基于卡爾曼濾波的公司債券利差動態(tài)分析

黃杰敏

【摘 要】 文章通過卡爾曼濾波法對交易所市場公司債券收益率期限結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，構(gòu)建了N因素期限結(jié)構(gòu)仿射模型。采用最小二乘法與卡爾曼濾波分析法對影響公司債券收益率利差的宏觀經(jīng)濟(jì)因素、資本市場因素和債券個體因素進(jìn)行綜合分析。研究發(fā)現(xiàn)，用最小二乘法進(jìn)行回歸時，部分因素不顯著;用卡爾曼濾波進(jìn)行影響因素綜合分析時，所有變量均顯著，并且這些影響因素隨時間發(fā)生變化存在一階滯后項。表明基于狀態(tài)空間模型的卡爾曼濾波法很適合對公司債券利差影響因素進(jìn)行綜合分析。

【關(guān)鍵詞】 卡爾曼濾波; 公司債券利差; 綜合分析

【中圖分類號】 F830.9 ?【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】 A ?【文章編號】 1004-5937（2019）15-0116-08

一、利率期限結(jié)構(gòu)研究綜述

國內(nèi)外學(xué)者對公司債券利率期限結(jié)構(gòu)仿射模型進(jìn)行了不同程度的研究，成果很豐富。

國外許多學(xué)者研究發(fā)現(xiàn)三因素模型能較好地擬合觀測數(shù)據(jù)。Dai和Singleton[ 1 ]分析了仿射期限結(jié)構(gòu)模型在結(jié)構(gòu)與擬合優(yōu)度方面的不同，結(jié)果表明這些模型在模擬風(fēng)險因素的相關(guān)性與波動性方面各有優(yōu)劣。他們將N因素仿射模型擴(kuò)展到N+1因素仿射模型，尤其對三因素模型，根據(jù)理論分析及其他學(xué)者的研究，表明三因素模型能更好地擬合歷史利率曲線。Vasicek與Cox等假定瞬時短期利率r（t）是N因素狀態(tài)向量Y（t）的仿射方程，即r（t）=？琢0+ ？琢yY（t），Y（t）服從高斯分布與平方根擴(kuò)散[ 2-3 ]。有學(xué)者將Markov的單因素短期利率模型進(jìn)行擴(kuò)展，引入r（t）的長期隨機(jī)均值？茲（t）與波動率v（t），短期利率仿射模型為dr（t）=（？茲-r（t））dt+■dB（t）。這些模型是在債券定價與利率衍生品基礎(chǔ)上發(fā)展而來的，一些期限結(jié)構(gòu)的文獻(xiàn)做出了很大貢獻(xiàn)，但是期限結(jié)構(gòu)仿射模型在結(jié)構(gòu)與擬合優(yōu)度方面還可以更完善。Duffee[ 4 ]認(rèn)為仿射模型不能很好地預(yù)測國債預(yù)期收益率，假設(shè)收益率服從隨機(jī)游走時預(yù)測效果較好，那些模型失敗的原因在于風(fēng)險補(bǔ)償是風(fēng)險的協(xié)方差，而風(fēng)險補(bǔ)償?shù)淖兓华?dú)立，它與利率波動性相關(guān)，因此提出了本質(zhì)仿射模型。該模型保持了標(biāo)準(zhǔn)模型優(yōu)點，但使得利率風(fēng)險的變化與利率波動性相互獨(dú)立，在預(yù)測未來收益率時具有重要作用。Jong[ 5 ]結(jié)合時間序列與截面信息對期限結(jié)構(gòu)仿射模型進(jìn)行分析，用離散化的連續(xù)時間因素過程進(jìn)行卡爾曼濾波分析，發(fā)現(xiàn)三因素模型能較好地擬合截面與動態(tài)期限結(jié)構(gòu)模型。Duffie和Kan[ 6 ]采用利率期限結(jié)構(gòu)的連續(xù)無套利多因素模型發(fā)現(xiàn)具有固定到期時間的收益率服從隨機(jī)波動的多參數(shù)Markov擴(kuò)散過程，并假設(shè)零息票債券收益率依賴于所選的收益率基礎(chǔ)組，用帶跳躍擴(kuò)散來解決利率期限結(jié)構(gòu)問題。

