基于隨機介質理論分析盾構隧道開挖引起的地表沉降

張 府， 陳有亮， 李 林

(1.上海理工大學 環(huán)境與建筑學院， 上海 200093； 2.上海隧道股份有限公司， 上海 200082)

1 研究背景

近年來，隨著城市化的進程，大量的人口涌入城市，交通擁堵作為一個嚴峻的問題受到廣泛關注。各大城市紛紛修建地鐵及交通隧道來緩解交通壓力，而盾構法是城市隧道開挖常用的一種方法。地鐵隧道的開挖必定會擾動周圍的土體，尤其是在城市中，建筑物密集，地下與地上環(huán)境復雜。為了減小對開挖隧道周圍土體環(huán)境及建筑物的影響，合理控制隧道開挖引起的上部土體變形和沉降，必須對開挖引起的地表沉降進行有效地預測，進而采取積極的預防措施。

針對盾構法施工引起的地表位移，國內外常用的預測地表沉降的方法有：以Peck公式為主的經驗法[1]、有限單元法[3]、理論分析法[5]、模型試驗法[6]等。隨機介質理論是近年來計算隧道開挖引起地表沉降常用的方法之一。20世紀50年代，波蘭學者Litwiniszyn[7]通過煤層以及地表移動研究，基于沙箱模型試驗，應用嚴密的數學方法，提出五大公理，進而建立了隨機介質理論，該理論在采礦工程中得到了廣泛應用，劉寶琛等[8]將此理論應用到煤礦地表移動及變形的規(guī)律。陽軍生等[9]將隨機介質理論擴展到城市隧道開挖引起的地表移動和變形計算，并分析了不同隧道施工方法引起地表位移的計算。施成華[10]將此理論應用到地鐵隧道施工引起的地表沉降和變形研究，并對多種隧道施工工況下地層變形進行了研究，分析了任意斷面收斂模式的橫向地表沉降及縱向沉降預測問題。韓煊等[11]通過反分析的方法，對隨機介質理論所需的兩個主要參數提出了簡便高效的工程確定方法。劉波等[12]將隨機介質理論應用到雙線平行隧道開挖引起的地表變形預測。Yang等[13]提出了適用于單線和雙線隧道的隨機介質理論簡化理論。胡斌等[14]運用隨機理論簡化公式，基于地表沉降數據，通過反分析得到斷面收斂面積與主要影響角，并分析了兩個計算參數與上覆巖土黏聚力和內摩擦角的關系，提出了相應的確定方法。魏綱等[15]針對雙線水平隧道建立了修正的隨機介質理論方法， 并考慮了先行隧道和后行隧道參數取值不同的情況。傅鶴林等[16]在極坐標系中推導了在偏壓地形中，淺埋隧道開挖引起的地表沉降。

2 隨機介質理論及簡化

隨機介質理論假設地層沉降是由于隧道收斂變形而引起的，將整個隧道斷面的開挖等效成無限多個開挖單位的開挖，通過積分方法計算開挖單元對上部地層影響的總和，進而得到地層位移。對于地層采用整體坐標系(x,y,z)，對于隧道開挖部分采取局部坐標系(ξ,ζ,η)，如圖1所示。

圖1 單元開挖示意圖

由于單元dξdζdη開挖引起的距離開挖單元(x,y)的地表某一點的沉降We(x,y)表達式為：

(1)

式中:r(z)為單元開挖在z水平上的主要影響范圍；x為地面任一點到開挖單元的水平距離；y為地面任一點到開挖單元的垂直距離。

對于單元開挖沿隧道方向無限長時，可將其按平面應變問題進行考慮。則單元開挖引起的地表沉降為：

(2)

式中:β為上部巖層主要影響角。

根據Knoth提出的經驗公式tanβ=z/r(z)，其含義如圖2所示。

圖2 主要影響角和影響半徑

假定整個隧道斷面開挖區(qū)Ω內的每一個單元開挖后完全塌落，則根據疊加原理得到此時的地表沉降為:

(3)

隧道開挖初始斷面為Ω，隧道建成后的開挖斷面由Ω收斂為ω，如圖3所示。

圖3 隧道開挖示意圖

根據疊加原理可知，地表最終沉降為開挖范圍Ω引起的沉降與開挖范圍ω引起的沉降之差：

W(x)=WΩ(x)-Wω(x)

(4)

(5)

式中:積分的上下限a、b、c、d為隧道斷面收斂前的積分界限；e、f、g、h為隧道斷面收斂后的積分界限。

在隨機介質理論研究中，大多假定隧道開挖產生的收斂模式為均勻收斂，即隧道開挖后四周向開挖中心產生均為ΔR的變形。然而，實際工程中隧道的收斂模式受多種因素的影響，如土層分布、注漿壓力、施工方法等，隧道開挖后實際的收斂模式并不是均勻的。因此，有的學者假定隧道開挖后產生的收斂為不均勻收斂。由于地層損失而發(fā)生均勻收縮，在重力的作用下產生下沉，收斂后的隧道斷面與初始斷面為兩圓相切的現(xiàn)象，即隧道頂部下沉高度為2ΔR，隧道底部的隆起為0，此類收斂模式又稱為單間隙模式。

除單間隙模式以外，還有雙間隙模式以及綜合考慮隧道收斂和下沉的不均勻收斂模式。

根據隧道產生均勻收斂和不均勻收斂模式的不同，隧道開挖前后的積分界限如表1所示。

表1 均勻與不均勻收斂積分界限

根據Yang等[13]提出的隨機介質理論簡化理論，可得到簡化公式為：

W(x)=WΩ(x)-Wω(x)

