特殊與一般的思想

高慧明

對于某個一般性的數學問題，如果一時難以解決，可以先解決它的特殊情況，即從研究對象的全體轉變?yōu)檠芯繉儆谶@個全體中的一個對象或部分對象，然后把解決特殊情況的方法或結論應用或者推廣到一般問題上，從而獲得一般性問題的解答。這種解決問題的思想稱之為特殊化思想。特殊化通常是指一般性命題的特殊例子。在數學中，特殊化可以指用具體的數字去代入，也可以指就“極端”的情況進行考慮，還包括做出具體圖形等。例如，小學數學教材中的“商不變性質”：“在除法里被除數和除數同時乘以或者同時除以同一個數（0除外），商不變?！蔽覀兛梢粤钜粋€除法式子為6÷3=2，則有（6÷1）÷（3÷1）=2，（6×1）÷（3×1）=2。

當我們遇到某些特殊問題很難解決時，不妨適當放寬條件，把待處理的特殊問題放在一個更為廣泛、更為一般的問題中加以研究，先解決一般情形，再把解決一般情形的方法或結果應用到特殊問題上，最后解決特殊問題。這種解決問題的思想稱之為一般化思想。在中小學數學教學過程中，對公式、定理、法則的學習往往都是從特殊開始，通過總結歸納得出來、證明后，又使用它們來解決相關數學問題的。在數學中經常使用的歸納法、演繹法就是特殊與一般思想方法的集中體現(xiàn)。在教學中，我們可以有意設計一些能集中體現(xiàn)特殊與一般思想的問題。例如，可以設計利用一般歸納法進行猜想的試題; 可以著重體現(xiàn)選擇題的特點，考查特殊與一般的思想方法，突出體現(xiàn)特殊化方法的意義與作用;還可以通過構造特殊函數、特殊數列，尋找特殊點，確定特殊位置，利用特殊值、特殊方程等，研究解決一般問題、抽象問題、運動變化的問題、不確定的問題，等等。

一般化是指由一些特例抽象出共同的特性。波利亞對此給出了如下解釋：“一般化就是從考慮一個對象過渡到考慮包含該對象的一個集合，或者從考慮一個較小的集合過渡到考慮一個包括該較小集合的更大集合。”在數學中，我們經常通過改變條件、用變量（字母）去替代常量等來獲得更為一般的結論。例如，由一些具體的例子，我們可以得到分數的分子和分母同時擴大或縮小相同的倍數（0除外），分數的大小不變;由乘法分配律（a+b）×c=a×c+b×c，我們可以推出更為一般的結論，如（a+b+…+m）×c=a×c+b×c+…+m×c及（a+b）÷c=a÷c+b÷c等。

梅森指出，相對于特殊化而言，一般化是困難的。然而，一般化又是數學創(chuàng)造的基本形式，因為數學認知的根本目的是要揭示更為普遍、更為深刻的事實或規(guī)律。

特殊化與一般化構成了整個解題過程的基礎。盡管特殊化與一般化是在兩個方向上進行的，但是兩者在實際的數學研究中又是密切相關、相互依賴的。特殊化只有上升到一般的高度，我們才能更為深刻地認識和理解各個特殊的例子，才能更好地解決問題。

在中小學數學課堂教學中，如何滲透特殊化與一般化數學思想？

首先，鼓勵學生由特殊化提供的素材得出一般化的結論。中小學數學教材中的很多結論，如概念、等量關系、運算定律以及性質等的形成過程，實際上是由特殊的例子抽象出本質的共同特性的過程。這是由中小學生學習數學概念的基本方式決定的，所以在教學中要讓學生主動參與一般化結論得出的過程，并引導他們用語言、符號概括或歸納，讓他們清楚為什么要得到這些一般化結論。

例如，教學“分數的基本性質”時，除了采用折紙的方法之外，可以再讓學生舉一些類似的例子，通過小組討論、分析，最后得出結論，取名為“分數的基本性質”。這時設問：為什么稱基本性質？經過一番自由發(fā)言后學生漸漸領悟了，再向學生講述：在數學上，數學家經常把具有共同特性的例子進行分析，并得出結論，為的是利用結論去解決新的問題，或去創(chuàng)造新的東西。這樣的過程使學生潛移默化受到了數學思維方法的熏陶。