Longstaff和Schwartz[ 7 ]用簡單方法評估具有違約及利率風(fēng)險的公司債價值（這個方法來自于封閉形式的固定與浮動利率估值模型，模型對債券定價及對沖公司債券風(fēng)險提供了新視角），發(fā)現(xiàn)違約風(fēng)險與利率之間的關(guān)系對信用利差有重要影響，利用公司債券收益數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)信用利差與利率負(fù)相關(guān)，風(fēng)險債券久期依賴于利率，結(jié)果與估值模型結(jié)果一致。并用V代表公司資產(chǎn)總價值，V的動態(tài)變化如下：dv=？滋Vdt+σvdz1，其中σ是常數(shù)，z1是標(biāo)準(zhǔn)維納過程;用r代表短期無風(fēng)險利率，r的動態(tài)變化如下：dr=（？著-？茁r）dt+？琢dz2，？著、？茁、？琢是常數(shù)，z2是標(biāo)準(zhǔn)維納過程，dz1與dz2的瞬時相關(guān)性是dpt。Cox[ 3 ]用一般均衡資產(chǎn)定價模型來研究跨期利率期限結(jié)構(gòu)。在此模型中，預(yù)期、風(fēng)險厭惡、投資選擇及消費(fèi)時機(jī)偏好都影響債券價格，提出了債券價格公式，實證分析表明，它能很好地擬合實際數(shù)據(jù)。Vasicek[ 2 ]采用利率期限結(jié)構(gòu)模型并提出如下假設(shè)：（1）瞬時利率服從擴(kuò)散過程;（2）折價債券價格只依賴于即期利率期限;（3）市場是有效率的。他發(fā)現(xiàn)債券預(yù)期收益率與它的標(biāo)準(zhǔn)差成比例并將這一性質(zhì)用于債券價格偏微分方程。Vasileiou[ 8 ]用到期沒有違約債券的向前概率對違約債券進(jìn)行估值，發(fā)現(xiàn)半馬爾科夫性質(zhì)不變，并研究了信用利差的期限結(jié)構(gòu)，在風(fēng)險溢價假設(shè)下為估計向前轉(zhuǎn)移概率提供一種算法。Lamoureux和Witte[ 9 ]用貝葉斯估計方法對Cox[ 3 ]期限結(jié)構(gòu)模型在時間序列與截面實證分析中的限制條件進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)時間序列對兩因素模型的限制與數(shù)據(jù)一致，而截面對模型的限制與數(shù)據(jù)不一致，三因素模型更顯著，但是對時間序列的擬合效果變差。

在國內(nèi)，范龍振和張國慶[ 10 ]采用卡爾曼濾波法實證分析連續(xù)時間兩因子及廣義高斯仿射利率模型，結(jié)果顯示模型能較好擬合實際利率期限結(jié)構(gòu)，但是利率誤差存在相關(guān)性，說明模型不能很好地描述其時間序列特征。王曉芳等[ 11 ]利用三次樣條函數(shù)建立利率期限結(jié)構(gòu)曲線。范龍振[ 12-13 ]用利率期限結(jié)構(gòu)三因素高斯仿射模型估計上交所國債利率，發(fā)現(xiàn)模型能較好地反映利率變化，并采用卡爾曼濾波和極大似然法估計國債連續(xù)時間的兩因子Vasicek模型。高藝杰[ 14 ]對公司債券利率期限結(jié)構(gòu)進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)公司債券的短期和長期利率具有長久均衡效應(yīng)，和預(yù)期理論一致，但期限不相同的債券之間的傳導(dǎo)不明顯，表明公司債券市場還需進(jìn)一步完善，目前投資者仍喜歡進(jìn)行短期投機(jī)。

