凸性策略在債市的應(yīng)用

袁志輝 劉志龍

摘要：本文通過(guò)數(shù)學(xué)推導(dǎo)結(jié)合實(shí)證分析，對(duì)凸性策略的盈利來(lái)源進(jìn)行了分析，并據(jù)此提出息差保護(hù)策略、凸性水平策略和綜合策略三種具體建倉(cāng)策略。本文還實(shí)證對(duì)比了不同建倉(cāng)策略、長(zhǎng)短端債券配比權(quán)重調(diào)整、持有期長(zhǎng)短、建倉(cāng)門檻等不同變化對(duì)凸性策略效果的影響，以期為投資者提供參考借鑒。

關(guān)鍵詞：凸性策略? 蝶式交易? 杠鈴權(quán)重? 息差保護(hù)

基于收益率曲線凸性特征進(jìn)行債券交易的方法（以下簡(jiǎn)稱“凸性策略”）是海外機(jī)構(gòu)投資者最常用的主動(dòng)型固定收益策略之一，但該策略在國(guó)內(nèi)市場(chǎng)尚未得到足夠的重視和應(yīng)用。本文將對(duì)此進(jìn)行分析和探討。

凸性策略簡(jiǎn)介

凸性策略是收益率曲線交易的重要手段，其通過(guò)構(gòu)造久期中性的蝶式（butterfly）交易頭寸，保證投資組合對(duì)收益率曲線水平變動(dòng)的免疫，并將風(fēng)險(xiǎn)敞口置于收益率曲線的形態(tài)特征變化上。

收益率曲線的凸性特征直觀地表現(xiàn)為曲線的平坦/陡峭化程度。具體而言，當(dāng)收益率曲線過(guò)于平坦、預(yù)期中期債券收益率相對(duì)于短期和長(zhǎng)期會(huì)出現(xiàn)明顯上升時(shí)，可以采用做空中期債券、持有長(zhǎng)短期債券的方式進(jìn)行蝶式交易;反之，則可通過(guò)持有中期債券、做空長(zhǎng)短期債券的方式進(jìn)行蝶式交易。如果曲線形態(tài)變化與預(yù)期一致，則可在收益率曲線得到修復(fù)后獲取超額收益。

凸性策略的數(shù)學(xué)推導(dǎo)

通過(guò)對(duì)凸性策略進(jìn)行數(shù)學(xué)推導(dǎo)，結(jié)合典型收益率曲線的形態(tài)特征，可以更好地了解該策略的盈利來(lái)源。

假設(shè)在初始時(shí)刻，判斷收益率曲線過(guò)于平坦，于是賣空1單位收益率為的年期國(guó)債，同時(shí)買入收益率分別為、的和年期國(guó)債，其中，為國(guó)債平倉(cāng)時(shí)的久期，賣空數(shù)量分別為與。由于凸性策略需要對(duì)持有頭寸保持久期中性，因此有：

上述頭寸存在息差，表現(xiàn)為組合建倉(cāng)成本（收益），即：

當(dāng)收益率曲線出現(xiàn)所預(yù)期的修復(fù)后平倉(cāng)，此時(shí)頭寸持有期限為年，，各頭寸的資本利得包含由于騎乘效應(yīng)所獲得的收益，分別為：

其中為持有各期限國(guó)債的利得收入（負(fù)數(shù)為支出），為整個(gè)交易的超額收益。

在上述公式中，收益率的變動(dòng)可以分為兩部分：其一是當(dāng)前收益率曲線下的期限利差，其二是相同期限下的收益率變動(dòng)。以為例：

由于投資組合滿足久期中性，將式（1）帶入式（8）（9）中，兩端同時(shí)除以，并令，則有：

結(jié)合圖形來(lái)看，圖1給出了一條具有典型特征的收益率曲線，其收益率向右上方傾斜，且斜率逐漸減小，對(duì)應(yīng)期限利差曲線向右下方傾斜。隨著的變動(dòng)，的值在圖中的線段上移動(dòng)，決定息差保護(hù)正負(fù)的關(guān)鍵在于期限利差曲線的凹凸特征。由于圖中期限利差曲線向上凹，在絕大情況下。另外，值與短端頭寸的持有量相關(guān)，這取決于所具體采取的杠鈴交易策略，一般而言50-50策略、到期日加權(quán)等策略對(duì)長(zhǎng)短端的風(fēng)險(xiǎn)暴露大致均衡，會(huì)運(yùn)行到連線中端即點(diǎn)A附近，其具體影響將在后面實(shí)證中進(jìn)一步分析。

