精準(zhǔn)概括 重點突破
——高考數(shù)學(xué)第21題“導(dǎo)數(shù)及函數(shù)的應(yīng)用”的專題復(fù)習(xí)建議

一、考試及教學(xué)現(xiàn)狀

筆者在改高考卷過程中發(fā)現(xiàn)，考生對第21題“導(dǎo)數(shù)及函數(shù)的應(yīng)用”的解答非常糟糕，答題思維混亂、計算能力差、不會轉(zhuǎn)化等，導(dǎo)致得分率極低。筆者試圖回到我們的高三復(fù)習(xí)課堂去尋找原因和解決方案，發(fā)現(xiàn)高三教師二輪專題復(fù)習(xí)課存在著較大的問題，主要表現(xiàn)為：1.教師的自信心不足，有畏難情緒；2.對本題的研究不深入，概括不到位，對重點環(huán)節(jié)找不到有效的解決辦法；3.處理武斷，有不少教師傳遞給學(xué)生這樣一種觀念，這是數(shù)學(xué)考試中最難的題目了，提倡學(xué)生只要做好第Ⅰ問便算了；4.教師(或備課組)未能找到本題的出題規(guī)律和解題方法等。針對如何改變這種現(xiàn)狀，提高學(xué)生本題的得分率，筆者擬提出一些個人的研究和建議。

二、加深對“函數(shù)的性質(zhì)”及“導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用”的深刻理解

在函數(shù)概念中，核心是“對應(yīng)法則”，即x與y如何對應(yīng)，而反映x與y具體對應(yīng)關(guān)系的就是函數(shù)的性質(zhì)，一般地，中學(xué)數(shù)學(xué)里，描述函數(shù)的性質(zhì)的多數(shù)呈兩種形式：文字語言；函數(shù)的圖像(最具體)。而在函數(shù)的諸多性質(zhì)中，最基本、最能描述函數(shù)大致對應(yīng)關(guān)系的就是“單調(diào)性”。而對函數(shù)的單調(diào)性的研究，教材在“定義法”的基礎(chǔ)上，引進導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)來解決函數(shù)的單調(diào)性，即用 f′(x)的正負(fù)就可得出函數(shù)的單調(diào)性、極值等。

三、本專題課堂復(fù)習(xí)建議

根據(jù)深入研究，筆者認(rèn)為在本專題復(fù)習(xí)中應(yīng)當(dāng)做好如下幾個環(huán)節(jié)。

1.在知識結(jié)構(gòu)的復(fù)習(xí)中要注重厘清單調(diào)性、極值、零點這三個性質(zhì)的邏輯遞進關(guān)系

這是我們教師復(fù)習(xí)過程中最普遍缺失的一個環(huán)節(jié)，導(dǎo)致我們不能很好地理解高考第21題考查中的穩(wěn)定的一些東西，也是我們教師不能精準(zhǔn)概括高考導(dǎo)數(shù)大題特征的原因。在高考試題的設(shè)計中，常把單調(diào)性、極值、零點這三個性質(zhì)看成是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用于解決函數(shù)性質(zhì)的三個環(huán)節(jié)，它們之間存在著過程遞進關(guān)系，高考試題中想考到哪個環(huán)節(jié)是可以靈活選擇和調(diào)整的，但都必須首先解決單調(diào)性，這是試題的變化和不變的原理所在。下面，筆者用圖示的形式，顯示這三個性質(zhì)的邏輯遞進關(guān)系。

2.重視圖形在基礎(chǔ)知識復(fù)習(xí)中的作用，創(chuàng)建二層圖，有利于打通解題思路

四、提出重點解決的環(huán)節(jié)和提供有效的解決方法

1.求導(dǎo)后，首先重視導(dǎo)函數(shù)類型的分析、導(dǎo)函數(shù)的零點的討論，這也是分類討論的起點?？v觀2013年至2017年的新課標(biāo)的導(dǎo)數(shù)大題，大致有兩種類型：

類型一：可因式分解或用求根公式求零點的，如

【2017國2文21】：原函數(shù)：f(x)=(1-x2)ex.→導(dǎo)函數(shù)： f′(x)=(1-2xx2)ex.

這種類型中，只要令 f'(x)=0，就可求出導(dǎo)函數(shù)的零點，從而進一步探求 f'(x)的正負(fù)值區(qū)間。

類型二：不可即刻求根或還含有超越函數(shù)形式的，如

【2015國2理21】：原函數(shù)：f(x)=emx+x2-mx.→導(dǎo)函數(shù)：f'(x)=m(emx-1)+2x.

f'(x)=0這種類型中，令 ，是無法用常規(guī)方法求出導(dǎo)函數(shù)零點，此時，可利用二階求導(dǎo)解決。

2.極值的計算方法，這類題型大概分為兩類：具體值零點和帶參數(shù)不固定零點。

3.找一個大于0(或小于0)函數(shù)值，以判斷根的個數(shù)。

為此，如果我們想在二輪復(fù)習(xí)中讓學(xué)生對“函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用”題目有較好的把握，必須對第1問和第2問做好整體層面的精確概括，讓學(xué)生能把握解決這類題目的一般過程與方法，還要注意在解題過程中可能碰到的難點環(huán)節(jié)找到相應(yīng)的解決辦法，這樣學(xué)生就會目標(biāo)明確，方法得當(dāng)。至少能在考試中取得相應(yīng)的分?jǐn)?shù)，提高得分率。