自適應(yīng)步長(zhǎng)FISTA算法稀疏脈沖反褶積

潘樹(shù)林 閆 柯 李凌云 蔣從元 石林光

(①西南石油大學(xué)地球科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，四川成都 610500；②中國(guó)石油西南油氣田分公司,四川成都 610051；③勝利油田分公司物探研究院，山東東營(yíng) 257000；④四川職業(yè)技術(shù)學(xué)院電子電氣工程系,四川遂寧 629000)

0 問(wèn)題的提出

稀疏脈沖反褶積是目前較為常用的提高地震資料分辨率的方法，其目的是利用帶限的地震記錄反演地下反射系數(shù)，從而得到高分辨率的地震數(shù)據(jù)[1-2]。稀疏脈沖反褶積的原理是在傳統(tǒng)的最小二乘反褶積的基礎(chǔ)上，加上一個(gè)稀疏先驗(yàn)約束項(xiàng)，通過(guò)求解L2范數(shù)與L1范數(shù)之和形式的目標(biāo)函數(shù)得到高分辨率的反演結(jié)果[3-4]。

基追蹤[5]方法利用Nesterov[6-8]提出的近端梯度的概念，使用二次函數(shù)近似表示目標(biāo)函數(shù)，最終利用梯度法求解。該方法具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、實(shí)現(xiàn)容易、計(jì)算效率高等特點(diǎn)，是主流求解方法。

FISTA算法是Beck等[9]提出的基追蹤方法，用于求解具有復(fù)合結(jié)構(gòu)函數(shù)的最值

(1)

式中：F(x)為具有復(fù)合結(jié)構(gòu)的目標(biāo)函數(shù)，x為反射系數(shù)向量；f(x)為具有Lipschitz連續(xù)梯度的凸函數(shù)；φ(x)為在可行域Q上不可微的凸函數(shù)。根據(jù)Nesterov[6-8]提出的近端梯度法，式(1)對(duì)應(yīng)的近端算子可以寫(xiě)作

(2)

式中x,y∈R，y為x的近似值。由式(2)可以看出，Nesterov[6-8]采用二次函數(shù)近似式(1)的f(x)，通過(guò)求解式(2)迭代求解式(1)。式(2)的常數(shù)L即為內(nèi)部梯度的步長(zhǎng)，它決定了FISTA算法的收斂度。通常無(wú)法準(zhǔn)確給出L，F(xiàn)ISTA算法采用線性搜索方法尋找最佳L[10]。然而，線性搜索只能使L朝著增大的方向搜索，嚴(yán)重影響了FISTA算法的收斂性。線性搜索算法的主要缺點(diǎn)為：①當(dāng)L的初始估計(jì)值L0大于實(shí)際值時(shí)，整個(gè)迭代過(guò)程的L偏大，無(wú)法快速收斂[11]；②當(dāng)函數(shù)f(x)的局部曲率在初始迭代點(diǎn)附近較大，但在最優(yōu)點(diǎn)附近減小時(shí)，如果L一直偏大，很可能導(dǎo)致“周波跳躍”而無(wú)法收斂。

針對(duì)上述問(wèn)題前人進(jìn)行了研究[12-16]，但效果不好。為此，本文提出了一種改進(jìn)的自適應(yīng)步長(zhǎng)FISTA方法，在沒(méi)有外部參數(shù)調(diào)整的情況下仍能夠求解，并利用實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了方法的可靠性。

1 FISTA方法原理

時(shí)間域矩陣形式的稀疏脈沖反褶積的目標(biāo)函數(shù)為[17]

(3)

式中：S為地震記錄向量；W為由地震子波組成的矩陣；λ為正則化參數(shù)變量。式(3)前半部分為最小二乘約束項(xiàng)，代表通過(guò)褶積模型生成的地震記錄與實(shí)際地震記錄的相似程度，后半部分為數(shù)據(jù)的稀疏先驗(yàn)項(xiàng)。

根據(jù)前文所述，式(3)可以利用FISTA算法求解，其求解過(guò)程如圖1所示。由于采用線性搜索的方法，常數(shù)L只能沿著增大的方向變化，因此L的初始值決定了算法的收斂度，從而造成FISTA算法的不可控性。

圖1 FISTA計(jì)算流程圖

2 自適應(yīng)步長(zhǎng)FISTA方法原理

當(dāng)常數(shù)L不變時(shí)，輔助序列tk+1與L無(wú)關(guān)，可以直接由下式確定[18]

(4)

為了能夠滿足理論上的收斂性，構(gòu)造一個(gè)新的輔助序列，該輔助序列不僅只由tk和tk+1決定，還與前、后兩次迭代的常數(shù)Lk和Lk+1有關(guān)，即

(5)

由此，結(jié)合FISTA算法和式(5)可以得到一種自適應(yīng)步長(zhǎng)的改進(jìn)算法(下文簡(jiǎn)稱改進(jìn)算法)，算法流程如圖2所示。改進(jìn)算法在不同模型下均可取得滿意的計(jì)算效果。通過(guò)對(duì)比FISTA算法流程(圖1)和改進(jìn)算法流程(圖2)可知，在每次迭代中，當(dāng)L不滿足F[pLk(yk)]≤QLk[pLk(yk),yk]時(shí)： ①圖1通過(guò)Lk=nLk-1線性增大常數(shù)L，而在下一次迭代中直接使用Lk。②圖2則在每次迭代中，仍通過(guò)Lk=bLk-1線性增大常數(shù)L，但是在下一次迭代前，先通過(guò)Lk=aLk-1收縮L，然后利用收縮后的Lk進(jìn)行后續(xù)迭代；與此同時(shí)，在每一次迭代過(guò)程中，利用前、后兩次迭代常數(shù)L的信息更新輔助序列tk，使其在理論上可收斂。