蝶式交易的理想回報(bào)條件包括兩點(diǎn)，一是端的息差保護(hù)盡可能大;二是端的收益率曲線凸性變動(dòng)符合預(yù)期。因此，對(duì)應(yīng)蝶式交易也相應(yīng)存在兩條不同的建倉(cāng)邏輯。其一是息差保護(hù)策略：通過(guò)雙向交易鎖定息差保護(hù)，即不考慮收益率曲線形態(tài)變動(dòng)情況下保證持有收益始終為正，此時(shí)只要收益率曲線的凸性調(diào)整幅度不足以完全抵消該息差收益，即可獲得超額收益。其二是凸性水平策略：主動(dòng)對(duì)收益率曲線凸性變動(dòng)進(jìn)行判斷，賺取預(yù)測(cè)凸性變動(dòng)的超額收益。另外還可以綜合考慮上述兩種策略進(jìn)行建倉(cāng)，兼顧息差保護(hù)和凸性變動(dòng)。

凸性策略在中國(guó)市場(chǎng)的實(shí)證效果

在進(jìn)行完理論分析后，下文嘗試通過(guò)實(shí)證研究解決如下幾個(gè)問(wèn)題：（1）凸性交易的不同建倉(cāng)策略在中國(guó)債券市場(chǎng)的有效性如何，應(yīng)當(dāng)如何選擇？（2）長(zhǎng)短端債券權(quán)重應(yīng)該如何配置？（3）持有期間對(duì)凸性交易的超額收益有何影響？（4）是否可以進(jìn)一步增強(qiáng)凸性交易的表現(xiàn)？

（一）樣本與數(shù)據(jù)整理

本文以 2007年1月至2018年8月的中債國(guó)債收益率月度數(shù)據(jù)進(jìn)行凸性策略的回測(cè)，數(shù)據(jù)取自Wind。圖2為部分時(shí)點(diǎn)的國(guó)債收益率曲線和期限利差曲線，可以發(fā)現(xiàn)期限利差曲線的波動(dòng)在短端較為明顯，說(shuō)明在此位置息差保護(hù)策略存在一定的收益空間。圖3為不同期限國(guó)債組合在樣本區(qū)間內(nèi)的凸性變動(dòng)，其中凸性定義為，此處取。從圖3可見(jiàn)，以年為單位的期限組合1-7-10、3-7-10、1-5-7、1-5-10的凸性變動(dòng)幅度較大，更加有利于凸性水平策略的實(shí)施。

（二）對(duì)凸性策略有效性的實(shí)證

本文根據(jù)中國(guó)債券市場(chǎng)的國(guó)債收益率數(shù)據(jù)依次對(duì)息差保護(hù)策略、凸性水平策略和前兩者相結(jié)合的綜合策略進(jìn)行回測(cè)。

息差保護(hù)策略：根據(jù)式（11）計(jì)算出對(duì)應(yīng)組合的值，若則做陡，即做空中期債券、持有長(zhǎng)短期債券;反之則做平。由此，保證蝶式交易的息差保護(hù)始終為正，并進(jìn)一步計(jì)算蝶式交易的超額收益。

凸性水平策略：計(jì)算出對(duì)應(yīng)組合的凸性，用表示，當(dāng)其值大于歷史均值時(shí)做平，反之則做陡。

綜合策略：當(dāng)且僅當(dāng)息差保護(hù)和凸性歷史水平信息所指示的蝶式交易方向相同時(shí)進(jìn)行建倉(cāng)，即且組合凸性水平低于歷史均值則做陡，且組合凸性水平高于歷史均值則做平。

上述回測(cè)結(jié)果如圖4所示。

由圖4可見(jiàn)，除期限組合3-7-10利用息差保護(hù)策略獲得的平均超額收益為負(fù)外，其他各期限組合的蝶式交易平均超額收益率均顯著大于 0，且對(duì)應(yīng)的勝率普遍較高。部分組合平均超額收益率甚至可以達(dá)到150BP左右?？傮w來(lái)看，凸性策略在中國(guó)債券市場(chǎng)具有很大的實(shí)施空間。

