基于PCE-粒子群算法混凝土重力壩優(yōu)化設(shè)計(jì)

范 鵬

(遼寧省水利水電勘測(cè)設(shè)計(jì)研究院有限責(zé)任公司,遼寧 沈陽(yáng) 110006)

1 概述

重力壩結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)較為復(fù)雜，需要滿足經(jīng)濟(jì)和安全的要求。目前常用的重力壩設(shè)計(jì)方法為數(shù)值模擬[1]和理論計(jì)算[2]的方法，兩者計(jì)算量均較大，設(shè)計(jì)效率較低。因此，有人提出使用代理模型的方法，代替數(shù)值模擬模型進(jìn)行重力壩結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)。目前，較為常用的代理模型方法為克里金插值法；該方法在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方面已經(jīng)有了較多的使用，如液壓閥結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)[3]、土地景觀利用穩(wěn)定性評(píng)價(jià)[4]、鋼橋結(jié)構(gòu)優(yōu)化[5]等方面有較多的使用并取得了較好的效果，使用代理模型進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)是可靠的。粒子群算法是一種優(yōu)化算法，可以較快的速度獲取全局最優(yōu)值，在無(wú)人機(jī)航程規(guī)劃[6]、電磁態(tài)勢(shì)預(yù)測(cè)[7]、水庫(kù)優(yōu)化調(diào)度[8]、植物冠層圖像分割[9]等方面有較多的使用，優(yōu)化方案準(zhǔn)確可靠。

結(jié)合前人研究，提出使用PCE近似模型代替數(shù)值模擬計(jì)算，結(jié)合改進(jìn)粒子群算法對(duì)重力壩結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)進(jìn)行研究。

2 PCE近似模型基本原理

在數(shù)學(xué)上已經(jīng)證明任何函數(shù)盡可以使用多項(xiàng)式進(jìn)行展開，且展開精度是可靠的。使用隨機(jī)展開是一個(gè)隨機(jī)計(jì)算的過(guò)程，可以將系統(tǒng)響應(yīng)近似為隨機(jī)變量的展開，從而對(duì)系統(tǒng)的響應(yīng)規(guī)律進(jìn)行概率統(tǒng)計(jì)。該方法在不確定分析中具有較多的使用。

建立概率空間Ω內(nèi)的一個(gè)不確定模型：

y=Y(x，t)

(1)

式中，x—不確定因素參數(shù)，取值范圍為Ω；定義一個(gè)N組獨(dú)立的不確定因素輸入變量：x=(x1，x2，…，xN)T，第i個(gè)變量邊緣部位的概率密度為：fi(xi);則聯(lián)合概率密度如下：f(x)=f1(x1)f2(x2)…fN(xN)。因此，原模型式(1)可以使用多項(xiàng)式進(jìn)行展開：

(2)

式(2)可簡(jiǎn)化為：

(3)

式中，ξ—滿足隨機(jī)分布的變量形式；a—確定系數(shù)；Φ—P階多項(xiàng)式。

在進(jìn)行多項(xiàng)式展開時(shí)，基函數(shù)是所有變量產(chǎn)生的正交多項(xiàng)式的乘積，滿足正交關(guān)系：

(4)

式中，E—數(shù)學(xué)期望；δ—Kronecher算式。

(5)

前P階多項(xiàng)式階段形式為：

(6)

保留P階多項(xiàng)式計(jì)算方法如下：

(7)

根據(jù)式(4)計(jì)算每一項(xiàng)的展開式

ai(t)=E[Y(x，t)Φi(ξ)]

(8)

可根據(jù)多項(xiàng)式的混沌系數(shù)求取各階矩。

E[y′(x，t)]=a0

(9)

(10)

使用高斯投影法進(jìn)行混沌系數(shù)分配

(11)

式中，ξi1—各個(gè)變量的高斯積分點(diǎn)；ωiN—各變量的權(quán)重。

3 基于PCE理論重力壩設(shè)計(jì)近似模型建立

以實(shí)際工程中遇到的重力壩設(shè)計(jì)為例，選取非溢流斷面作為優(yōu)化設(shè)計(jì)斷面。重力壩設(shè)計(jì)高為25m，頂寬為4.5m。設(shè)計(jì)斷面如圖1所示，澆筑材料見表1。