國內(nèi)外關(guān)于利率期限結(jié)構(gòu)的研究有很多，國外學(xué)者多采用卡爾曼濾波法及蒙特卡洛法進(jìn)行實證分析，多集中在商品價格期貨與現(xiàn)貨、公司債券定價，也有一些對公司債券收益率利差和債券收益的研究，發(fā)現(xiàn)模型能較好地擬合公司債券定價;國內(nèi)主要是對國債期限結(jié)構(gòu)的研究，發(fā)現(xiàn)期限結(jié)構(gòu)模型能較好擬合國債價格與收益率。目前，國內(nèi)對公司債券期限結(jié)構(gòu)研究非常少。本文主要應(yīng)用卡爾曼濾波法研究上交所與深交所公司債券收益率期限結(jié)構(gòu)。尹文靜[ 15 ]利用卡爾曼濾波時間序列模型研究農(nóng)村公共投資對農(nóng)民生產(chǎn)投資產(chǎn)生的影響，本文借用她的研究方法，采用卡爾曼濾波時間序列模型對影響公司債券收益率利差的主要影響因素進(jìn)行綜合分析。

二、卡爾曼濾波模型的建立

（一）數(shù)據(jù)描述

本文選取深圳證券交易所與上海證券交易的公司債券數(shù)據(jù)，選擇成熟期大于1年的公司債券，因為成熟期小于1年的債券對利率非常敏感。分別選取期限為3年、5年、7年與10年的債券周平均收益率。數(shù)據(jù)描述性統(tǒng)計量見表1。由表1可知長期債券平均收益率小于短期債券平均收益率，從JB統(tǒng)計值可知7年期債券平均收益率不服從正態(tài)分布，其余均服從正態(tài)分布。

（二）期限結(jié)構(gòu)仿射模型的建立

（三）卡爾曼濾波分析過程

卡爾曼濾波是由一系列遞歸數(shù)學(xué)公式、信號方程描述可觀察的債券收益率與不可觀察的狀態(tài)變量之間的關(guān)系，而狀態(tài)方程描述狀態(tài)變量的變化過程?？柭鼮V波的功能很強(qiáng)大，通過觀察數(shù)據(jù)給定狀態(tài)變量初始值，它不但能估計模型隱含的狀態(tài)變量，而且可以結(jié)合極大似然法估計模型的未知參數(shù)。

三、公司債券利差影響因素綜合分析

尹文靜[ 15 ]利用卡爾曼濾波時間序列模型研究農(nóng)村公共投資對農(nóng)民生產(chǎn)投資產(chǎn)生的影響，本文借用她的研究方法，采用卡爾曼濾波時間序列模型對影響公司債券利差的主要因素進(jìn)行綜合分析。前述從宏觀經(jīng)濟(jì)環(huán)境、債券市場、公司個體層面三大方面對公司利差進(jìn)行研究，主要包括CPI、股票綜合指數(shù)、債券綜合指數(shù)、股票特質(zhì)波動率、債券特質(zhì)波動率、公司規(guī)模、公司價值、違約、期限、債券等級、債券收益波動率、發(fā)行量、債券年齡、交易量及交易額等因素。這里沒有把所有因素都包括進(jìn)去，而是選擇顯著的變量，它們具有一定代表性。本節(jié)選取股票綜合指數(shù)、債券綜合指數(shù)、公司規(guī)模、公司價值、違約、期限及債券年齡等因素進(jìn)行分析。

（一）綜合因素模型的建立

本文選擇隨時間變化參數(shù)的狀態(tài)空間模型來分析公司債券利差的影響因素。動態(tài)時變模型能很好地分析影響因素的動態(tài)變化及模型運(yùn)行變量在一段時間內(nèi)的結(jié)構(gòu)性變化，該模型已成功用于利率分析、期貨現(xiàn)貨分析、旅游需求分析等。本文用y表示公司債券利差，用x1、x2、x3…xn表示公司債券利差影響因素。