橫向?qū)Ρ葋?lái)看，凸性水平策略的效果要普遍優(yōu)于息差保護(hù)策略，特別是對(duì)于凸性變動(dòng)幅度大、均值回歸趨勢(shì)明顯的組合，例如期限組合1-5-7、1-5-10、3-7-10、1-7-10，在凸性水平策略下的平均超額收益相較于息差保護(hù)策略，分別多出104BP、137BP、152BP和251BP，勝率也相應(yīng)提高10%左右。息差保護(hù)所提供的盈利空間較預(yù)測(cè)凸性變動(dòng)而言較為有限。

另外，綜合策略建倉(cāng)的收益狀況最好，息差保護(hù)策略和凸性水平策略對(duì)于收益具有協(xié)同貢獻(xiàn)。其中期限組合1-3-5、1-3-7、1-3-10的綜合策略建倉(cāng)協(xié)同性表現(xiàn)更好，平均超額收益和勝率較單一策略有大幅提高;而期限組合1-5-7、1-5-10、1-7-10、3-7-10的息差保護(hù)策略收益貢獻(xiàn)相對(duì)較小，其綜合策略的收益狀況與單獨(dú)依靠凸性水平策略相差不大。

（三）杠鈴的長(zhǎng)短端權(quán)重配比

觀察公式（11）（12）可以發(fā)現(xiàn)，加大短端債券的持倉(cāng)，系數(shù)取值逐漸加大。對(duì)于息差保護(hù)策略而言，當(dāng)其做陡時(shí)增大將加厚蝶式交易的安全墊，相反在做平時(shí)其息差保護(hù)將減小。對(duì)于凸性水平策略來(lái)說(shuō)，增大意味著對(duì)于短端收益率變動(dòng)的押注在增加。

通過(guò)在[0，1]范圍內(nèi)動(dòng)態(tài)調(diào)整值，并重復(fù)之前的回測(cè)步驟，可得如圖5至圖7所示的實(shí)證結(jié)果。

觀察圖5中的左圖可知，在息差保護(hù)策略下，增加杠鈴交易短端債券的配比權(quán)重?zé)o法有效提高蝶式交易的平均超額收益率;觀察圖6和圖7中的左圖可知，在凸性水平策略和綜合策略下，隨著的提高，組合的平均超額收益呈現(xiàn)趨勢(shì)性上升，且組合的凸性變動(dòng)幅度越大，平均超額收益上升斜率越大。這主要是由于短期限債券相對(duì)于長(zhǎng)端的波動(dòng)更大，更多配置短期債券在策略勝率基本穩(wěn)定的情況下，可以顯著提高平均收益。實(shí)踐中，在風(fēng)險(xiǎn)可控的情況下，為獲取更高的收益，可以適當(dāng)加大短期債券的配置比例。

觀察圖5至圖7中的右圖可知，各策略的夏普指數(shù)隨的變動(dòng)表現(xiàn)出相當(dāng)程度的一致性：先上升后下降，存在局部的最優(yōu)點(diǎn)。這表明理想的蝶式策略需要平衡好長(zhǎng)短端債券的配比。

另外，在傳統(tǒng)的凸性交易中，存在諸如50-50策略、到期日加權(quán)等配置策略，這些策略的理論杠鈴配比比重與實(shí)際經(jīng)驗(yàn)最優(yōu)值是否一致？

根據(jù)50-50策略：

根據(jù)到期日加權(quán)策略：

計(jì)算可得上述兩種策略所對(duì)應(yīng)的k值分別是和，將其與實(shí)證所得的最優(yōu)經(jīng)驗(yàn)值對(duì)比，可得圖8?？梢钥吹剑⒉畋Ｗo(hù)策略、凸性水平策略和綜合策略所對(duì)應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)最優(yōu)值相差不大，且與到期日加權(quán)策略給出的短端配比權(quán)重基本一致。這表明杠鈴交易的短端最優(yōu)配比與長(zhǎng)短端收益率變動(dòng)的幅度相關(guān)，而與具體采用何種建倉(cāng)策略關(guān)聯(lián)較小?？紤]到經(jīng)驗(yàn)最優(yōu)值可能存在過(guò)度擬合的問(wèn)題，造成對(duì)該樣本外數(shù)據(jù)的適用性較差，建議蝶式交易以到期日加權(quán)策略為基準(zhǔn)（即令k=）進(jìn)行配置。

