]，由[limn→∞an=1]以及數(shù)列極限的保不等式性質(zhì)，得[aαβ≤（aα）β.]

證明完畢.

注：證明[ aαβ≤（aα）β]時用[1n]來代替[ε]，是為了能應(yīng)用有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)以及[limn→∞a1n=1].

[參考文獻]

[1] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2012

[2] 孫善利.一本頗具特色的好教材——介紹華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編的《數(shù)學(xué)分析》（第二版）[J].中國大學(xué)教學(xué)， 2004（4）：60-61.

[3] 王劍宇.一套數(shù)學(xué)分析主導(dǎo)教材中的幾點不足[J].南京曉莊學(xué)院學(xué)報， 2006（6）：119-121.

[4] 韓誠.確界原理的一個修正證明[J].大學(xué)數(shù)學(xué)， 2014（3）：69-70.

[責(zé)任編輯：林志恒]