圖1 重力壩壩體斷面圖

澆筑位置材料號(hào)彈性模量E/GPa泊松比容重/(KN/m3)抗壓強(qiáng)度/MPa抗拉強(qiáng)度/MPa壩體125.50.172013.41.54壩基4200.2525//

根據(jù)表1的澆筑材料參數(shù)屬性，建立關(guān)于重力壩安全系數(shù)、重力壩斷面面積和壩體斷面最大寬度的近似模型。近似模型建立方法如下：使用數(shù)值模擬計(jì)算的方法，確定輸入變量和輸出結(jié)果之間的關(guān)系，選取一種方法進(jìn)行數(shù)學(xué)關(guān)系擬合，對(duì)近似模型的計(jì)算精度進(jìn)行精度檢驗(yàn)，滿足設(shè)計(jì)要求，則可對(duì)新輸入變量所的輸出結(jié)果進(jìn)行預(yù)測(cè)分析。

3.1 樣本點(diǎn)選取

建立近似模型之前，首先需要選取足夠代表性的、均勻分布的樣本點(diǎn)數(shù)據(jù)。目前，選取樣本點(diǎn)常用的方法為拉丁超立方法，使用該方法選取的樣本點(diǎn)具有均勻分布、具有代表性和計(jì)算快速收斂的特點(diǎn)。樣本點(diǎn)選取個(gè)數(shù)的要求如下：當(dāng)變量個(gè)數(shù)為n個(gè)時(shí)，樣本點(diǎn)選取個(gè)數(shù)應(yīng)該大于(n+1)(n+2)/2個(gè)。選取上游邊坡系數(shù)(C1)、下游邊坡系數(shù)(C2)、上游折點(diǎn)度與壩高比值(C3)、下游折點(diǎn)高度與壩高比值(C4)一共4個(gè)變量作為重力壩結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)變量。使用拉丁超立方的方法選取樣本點(diǎn)55個(gè)，用來(lái)建立近似模型，使用15組數(shù)據(jù)進(jìn)行精度檢驗(yàn)。

3.2 重力壩安全系數(shù)、斷面面積、斷面最大寬度近似模型建立

使用ANSYS作為數(shù)值模擬計(jì)算軟件，該軟件是目前較為常用的一種有限元數(shù)值模擬計(jì)算軟件，在各行業(yè)內(nèi)有較為廣泛的使用[10- 11]。使用MATLAB將ANSYS計(jì)算結(jié)果進(jìn)行調(diào)用，獲取壩體安全系數(shù)和輸入變量之間的關(guān)系，根據(jù)上述方法建立近似模型，并進(jìn)行精度檢驗(yàn)。

通常使用下式來(lái)判斷近似模型精度。

δ1=Max{|fi-f|}(i=1，…，N)

(12)

(13)

式中，δ1、δ2—分別代表最大誤差和均方根誤差；N—檢測(cè)點(diǎn)個(gè)數(shù)；i—第i個(gè)檢測(cè)點(diǎn)。

式(12)、式(13)的值越小表示代理模型精度越高。

精度評(píng)價(jià)結(jié)果見表2。

表2 KRIGING代理計(jì)算模型精度評(píng)價(jià)

根據(jù)表2的計(jì)算精度檢驗(yàn)結(jié)果可以得出最大誤差僅為4.13%，均方根誤差為0.23%，近似型精度滿足工程精度要求。可以使用所建立的近似模型代替ANSYS數(shù)值模擬計(jì)算結(jié)果。

4 改進(jìn)粒子群算法基本原理

基礎(chǔ)的粒子群算法具有局部最優(yōu)值的局限性，因此引入交叉因子、學(xué)習(xí)因子和動(dòng)態(tài)慣性因子克服粒子群算法的局限性。

(14)

式中，randj(0，1)—在[0，1]范圍內(nèi)隨機(jī)的一個(gè)數(shù)；jrand—[1，D]范圍內(nèi)隨機(jī)的一個(gè)整數(shù)；p—兩個(gè)粒子之間產(chǎn)生交叉的概率。

