基于Shearlet變換的自適應(yīng)地震資料隨機(jī)噪聲壓制

童思友 高 航 劉 銳 陳學(xué)國(guó)

(①海底科學(xué)與探測(cè)技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山東青島 266100；②青島海洋科學(xué)與技術(shù)國(guó)家實(shí)驗(yàn)室海洋礦產(chǎn)資源評(píng)價(jià)與探測(cè)技術(shù)功能實(shí)驗(yàn)室，山東青島 266061；③中國(guó)石油化工股份有限公司勝利油田分公司，山東東營(yíng) 257100)

0 引言

地震資料的隨機(jī)噪聲通常源于儀器、環(huán)境及信號(hào)采集時(shí)的諸多因素，降低了地震資料的信噪比和分辨率[1]。壓制隨機(jī)噪聲的主要目的是分離有效信號(hào)與噪聲及保持有效信號(hào)的波形[2]。根據(jù)有效信號(hào)和噪聲在視速度、頻率等方面的差異，相繼出現(xiàn)了F-X反褶積、Radon變換、小波分析、模態(tài)分解等去噪方法[3-6]。近年來(lái)，小波變換以優(yōu)越的時(shí)頻聚焦特性迅速?gòu)臄?shù)學(xué)、信號(hào)處理拓展到各個(gè)領(lǐng)域，但其在一維信號(hào)的優(yōu)良特性并不適用于高維，對(duì)方向的不敏感使信號(hào)表征存在局限[7-8]。

隨著多尺度幾何分析方法的不斷發(fā)展、成熟，逐漸用于地震勘探領(lǐng)域，為高保真去噪提供了豐富的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)及新思路。多尺度幾何分析也稱多分辨率分析[9]，最早由Rosenfeld等提出，具有多分辨率、局部化、多方向性及各向異性等特征，可更好地表征信號(hào)的局部特征，并實(shí)現(xiàn)信號(hào)的稀疏表示，在去噪和壓縮方面具有明顯優(yōu)勢(shì)。近年來(lái)相繼出現(xiàn)了Ridgelet[10]、Curvelet[11]、Contourlet[12]、Shearlet[13]等變換的多尺度幾何分析方法，其中Shearlet變換以優(yōu)越的多分辨率特性在中國(guó)發(fā)展迅速，已廣泛用于圖像處理領(lǐng)域，并取得了良好效果[14-17]。同樣，Shearlet變換的多分辨率、多方向性等特性在地震數(shù)據(jù)去噪中也獲得較好的應(yīng)用效果[18-20]。

Shearlet變換通過(guò)對(duì)變換系數(shù)設(shè)定閾值約束分離信噪，其中閾值函數(shù)至關(guān)重要。目前常用的閾值函數(shù)對(duì)多尺度、多方向的Shearlet變換局限性很大，會(huì)造成噪聲壓制不徹底或損失有效信號(hào)等問(wèn)題。為此，本文將信噪比與閾值函數(shù)有機(jī)關(guān)聯(lián)，在不同尺度下基于信噪比約束自適應(yīng)求取閾值，實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)去噪。在保證有效信號(hào)不受損失的情況下，恢復(fù)被噪聲掩蓋的弱信號(hào)，有效地改善去噪效果。

1 方法原理

1.1 Shearlet變換

Shearlet變換[21]是通過(guò)特定形式的合成膨脹仿射系統(tǒng)構(gòu)造的一種多尺度幾何分析工具，是小波變換的高維擴(kuò)展，具有接近最優(yōu)的非線性誤差逼近性能，數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)，計(jì)算復(fù)雜度低。Shearlet變換由拉普拉斯金字塔變換和方向?yàn)V波器組構(gòu)成。設(shè)

式中：A為尺度矩陣，根據(jù)拋物尺度準(zhǔn)則劃分尺度，其中a>0為尺度參數(shù)；B為剪切矩陣，進(jìn)行方向剖分，其中s(整數(shù))為剪切參數(shù)。令j、l、k分別代表尺度、方向和系數(shù)位置序號(hào)，則由j、l、k定義的實(shí)數(shù)域連續(xù)可積函數(shù)為

ψj,l,k(x)=|detA|j/2ψ(BlAjx-k)

(1)

x為自變量。若使ψ滿足Parseval框架，則信號(hào)函數(shù)f∈L2(R2)的連續(xù)Shearlet變換為

SHf(j,k,l)=〈f,ψj,l,k〉

(2)

通過(guò)對(duì)參量j、l、k的控制實(shí)現(xiàn)不同尺度、不同方向的剖分，該過(guò)程相當(dāng)于由平移、伸縮、旋轉(zhuǎn)后的基函數(shù)逼近信號(hào)函數(shù)。在頻域中，每一對(duì)Shearlet基函數(shù)都有一對(duì)楔形支撐區(qū)間，隨尺度因子變小而變窄(圖1)。

圖1 Shearlet基函數(shù)頻域支撐區(qū)間(據(jù)文獻(xiàn)[8]修改)