（四）持有期間對(duì)超額收益的影響

根據(jù)公式（11）（12），有，和。超額收益，可知持有期間對(duì)平均超額收益的影響主要包括兩部分。一是隨著持有期增加，系數(shù)項(xiàng)將會(huì)下降，從而拖累蝶式交易最終的收益。二是隨著持有期增加，利差曲線將更平穩(wěn)，過(guò)度凹凸特征有所緩解。對(duì)于息差保護(hù)策略而言，持有期增加則其安全墊整體呈現(xiàn)下降趨勢(shì);對(duì)于凸性水平策略來(lái)說(shuō)，持有期增加使得對(duì)收益率曲線的預(yù)測(cè)更為困難，凸性非預(yù)料變動(dòng)的風(fēng)險(xiǎn)加大。

如圖9至圖11中的左圖所示，隨著持有期增長(zhǎng)，三種建倉(cāng)策略下的平均超額收益均出現(xiàn)明顯下滑，系數(shù)項(xiàng)的影響相當(dāng)顯著。需要注意的是，圖10的右圖中，在凸性水平策略下其夏普指數(shù)隨著持有期提高普遍下降，當(dāng)持有期為1年時(shí)，部分組合的超額收益甚至全無(wú)。這表明持有期增加導(dǎo)致對(duì)收益率曲線凸性的預(yù)測(cè)變難，對(duì)凸性水平策略的實(shí)施有著很大的干擾，特別是對(duì)于期限為1-3-5、1-3-7、1-3-10的組合而言，本身屬于凸性變動(dòng)幅度不大的組合，相關(guān)預(yù)測(cè)難度大大增加。

相反如圖11右圖所示，在綜合策略下，夏普比率有著顯著的上升。這是因?yàn)殡S著持有期的增加，綜合策略中雙標(biāo)準(zhǔn)建倉(cāng)的同向機(jī)會(huì)減少，但確定性增加。

因此對(duì)于息差保護(hù)策略和凸性水平策略而言，降低持有期有利于控制風(fēng)險(xiǎn)、提高平均收益。對(duì)于綜合策略而言，持有期的適度提高意味著建倉(cāng)的門檻上升，有助于提高組合的收益風(fēng)險(xiǎn)比。

凸性策略的效率提升探索

（一）門檻指標(biāo)的構(gòu)建

在對(duì)比了不同建倉(cāng)策略、杠鈴交易的長(zhǎng)短端權(quán)重、持有期長(zhǎng)短對(duì)超額收益的影響后，接下來(lái)本文嘗試構(gòu)建指標(biāo)進(jìn)一步優(yōu)化凸性策略的收益。

根據(jù)前文分析，綜合策略的表現(xiàn)整體上要優(yōu)于任意單一策略，此處試圖在綜合策略的基礎(chǔ)上進(jìn)一步提高建倉(cāng)門檻，篩除掉不夠顯著的交易機(jī)會(huì)，以期獲得更為確定的超額收益。

在息差保護(hù)端，息差保護(hù)越大其抵御凸性預(yù)料外變動(dòng)的能力越強(qiáng);在凸性水平端，其所處的凸性水平越極端，未來(lái)凸性出現(xiàn)均值回歸的概率越大。因此可設(shè)置息差保護(hù)門檻系數(shù)、凸性水平門檻系數(shù)，分別對(duì)應(yīng)閾值、，其中為收益率曲線凸性的平均值，為息差保護(hù)絕對(duì)值的歷史波動(dòng)率，為凸度的歷史波動(dòng)率。

（二）門檻指標(biāo)實(shí)證

選取1、3、5、7、10年期的國(guó)債進(jìn)行組合構(gòu)造蝶式交易，設(shè)持有期年、，當(dāng)且僅當(dāng)如下條件滿足時(shí)進(jìn)行建倉(cāng)：