計(jì)算完成后對(duì)粒子的最優(yōu)位置進(jìn)行更新，更新結(jié)果如下：

(15)

(2)動(dòng)態(tài)慣性因子

對(duì)于復(fù)雜的問(wèn)題，慣性權(quán)重并非簡(jiǎn)單的按照線性衰減。因此，在進(jìn)行粒子群算法獲取最優(yōu)值時(shí)可以使用動(dòng)態(tài)慣性因子對(duì)粒子群算法進(jìn)行改進(jìn)。計(jì)算動(dòng)態(tài)慣性權(quán)重，需要明確粒子進(jìn)化度和聚合度兩個(gè)含義：

(16)

式中，m—粒子進(jìn)化度；n—粒子聚合度；Pg，i、Pg，i-1—當(dāng)前時(shí)刻全局最優(yōu)值和上一時(shí)刻的歷史全局最優(yōu)值；Ps—粒子群的規(guī)模，即總數(shù)。

慣性權(quán)重是一個(gè)與粒子進(jìn)化度和粒子聚合度密切相關(guān)的參數(shù)，計(jì)算方法如下：

ω=f(m，l)=ω0-0.6m+0.15n

(17)

式中，ω0—初始慣性權(quán)重。

5 PCE-粒子群算法重力壩結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)

5.1 設(shè)計(jì)變量選取

設(shè)計(jì)變量采用向量的形式表示，Z=[C1，C2，C3，C4]，各參數(shù)意義如下：上游邊坡系數(shù)(C1)、下游邊坡系數(shù)(C2)、上游折點(diǎn)高度與壩高比值(C3)、下游折點(diǎn)高度與壩高比值(C4)。

5.2 設(shè)計(jì)變量約束條件

Z1=[0，0.60，0.32，0.86]；Z1=[0.21，0.80，0.66，0.93]；K≥3；D≥25m

(18)

式中，Z1、Z2—分別表示各設(shè)計(jì)變量的最小值和最大值；K—壩體安全系數(shù)；D—壩體橫斷面最大寬度。

5.3 目標(biāo)函數(shù)建立

設(shè)計(jì)目標(biāo)函數(shù)時(shí)需要引入懲罰函數(shù)，懲罰函數(shù)的引入可以加快運(yùn)算速率提高計(jì)算精度。建立新的目標(biāo)函數(shù)如下：

F=f(A)·e[f(a)+f(b)]

(19)

式中，f(a)、f(b)—懲罰函數(shù)；F—建立的新的目標(biāo)函數(shù)。

5.4 壩體結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)

使用MATLAB編寫粒子群算法基于近似模型(PCE)的模型，使用電腦進(jìn)行多次計(jì)算，獲取重力壩結(jié)構(gòu)最優(yōu)設(shè)計(jì)方案，初始設(shè)計(jì)變量值初始和優(yōu)化后的變量取值結(jié)果見3。

表3 結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)優(yōu)化前后各變量參數(shù)

通過(guò)重力壩結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)，在滿足安全系數(shù)的要求下，斷面面積減小率為(337.55-313.6)/474=7.1%。根據(jù)近似模型優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果建立數(shù)值模擬模型，計(jì)算得到安全系數(shù)K=6.51,滿足重力壩安全設(shè)計(jì)要求。

6 結(jié)論

(1)使用PCE方法建立的數(shù)值模擬近似模型具有較高的計(jì)算精度，可以滿足工程設(shè)計(jì)要求，同時(shí)可以有效減少數(shù)值模擬在重力壩設(shè)計(jì)中的計(jì)算量。

(2)使用粒子進(jìn)化度和粒子聚合度對(duì)慣性權(quán)重進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)可以提高粒子群基本算法的穩(wěn)定性；通過(guò)重力壩結(jié)構(gòu)優(yōu)化，斷面面積減小7.1%，具有較好的經(jīng)濟(jì)效益，同時(shí)安全系數(shù)為6.51滿足工程安全要求。