1.2 利用Shearlet變換壓制隨機(jī)噪聲

1.2.1 Shearlet變換去噪原理

根據(jù)Shearlet變換的多尺度、多方向性特點(diǎn)，地震數(shù)據(jù)經(jīng)過(guò)Shearlet變換會(huì)得到一系列不同尺度、不同方向的Shearlet系數(shù)。若Shearlet基函數(shù)的方向越逼近有效信號(hào)，則Shearlet系數(shù)越大；若基函數(shù)的方向與信號(hào)方向偏差越大，則Shearlet系數(shù)越小。由于隨機(jī)噪聲不具有方向性，所以經(jīng)Shearlet變換后所得系數(shù)較小。利用閾值函數(shù)去掉較小的Shearlet系數(shù)，保留較大的部分，就能壓制隨機(jī)噪聲，再進(jìn)行Shearlet反變換得到去噪后的記錄。獲得Shearlet系數(shù)的流程(圖2)為： ①利用拉普拉斯金字塔變換多尺度剖分信號(hào)，得到低、高頻子帶；②進(jìn)行多方向分解，并在高頻子帶的偽極坐標(biāo)進(jìn)行傅里葉變換；③用Meyer函數(shù)濾波步驟②得到的結(jié)果；④對(duì)低頻子帶循環(huán)進(jìn)行步驟①～③；⑤在笛卡爾坐標(biāo)系對(duì)濾波數(shù)據(jù)進(jìn)行快速傅里葉反變換，得到Shearlet變換系數(shù)。

圖2 Shearlet變換流程

1.2.2 自適應(yīng)閾值函數(shù)

在閾值類(lèi)去噪方法中，閾值選取和閾值函數(shù)設(shè)計(jì)直接影響去噪效果。傳統(tǒng)的閾值選取方法是對(duì)所有變換域系數(shù)使用統(tǒng)一閾值，但對(duì)Shearlet變換而言，各尺度、各方向的有效信號(hào)和噪聲均存在差異，因此全局硬閾值存在一定局限性[22-23]。局部閾值則根據(jù)一定范圍內(nèi)的系數(shù)分布情況確定。本文在局部閾值的基礎(chǔ)上改進(jìn)貝葉斯閾值，形成一種適用于Shearlet變換的自適應(yīng)閾值函數(shù)。

貝葉斯閾值是Chang等[24]利用小波系數(shù)的廣義高斯分布提出的一種具有自適應(yīng)性的閾值函數(shù)，其公式為

(3)

(4)

式中σn由中值估計(jì)法得到

(5)

(6)

(7)

σd為Shearlet系數(shù)的均方根；S(j,l,k)為Shearlet系數(shù)；n為某尺度、某方向Shearlet系數(shù)的個(gè)數(shù)。式(4)由不同尺度、不同方向的σn、σs及λj共同確定，λj與信噪比相關(guān)

(8)

SNR(j)為不同尺度Shearlet系數(shù)單獨(dú)構(gòu)成的地震信噪比，由相鄰地震道互相關(guān)求得

(9)

式中：Qi,i+1為第i道和第i+1道互相關(guān)函數(shù)最大值；Qi,i(0)為第i道自相關(guān)函數(shù)最大值；N為道數(shù)。

確定閾值后即可調(diào)節(jié)Shearlet系數(shù)

(10)

式中S、Snew分別為閾值處理前、后的Shearlet系數(shù)。自適應(yīng)閾值函數(shù)方法通過(guò)將信噪比作為閾值設(shè)定的因素，即不同信噪比的權(quán)值系數(shù)不同，可以自適應(yīng)求取不同尺度閾值，最大限度地改善去噪效果，避免有效信號(hào)損失。

2 模型試算與實(shí)際資料應(yīng)用

2.1 模型試算

為測(cè)試Shearlet變換自適應(yīng)閾值方法(下稱本文方法)的去噪效果，首先進(jìn)行模擬數(shù)據(jù)試算。圖3展示了模擬單炮記錄去噪效果。由圖可見(jiàn)：采用全局硬閾值方式的Curvelet變換方法雖然去除了大部分高斯隨機(jī)噪聲，但仍有部分殘留，效果不佳(圖3c)；Shearlet變換全局閾值方法去噪效果較明顯，基本壓制了高斯隨機(jī)噪聲(圖3d)；本文方法去噪結(jié)果的信噪比進(jìn)一步提高(圖3e)。

表1展示了不同方法去噪前、后信噪比，可以看出本文方法的去噪效果更好。圖4為不同方法去噪前、后的殘差剖面。由圖可見(jiàn)：采用Curvelet變換全局閾值(圖4a)、Shearlet變換全局閾值(圖4b)去噪方法在深度較大的位置(紅圈區(qū)域)造成有效信號(hào)損失，信號(hào)的保真度較低；采用本文方法去噪的殘差剖面上不存在有效信號(hào)(圖4c)，去噪結(jié)果(圖3e)與模擬單炮記錄(圖3a)基本一致。