分別考察門檻系數(shù)、對(duì)超額收益的影響。令、分別為0、0.2、0.4，得到表1;令、分別為0、0.2、0.4，可以得到表2。

由表1、表2可見(jiàn)，增加建倉(cāng)門檻后，蝶式交易的平均超額收益和夏普指數(shù)較之前普遍得到顯著提高，但與此同時(shí)可供交易的機(jī)會(huì)也在較少。從縱向?qū)Ρ壬峡矗岣呦⒉畋Ｗo(hù)門檻對(duì)超額收益的影響相對(duì)較弱，部分組合平均超額收益和夏普指數(shù)一度出現(xiàn)短暫的回調(diào);而提高凸性水平門檻的效果要更為顯著。另外，從提升效率（增加的平均收益或夏普比率/降低的交易頻率）上看，提高凸性水平門檻也要優(yōu)于提高息差保護(hù)門檻。

（三）凸性水平策略與綜合策略的進(jìn)一步對(duì)比

我們注意到綜合策略收益狀況的提高本身就是通過(guò)雙標(biāo)準(zhǔn)增加建倉(cāng)門檻帶來(lái)的，那么是否可以通過(guò)在凸性水平策略中提高門檻系數(shù)以達(dá)到和綜合策略近似甚至更高水平的超額收益呢？

為此可調(diào)整凸性水平門檻，分為計(jì)算凸性水平策略和綜合策略交易頻率為10%時(shí)的平均超額收益和夏普指數(shù)，亦即對(duì)比兩策略前10%理想建倉(cāng)點(diǎn)的最終回報(bào)狀況。

從圖12可見(jiàn)，在凸性水平策略中提高門檻系數(shù)確實(shí)可以達(dá)到和綜合策略近似的投資回報(bào)，部分期限組合如1-5-10、1-7-10表現(xiàn)甚至要優(yōu)于綜合策略，這主要與組合凸性變動(dòng)幅度和息差保護(hù)貢獻(xiàn)大小有關(guān)。但是，綜合策略的穩(wěn)定性更好，特別是對(duì)于期限為3-5-7、3-7-10的中端短跨度組合而言，提高門檻系數(shù)預(yù)測(cè)凸性變動(dòng)的策略會(huì)失效，此時(shí)綜合策略的表現(xiàn)要遠(yuǎn)優(yōu)于凸性水平策略。

主要結(jié)論

息差保護(hù)策略所提供的盈利空間較凸性水平策略而言較為有限，特別是對(duì)于凸性變動(dòng)幅度大、均值回歸趨勢(shì)明顯的組合，凸性水平策略的表現(xiàn)更好。綜合策略的收益狀況要優(yōu)于任一單一策略。

在凸性水平策略和綜合策略下，增加杠鈴交易短端債券的配比權(quán)重可以顯著提高蝶式交易的平均超額收益，而息差保護(hù)策略并無(wú)此效應(yīng)。從夏普指數(shù)的角度看，各策略的長(zhǎng)短端債券配比值均存在近似的經(jīng)驗(yàn)最優(yōu)值，且相對(duì)水平與到期日加權(quán)策略給出的配比基本一致，建議以到期日加權(quán)為基準(zhǔn)進(jìn)行調(diào)整后再配置。

隨著持有期增加，各建倉(cāng)策略下的平均超額收益均出現(xiàn)明顯的下滑，凸性水平策略在較長(zhǎng)的持有期下甚至?xí)?。?duì)于息差保護(hù)策略和凸性水平策略而言，降低持有期有利于控制風(fēng)險(xiǎn)、提高平均收益。對(duì)于綜合策略而言，持有期的適度提高意味著建倉(cāng)的門檻上升，有助于提高組合的收益風(fēng)險(xiǎn)比。

在增加建倉(cāng)門檻后，蝶式交易的平均超額收益和夏普指數(shù)普遍較之前顯著提高。從提升效率（增加的平均收益或夏普比率/降低的交易頻率）上看，提高凸性水平策略的門檻要優(yōu)于提高息差保護(hù)策略的門檻。提高建倉(cāng)門檻后凸性水平策略確實(shí)可以達(dá)到和綜合策略近似的投資回報(bào)，但是穩(wěn)定性仍弱于綜合策略。

作者單位：恒泰證券機(jī)構(gòu)投資顧問(wèn)部

責(zé)任編輯：劉穎? 鹿寧寧