狀態(tài)空間模型由信號方程與狀態(tài)方程組成，狀態(tài)變量可以通過估計得出。如果狀態(tài)變量是一階馬爾科夫過程，則下一個狀態(tài)只與當(dāng)前狀態(tài)有關(guān)。可以根據(jù)此假設(shè)用卡爾曼濾波法來估計狀態(tài)變量及參數(shù)值?？柭鼮V波是基于最小均方誤差的遞歸優(yōu)化算法，可以將時間序列問題作為狀態(tài)空間模型來處理，系統(tǒng)根據(jù)狀態(tài)方程變化，觀測量是系統(tǒng)狀態(tài)量的線性組合。模型通過前一時間的狀態(tài)估計值與此時的觀測值對當(dāng)前系統(tǒng)狀態(tài)值進(jìn)行最優(yōu)估值，實現(xiàn)遞歸估計過程，實質(zhì)是重新建立系統(tǒng)觀測量的值。

經(jīng)第一次卡爾曼濾波分析，可以得到時間序列的平滑值。平滑是對時間序列從前往后修正估計值。采用整個時間序列信息對歷史值進(jìn)行重新估計。

（二）基于OLS與卡爾曼濾波的實證結(jié)果對比分析

1.描述性統(tǒng)計分析

表2顯示公司債券利差（spread）、企業(yè)商品交易價格指數(shù)（cgpi）、工業(yè)品出廠價格指數(shù)（ppi）、股票市場指數(shù)（hs300）、債券綜合指數(shù)（index）、違約因素（default）、期限因素（term）、公司規(guī)模因素（smbb）、賬面市值比因素（hmlb）及債券年齡因素（age12）的描述性統(tǒng)計量。由各序列的JB值可知，index，default，term，hmlb與age12五個序列在10%置信水平均拒絕原假設(shè)，即這五個序列均為尖峰厚尾，非正態(tài)分布，但spread，cgpi，ppi，hs300與smb序列接受原假設(shè)，即序列服從正態(tài)分布。

2.最小二乘法回歸分析

就宏觀經(jīng)濟(jì)環(huán)境、資本市場、債券個體層面由宏觀到微觀的分析發(fā)現(xiàn)它們對公司債券收益率利差都有重要的影響。選擇企業(yè)商品交易價格指數(shù)、工業(yè)品出廠價格指數(shù)代表宏觀經(jīng)濟(jì)環(huán)境因素，股票市場hs300指數(shù)、債券綜合指數(shù)、違約因素、期限因素、公司規(guī)模因素、賬面市值比因素和債券年齡因素代表資本市場因素與債券個體層面因素。

從表3可以看出，R2=0.9640，接近于1，說明這些因素是影響公司債券收益率利差的主要因素，它們解釋了公司債券收益率利差的絕大部分。企業(yè)商品交易價格指數(shù)在1%的置信水平顯著，系數(shù)為20.2119，表明當(dāng)企業(yè)商品交易價格指數(shù)變動一個單位，則公司債券收益率利差同方向變動20.2119個單位，與公司債券收益率利差正相關(guān)，與原假設(shè)相符。工業(yè)品出廠價格指數(shù)不顯著，股票市場hs300指數(shù)不顯著。債券綜合指數(shù)系數(shù)為8.4864并在5%的置信水平顯著，表明當(dāng)債券綜合指數(shù)變動一個單位，則公司債券收益率利差同方向變動8.4864個單位，與公司債券收益率利差正相關(guān)，符合原假設(shè)。違約因素系數(shù)為0.4044，在5%置信水平顯著，表明當(dāng)違約因素變動一個單位，則公司債券收益率利差同方向變動0.4044個單位，二者正相關(guān)，符合原假設(shè)。期限因素不顯著。公司規(guī)模因素系數(shù)為0.7516，在1%的置信水平顯著，表明當(dāng)公司規(guī)模因素變動一個單位，公司債券收益率利差同方向變動0.7516個單位，二者正相關(guān)，符合原假設(shè)。賬面市值比因素不顯著。債券年齡因素系數(shù)為-0.2612，在1%的置信水平顯著，表明當(dāng)債券年齡因素變動一個單位，則公司債券收益率利差反方向變動0.2612個單位，二者負(fù)相關(guān)，符合原假設(shè)。對于不顯著的因素，推測可能這些影響因素之間存在共線性，或者這些影響因素隨時間而變化，并且他們存在一階或者二階滯后項。因此，用狀態(tài)空間模型建立具有二階滯后項的狀態(tài)空間模型，然后用卡爾曼濾波法進(jìn)行分析。