表1 不同方法去噪前、后信噪比

2.2 實(shí)際資料應(yīng)用

為進(jìn)一步檢驗(yàn)本文方法的有效性，選取A區(qū)陸地三維地震資料測(cè)試隨機(jī)噪聲壓制效果。該區(qū)的偏移地震數(shù)據(jù)雖經(jīng)過(guò)初步處理，但仍含有較強(qiáng)隨機(jī)噪聲，致使目標(biāo)層局部有效弱信號(hào)被噪聲淹沒(méi)。圖5為Inline 100629剖面Shearlet變換不同尺度的地震記錄。由圖可見(jiàn)，不同尺度的有效信號(hào)與噪聲分布存在差異(即信噪比不同)，因此采用傳統(tǒng)的閾值方法去噪存在局限性。截取Inline 100629剖面中深部區(qū)域(圖6a的黑框區(qū)域)進(jìn)行去噪，圖6為實(shí)際地震記錄去噪效果。由圖可見(jiàn)：經(jīng)各種方法去噪后隨機(jī)噪聲得到有效壓制、信噪比得到提高，其中Shearlet變換全局閾值(圖6d)較Curvelet變換全局閾值(圖6c)的去噪效果好，局部弱信號(hào)得到恢復(fù)(紅圈區(qū)域)，但部分有效信號(hào)仍受噪聲干擾，去噪效果不佳；經(jīng)本文方法去噪后，弱信號(hào)更清晰、連續(xù)，明顯提高了信噪比(圖6e)。圖7為Shearlet變換信噪比改善程度—閾值曲線。由圖可見(jiàn)：傳統(tǒng)全局硬閾值求取方法采用黑色豎線與各尺度曲線交點(diǎn)處的值作為閾值，沒(méi)有考慮各尺度的信噪特征；圖中4條曲線的標(biāo)注點(diǎn)對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)數(shù)值為本文方法確定的閾值。

圖4 不同方法去噪前、后的殘差剖面

圖5 Inline 100629剖面Shearlet變換不同尺度的地震記錄

圖6 實(shí)際地震記錄去噪效果

圖7 Shearlet變換信噪比改善程度—閾值曲線

本文方法通過(guò)求取各尺度分量的信噪比，并將其作為約束條件，獲得符合多尺度、多分辨率特征的閾值，去噪記錄保真度更高。

為了更好地體現(xiàn)本文方法的自適應(yīng)性，圖8給出了Inline 100629剖面不同方法去噪前、后的殘差剖面。由圖可見(jiàn)：采用Curvelet變換全局閾值(圖8a)、Shearlet變換全局閾值(圖8b)去噪方法雖然有效地壓制了噪聲，但由于受各尺度閾值設(shè)定的單一性限制，去噪程度基本一致；本文方法處理的殘差剖面中出現(xiàn)較明顯的弱能量區(qū)(紅圈區(qū)域)，這是由于目標(biāo)層有效信號(hào)區(qū)域的初始信噪比較高(紅圈區(qū)域中與有效信號(hào)混在一起的隨機(jī)噪聲已得到初步壓制)所致，意味著采用本文方法的去噪效果不明顯，充分體現(xiàn)了去噪的自適應(yīng)特點(diǎn)。

圖8 Inline 100629剖面不同方法去噪前、后的殘差剖面

表2為不同區(qū)域去噪前、后信噪比。由表可見(jiàn)，原始剖面中信噪比不同的區(qū)域使用本文方法去噪后信噪比基本相同，這也說(shuō)明自適應(yīng)閾值函數(shù)通過(guò)計(jì)算局部信噪比約束去噪效果，可避免有效信號(hào)的損失，使剖面質(zhì)量明顯提高。

表2 不同區(qū)域去噪前、后信噪比

3 結(jié)束語(yǔ)

Shearlet變換作為一種多尺度幾何分析新方法，較小波變換等傳統(tǒng)信號(hào)分析方法具有更多優(yōu)良特性，且運(yùn)算效率高。另外，針對(duì)地震數(shù)據(jù)去噪過(guò)程中傳統(tǒng)全局閾值方法的局限性，本文通過(guò)改進(jìn)自適應(yīng)閾值函數(shù)壓制隨機(jī)噪聲，在模型試算與實(shí)際資料應(yīng)用中取得了滿意的去噪效果，驗(yàn)證了方法的可行性和有效性。

尚需指出，目前Shearlet變換自適應(yīng)閾值方法僅利用了Shearlet變換的多方向、多分辨率特性，其優(yōu)良的稀疏特性同樣值得進(jìn)一步探索并用于地震數(shù)據(jù)處理領(lǐng)域，如嘗試將Shearlet變換稀疏性與壓縮感知理論結(jié)合，以期得到更好的去噪或拓頻方法等。

在模型試算與實(shí)際地震資料處理中使用了中國(guó)石油集團(tuán)東方地球物理公司提供的GeoEast軟件，在此表示感謝。