圖2 自適應(yīng)步長(zhǎng)FISTA方法流程圖

其中01。a為收縮因子，在每一次迭代前收縮常數(shù)L，b為放大因子，在每一次迭代中放大常數(shù)L。參數(shù)a，b的取值對(duì)計(jì)算結(jié)果影響較小，經(jīng)實(shí)驗(yàn)得a=0.7、b=2.0

3 理論模型分析

為了驗(yàn)證改進(jìn)算法的稀疏脈沖反褶積效果，首先合成一個(gè)理論模型(圖3)，分別利用FISTA算法和改進(jìn)算法對(duì)理論模型進(jìn)行稀疏脈沖反褶積。分兩種情況進(jìn)行計(jì)算：①初始輸入常數(shù)L值過(guò)大，L=10L0(圖4)；②初始輸入常數(shù)L值過(guò)小，L=0.3L0(圖5)。整個(gè)過(guò)程中取a=0.7、b=2.0。

由圖4可見(jiàn)：當(dāng)初始L過(guò)大時(shí)，改進(jìn)算法反褶積效果優(yōu)于傳統(tǒng)基于FISTA算法(圖4a)；當(dāng)初始L過(guò)大時(shí)，傳統(tǒng)方法無(wú)法調(diào)整L的大小，改進(jìn)算法能夠自適應(yīng)地調(diào)整L(圖4b)；在相同迭代次數(shù)的情況下，由于常數(shù)L的調(diào)整使改進(jìn)算法收斂度遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于傳統(tǒng)方法(圖4c)。由圖5可見(jiàn)：當(dāng)初始L過(guò)小時(shí)，改進(jìn)算法與傳統(tǒng)方法計(jì)算過(guò)程大致相同，因此改進(jìn)算法的計(jì)算效果與傳統(tǒng)算法的差異不大(圖5a)；改進(jìn)算法在相同迭代次數(shù)下，收斂度略高于傳統(tǒng)算法(圖5b、圖5c)。

采用帶隨機(jī)噪聲的數(shù)據(jù)進(jìn)一步測(cè)試算法效果。在理論合成地震記錄(圖3c)中加入隨機(jī)噪聲，得到了一個(gè)低信噪比理論模型(圖6)，對(duì)該資料分別使用過(guò)大和過(guò)小L值進(jìn)行反演，獲得不同方法反褶積結(jié)果(圖7)?？梢?jiàn)，基于傳統(tǒng)FISTA的稀疏脈沖反褶積方法在低信噪比情況下無(wú)法得到準(zhǔn)確的反褶積結(jié)果，由改進(jìn)算法能得到較準(zhǔn)確的反褶積結(jié)果。上述分析進(jìn)一步證明了改進(jìn)方法具有更好的收斂性，能在不同信噪比下得到理想的反演結(jié)果，較常規(guī)FISTA算法具有更好的抗噪能力。

圖3 理論模型

圖4 初始L過(guò)大時(shí)反褶積結(jié)果

圖5 初始L過(guò)小時(shí)反褶積結(jié)果

圖6 含噪聲理論模型

圖7 不同方法反褶積結(jié)果(SNR=3.85dB)

4 實(shí)際數(shù)據(jù)處理

選取吐哈盆地雁木西北部地震資料測(cè)試改進(jìn)算法的適用性[19-20]。圖8為雁木西T3井區(qū)Line 299測(cè)線地震剖面，可見(jiàn)地震分辨率較低，無(wú)法滿足精細(xì)解釋的需求。為此，分別采用基于傳統(tǒng)FISTA算法的稀疏脈沖反褶積以及改進(jìn)算法對(duì)圖8數(shù)據(jù)進(jìn)行高分辨率處理。由處理結(jié)果可見(jiàn)： 在相同的時(shí)間段內(nèi)，改進(jìn)算法反褶積結(jié)果(圖9b)的同相軸數(shù)目較FISTA算法(圖9a)多；經(jīng)過(guò)基于FISTA算法的稀疏脈沖反褶積以及改進(jìn)算法處理的地震資料的分辨率都得到提升，但是后者的頻帶更寬(圖10)、細(xì)節(jié)刻畫(huà)更清楚(圖11c)，利于高精度構(gòu)造解釋。

圖8 雁木西T3井區(qū)Line 299測(cè)線地震剖面

圖9 反褶積剖面

圖10 圖9數(shù)據(jù)的頻譜

5 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了一種基于自適應(yīng)步長(zhǎng)FISTA算法的稀疏脈沖反褶積方法，該方法在FISTA算法的基礎(chǔ)上，通過(guò)在每一次迭代之前適當(dāng)減小常數(shù)L，然后利用線性搜索的方式尋找最優(yōu)的常數(shù)L，以達(dá)到自適應(yīng)調(diào)整L的目的。為了使算法達(dá)到理論收斂，通過(guò)結(jié)合前、后兩次的L，對(duì)傳統(tǒng)FISTA算法的輔助序列進(jìn)行修改，最終使整套算法在理論上得以收斂。理論模型與實(shí)際地震資料的處理、分析結(jié)果表明，改進(jìn)方法具有更好的收斂性，能在不同信噪比下得到理想的反演結(jié)果，較常規(guī)FISTA算法具有更強(qiáng)的抗噪能力。

圖11 圖9的局部放大