(6)

式中:R為隧道開挖半徑;r為收斂后隧道半徑;z為隧道埋深;ΔA為隧道斷面收斂面積。

根據韓煊等[17]對不同收斂模式和不同埋深的隧道開挖產生地表變形進行分析的結果，隧道開挖斷面不均勻收斂計算的地表沉降大于均勻收斂模式，且二者的計算結果差異隨著隧道埋深的增加逐漸減小，即埋深越大，隧道斷面的收斂模式對地表沉降的影響越小。在隧道的相對埋深為5時，二者計算差異略小于10%，且兩種收斂模式計算的最大誤差不超過20%。因此公式(6)的簡化是可行的。

在隧道開挖導致的地表變形實測數據的基礎上，通過反分析得到隨機介質理論法的兩個關鍵參數，即隧道收斂面積ΔA和主要影響角的正切值tanβ。通過分析這兩個參數與實際工程易測得的數據(如埋深和土體力學參數等)的關系，提出簡單有效的工程確定方法，可以大大提高隨機介質理論法的應用。

3 本文研究方法

本文在隧道開挖導致的地表變形實測數據的基礎上，利用Matlab程序，根據lsqcurvefit函數進行最小二乘擬合，反分析計算得到隨機介質理論簡化公式的兩個主要參數，主要影響角的正切值tanβ以及隧道斷面收斂面積ΔA，進而分析這兩個主要參數與其他工程數據的關系，找到簡單有效的工程確定方法。

從主要影響角的定義可以得知，主要影響角β控制地表沉降槽i的寬度。長期以來，國內外許多學者對沉降槽寬度i的規(guī)律進行了研究，并提出了各種有效的計算公式。韓煊等[17]通過對國內外的相關研究成果進行歸納總結，將關于地表沉降槽寬度的公式分成了以下4類：

(1)第1類公式：i與隧道的絕對埋深有關，與此同時在公式中加入土的強度參數；

(2)第2類公式：i與隧道的相對埋深成冪函數的關系；

(3)第3類公式：i是關于隧道半徑和隧道絕對埋深的線性函數；

(4)第4類公式：i僅是關于隧道絕對埋深的線性函數。

通過對照上述公式及發(fā)表的年代，只有Loganathan[18]采用的是第2類公式，其它基本都隨著時代的變化，i的計算公式從第1類演變?yōu)榈?、第3、第4類公式，且處于不斷簡化的趨勢。

因此，在基于隧道開挖導致地表變形的實測數據經反分析得到的主要參數ΔA和tanβ的結果上，對兩個參數與隧道埋深或相對埋深之間的關系進行分析。

4 工程實例

本文以虹梅南路隧道先行開挖西線工程的地表沉降實測數據為例進行分析。隧道全長5 260 m，采用盾構法隧道和明挖順做法進行主要結構的施工，其中盾構法施工的隧道長3 390 m。隧道盾構段采用直徑為14.93 m的泥水平衡盾構機進行施工，下埋隧道外徑為14.5 m。隧道中心埋深18～52.2 m。西線工程共有45個監(jiān)測斷面，每個監(jiān)測斷面有5個監(jiān)測點來監(jiān)測地表沉降，距離隧道軸線的距離分別為0、2.5、7.5、12.5 m。

考慮到監(jiān)測數據的完整性以及地質條件的影響，本文選取了20個斷面進行研究。通過對實測數據進行擬合分析，實測數據反分析結果如表2所示，典型斷面(W1680和W1345斷面)的擬合結果如圖4和5所示。

圖4 W1680斷面的地表沉降擬合

圖5 W1345斷面的地表沉降擬合

由圖4和5可以看出，通過隨機介質理論計算出的地表沉降值與典型斷面的實測沉降值擬合效果較為理想。

表2 實測數據反分析結果

5 計算參數與埋深之間的關系

將表2的結果進行整理，可以得到隧道斷面收斂面積ΔA與隧道埋深的關系，如圖6所示。

圖6 ΔA與隧道埋深的關系

從圖6中可以看出,當隧道埋深在20 m以上時，即相對埋深小于1.5時，隧道斷面收斂面積ΔA較大，產生的地表沉降也會相應地增加。隨著隧道埋深的增加，ΔA也在減小，絕大多數處于0.2～0.4 m2之間，即埋深或相對埋深越大，產生的地層損失越小，隧道開挖導致的地表沉降也較小。

將主要影響角的正切值tanβ與隧道埋深的關系進行整理，結果如圖7所示。

圖7 tanβ與隧道埋深的關系

由圖7可以看出，在隧道埋深小于30 m時，即相對埋深小于2時，tanβ數值較小，隨著隧道埋深的增加，tanβ的整體趨勢是增加的，tanβ與埋深大致滿足tanβ=0.035z-0.098的關系。

6 結 論

(1) 本文基于隨機介質理論簡化公式，針對虹梅南路隧道開挖引起的地表沉降，經過反分析計算得到了隨機介質理論簡化公式中的兩個關鍵計算參數ΔA和tanβ，并對這兩個關鍵參數與隧道埋深或相對埋深之間的關系進行了研究。

(2) 通過對虹梅南路隧道進行分析，結果表明：本文的計算值與實測值擬合良好。對于淺埋隧道，ΔA的取值較大且較離散；隨著隧道埋深的增加，當隧道埋深大于20 m時，ΔA的取值較穩(wěn)定，且大部分處于0.2～0.4 m2之間。tanβ隨著埋深或相對埋深的增加，整體呈現(xiàn)出增加的趨勢，且tanβ與埋深大致滿足tanβ=0.035z-0.098的關系。