3.卡爾曼濾波分析

在用卡爾曼濾波進(jìn)行分析時，采用兩階滯后的狀態(tài)變量，但是分析過程中發(fā)現(xiàn)狀態(tài)變量不存在兩階滯后，僅存在一階滯后，對模型進(jìn)行修正后重新進(jìn)行分析，分析結(jié)果如表4所示。由表中結(jié)果可知，企業(yè)商品交易價格指數(shù)的系數(shù)為5.7728，在1%置信水平顯著，與公司債券收益率利差正相關(guān)，接受原假設(shè);工業(yè)品出廠價格指數(shù)的系數(shù)為2.0304，在1%置信水平顯著，與公司債券收益率利差正相關(guān)，符合原假設(shè)。這兩個因素都代表通貨膨脹因素，通貨膨脹因素與公司債券收益率利差正相關(guān)。當(dāng)通貨膨脹增加時，貨幣貶值，意料中的通貨膨脹在合約中已規(guī)定，意料之外的通貨膨脹會使消費(fèi)支出增加，投資減少，公司面對的違約風(fēng)險與信用風(fēng)險增加，從而使得公司債券收益率利差增加。

hs300指數(shù)系數(shù)為-16.0599，在1%置信水平顯著，股票綜合指數(shù)與公司債券利差負(fù)相關(guān)，接受原假設(shè)，與國內(nèi)外學(xué)者研究結(jié)果一致。股指hs300反映了經(jīng)濟(jì)發(fā)展情況，是指示經(jīng)濟(jì)發(fā)展情況的晴雨表，根據(jù)國外學(xué)者的研究，當(dāng)股票市場綜合指數(shù)增加時，經(jīng)濟(jì)情況好轉(zhuǎn)，經(jīng)濟(jì)環(huán)境良好，此時企業(yè)發(fā)展面臨良好的經(jīng)濟(jì)環(huán)境，其信用違約風(fēng)險會大大降低，所以，公司債券利差降低。債券綜合指數(shù)系數(shù)為0.1335，在1%置信水平顯著，債券綜合指數(shù)與公司債券利差正相關(guān)，接受原假設(shè)，與國內(nèi)外學(xué)者研究結(jié)果一致。債券綜合指數(shù)體現(xiàn)整個債券市場收益率情況，它與公司債券收益率是一致的，即當(dāng)債券市場總體收益率增加，公司債券收益率整體上也是增加的，而國債是無風(fēng)險利率，它基本保持不變。因此，公司債券收益率利差也會有所增加。違約因素系數(shù)為0.2664，在1%置信水平顯著，違約與公司債券利差正相關(guān)，接受原假設(shè)，與國內(nèi)外學(xué)者研究結(jié)果一致。違約風(fēng)險是公司債券利差中很重要的一部分，尤其對于投機(jī)級別債券，投機(jī)級別債券信用級別低，違約風(fēng)險很高，收益率也很高，當(dāng)違約風(fēng)險增加時，投資者會要求更高的違約風(fēng)險溢價，因此，公司債券利差也會更高。但是在中國，政府對債券發(fā)行單位信用級別要求較高，在深交所和上交所發(fā)行的債券多為B級以上，迄今為止，中國僅有一家公司違約，且后期該公司債券的本息都將由擔(dān)保公司繼續(xù)給投資者發(fā)放，這也可以解釋為什么違約風(fēng)險溢價在中國公司債券利差中的比重不高。期限因素系數(shù)為0.5625，在1%置信水平顯著，期限因素與公司債券利差正相關(guān)，接受原假設(shè)，與國內(nèi)外學(xué)者的研究結(jié)果一致。債券期限因素是間接反映公司違約風(fēng)險的因素，公司債券期限越長，其違約風(fēng)險會越大，風(fēng)險溢價會越高，公司債券利差會越高;相反，債券期限越短，違約風(fēng)險會相對較小，風(fēng)險溢價會較低，公司債券利差會較低。公司規(guī)模因素系數(shù)為3.3363，在1%置信水平顯著，公司規(guī)模因素與公司債券利差正相關(guān)，接受原假設(shè)，與國內(nèi)外學(xué)者研究結(jié)果相一致。SMB是剔除賬面市值比因素后的公司規(guī)模因素。由公司規(guī)模因素系數(shù)可以看出，此因素是公司債券利差很重要的影響因素。公司規(guī)模越大其違約風(fēng)險會越小，流動性風(fēng)險也會減小，因此其公司債券利差會越小，這解釋了為什么大公司發(fā)行的債券收益率相比小公司偏低。而小公司違約風(fēng)險大，流動性風(fēng)險也大，因此其公司債券利差高，這解釋了小公司之所以發(fā)行高收益率債券的原因。賬面市值比因素的系數(shù)為-0.4378，在1%置信水平顯著，接受原假設(shè)，此結(jié)果與國內(nèi)外學(xué)者實證結(jié)果一致。hml是剔除了公司規(guī)模因素的賬面市值比因素，高B/M型公司為價值型公司，低B/M型公司為成長型公司。成長型公司一般發(fā)展迅速，還不成熟，面臨較大的違約風(fēng)險與信用風(fēng)險，其收益率高，公司債券利差高;而價值型公司已發(fā)展成熟，有穩(wěn)定的現(xiàn)金流量，面臨的違約風(fēng)險與信用風(fēng)險小，但收益率較低，公司債券利差較低。債券年齡因素反映流動性風(fēng)險，系數(shù)為-4.3917，在1%置信水平顯著，債券年齡與公司債券利差負(fù)相關(guān)，接受原假設(shè)，與國內(nèi)外研究結(jié)果一致。債券年齡反映流動性風(fēng)險的大小。當(dāng)公司債券流動性增加，流動性風(fēng)險減小，流動性風(fēng)險溢價減小，公司債券利差會減小;當(dāng)公司債券流動性減小，流動性風(fēng)險增加，流動性風(fēng)險溢價增加，公司債券利差增加。