然后，用特殊化方法去猜測、檢驗性質（法則）等的真實性，進一步理解性質（法則）等，達到靈活運用的目的。數學知識從特殊到一般的形成過程是復雜的概括、抽象過程，學生真正理解掌握知識是學生用自己的思考例證知識的過程。例如，學習了減法性質“從一個數里連續(xù)減去兩個數，可以從這個數里減去這兩個數的和”后，可以引導學生用自己想的數（特例）去理解它，如10-3-2與10-（3+2）是否相等。

再比如，在三角函數教學中提出下列問題：設函數[f（x）=sin3x+sin3x]，則[f（x）]為（??? ）。

其次，用特殊化方法去解決問題。由于小學數學很多命題中存在的極限、函數等數學思想無法用語言表述，學生哪怕解決了問題，也無法真正理解。在這樣的情況下，通過特殊法解決一些數學問題是非常必要的，也是兒童理解數學的一種特定方式。例如，教學“平行四邊形的面積”時，討論平行四邊形的面積與什么有關：學生A認為與平行四邊形的鄰邊有關，學生B認為與平行四邊形的底和高有關。在爭論的過程中，一名學生提出問題：平行四邊形有不穩(wěn)定性，如果我們把它壓扁一些，壓得越扁面積就會越小，“甚至可以說是沒有”，怎么與鄰邊有關呢？正是“甚至可以是沒有”的特殊化考慮，使學生對解決這一問題時的思維變得更為清晰。

再次，運用一般化方法推出更一般化的結論。我們通常在得到數學的一些性質后，通過拓展獲得新的知識。在這一過程中，一般化的方法起到積極的作用。例如，當學生得到減法性質a-b-c=a-（b+c）后，可以提問：通過這一性質還可以得到什么結論？學生通過大膽猜測以及特殊的檢驗后得到以下結論：（1）a-b-c-…-m=a-（b+c+…+m）;（2）a-b-b-…-b=0（即連續(xù)減去多少個b等于0，結論是a=b+b+…+b，即（a÷b）個b相加）;（3）a-（b-c）=a-b+c。因為這個一般性結論是由學生自己得到的，所以他們理解得更透徹。

最后，鼓勵學生用形象的特殊化和模糊的一般化創(chuàng)造性解決問題。小學生的抽象思維比較弱，所以通過特例，自己所得到的是模糊的一般化結論。在教學中鼓勵學生不斷地運用猜想，運用自己的結論去解決新的問題，學生在面臨問題時就不再束手無策。

例如，一次數學活動課教學中出現(xiàn)了這樣一道計算題：“1234567892-123456788×123456790=？”學生觀察題目后，就動筆了。部分學生用一些特殊的例子找規(guī)律，如32-2×4，62-5×7等，最后得到答案是1。這樣的數學問題在一些復雜的分數大小比較以及競賽的計算題中尤為突出。

再如：“長方形的周長一定，長的邊越長，面積就?????? （填‘大或‘?。！碑攩栴}提出后，學生出現(xiàn)以下幾種情況：（1）猜測;（2）確定一個特殊的例子，如設周長為14，則有1×7=7，2×5=10，3×4=12等情況;（3）“極端”的思考方法——若長很長，寬幾乎接近于0，那么面積也幾乎是0。這個例子中，學生先創(chuàng)造性地解決問題，然后通過這樣的結論解決了一個自然數列中每兩個數（與首尾兩個數等距）的和相等（如1、2、3、4、5、6，1+6=2+5=3+4）時，積的最大與最小的問題。

長期滲透特殊化與一般化方法，能培養(yǎng)學生自覺學習和數學式思考問題的習慣。英國教育家洛克認為：“事實上，一切教育都歸結為養(yǎng)成兒童的良好習慣，往往自己的幸福歸于自己的習慣?！庇捎谔厥馀c一般思想的運用水平能反映學生的數學素養(yǎng)和一般能力，所以在數學課堂教學和課后練習中，很有必要多設計一些此類問題。中小學數學課程教學中，能夠集中體現(xiàn)特殊與一般的思想的常見問題類型主要有“歸納→猜想”型;“類比→猜想”型（例如：平面→立體）;“抽象函數”型;“定點、定值”型;“特殊化方法解選擇題”型。

【下期內容預告：有限與無限的思想——數學思想方法系列講座（7）】

責任編輯? 姜楚華