通過卡爾曼濾波分析本文分別估計出了企業(yè)商品交易價格指數(shù)、工業(yè)品出廠價格指數(shù)、hs300指數(shù)、債券綜合指數(shù)、違約因素、期限因素、公司規(guī)模因素、公司價值因素與債券年齡因素的一階滯后項系數(shù)。說明這些變量都是隨時間而發(fā)生變化的，即存在時變性，并且這些變量存在一階滯后項?？柭鼮V波分析結(jié)果顯著。

由圖1可以看出公司債券利差隨著時間逐漸遞減，到23周時，跌至23周以來的谷底，隨后略有回升，但是后面又繼續(xù)下跌，公司債券利差整體是下跌的。圖2表示根據(jù)當(dāng)前觀測值進(jìn)行的一步向前預(yù)測，預(yù)測顯示第13周公司債券收益率利差升之最高，隨后在第14周回落，后面逐漸平穩(wěn)，但是存在小幅波動，公司債券收益率利差整體下跌。一步向前預(yù)測與觀測值圖1相比，預(yù)測比較粗糙，預(yù)測效果一般。

四、結(jié)論

本文通過卡爾曼濾波法對交易所市場公司債券收益率期限結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，構(gòu)建了N因素期限結(jié)構(gòu)仿射模型。

采用卡爾曼濾波分析法對影響公司債券收益率利差的宏觀經(jīng)濟(jì)因素、資本市場因素和債券個體因素進(jìn)行了綜合分析。分別采用最小二乘法與卡爾曼濾波法進(jìn)行實證分析，研究發(fā)現(xiàn)最小二乘法進(jìn)行回歸時，部分因素不顯著。

之后，采用卡爾曼濾波進(jìn)行影響因素綜合分析，發(fā)現(xiàn)所有均變量顯著，并且這些影響因素隨時間發(fā)生變化，他們都存在一階滯后項?？柭鼮V波分析結(jié)果顯著，其結(jié)果符合預(yù)期，并且與前人的研究結(jié)果一致。因此基于狀態(tài)空間模型的卡爾曼濾波法很適合對公司債券利差影響因素進(jìn)行綜合分析。

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