一種帶變異算子的粒子群優(yōu)化粒子濾波降噪算法

方 璐，范東亮，張光宇，陳漢新

武漢工程大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，湖北 武漢 430205

去噪是信號(hào)處理的重要內(nèi)容，去噪的好壞對(duì)后續(xù)診斷結(jié)果的分析有著重要影響，研究非線性信號(hào)的去噪方法是近年來(lái)關(guān)注的重點(diǎn)［1］。黃名鈿等［2］使用基于粒子群優(yōu)化（particle swarm optimization，PSO）算法的參數(shù)小波閾值處理方法實(shí)現(xiàn)了對(duì)非線性信號(hào)的降噪處理。Ananth 等［3］使用基于粒子群優(yōu)化的模糊濾波器，以除去信號(hào)中的高密度圖像脈沖噪聲。這些算法都能實(shí)現(xiàn)對(duì)非線性信號(hào)的去噪，然而使用PSO 算法結(jié)構(gòu)，有易陷入局部最優(yōu)解的缺陷，特別是處理多局部極值的信號(hào)，收斂速度和精度不高。為改善粒子群算法的缺陷，張榮光等［4］將粗糙集理論引入粒子群算法中，構(gòu)建了離散粒子群優(yōu)化方法，加強(qiáng)了搜索能力。Kar 等［5］提出了一種基于引力搜索算法（gravitational search algorithm，GSA）的粒子群優(yōu)化算法（GSA-PSO），用于2 種常用模擬電路的優(yōu)化設(shè)計(jì)，取得了不錯(cuò)的效果。

粒子濾波（particle filter，PF）算法在處理非線性問(wèn)題上具有的獨(dú)特優(yōu)勢(shì)，使得粒子濾波方法成為近年來(lái)國(guó)內(nèi)外關(guān)注的重點(diǎn)［6］。已被廣泛應(yīng)用于故障診斷、導(dǎo)航定位、無(wú)線通訊、機(jī)器人定位、視覺(jué)跟蹤等諸多領(lǐng)域［7］。然而常規(guī)粒子濾波采樣過(guò)程中采用的采樣策略和選擇的次優(yōu)重要性函數(shù)，使得其存在粒子貧乏和計(jì)算效率低等問(wèn)題。用智能優(yōu)化算法來(lái)優(yōu)化PF 算法的采樣結(jié)構(gòu)，是現(xiàn)階段PF研究的熱點(diǎn)，其中基于PSO 算法的PF 算法是智能優(yōu)化粒子濾波算法的代表之一。王爾申等［8］提出了一種基于邊緣粒子濾波和粒子群優(yōu)化的聯(lián)合參數(shù)和狀態(tài)估計(jì)的雙估計(jì)方法，提高了PF 算法的性能。然而沒(méi)有解決PSO 算法易陷入局部最優(yōu)的問(wèn)題，使得運(yùn)算結(jié)果不穩(wěn)定，去噪效果較差。為了改善PSO-PF 算法的性能，王爾申等［9］將混沌序列引入PSO-PF 算法中，還有學(xué)者將遺傳重采樣方法和PSO-PF 算法相結(jié)合［10-11］，這些措施都提高了PSO-PF 算法的濾波性能，然而隨著算法的結(jié)構(gòu)變得復(fù)雜，計(jì)算量也會(huì)加大，并不適合實(shí)時(shí)的去噪處理。

本文提出一種適用于濾波降噪的新型粒子群優(yōu)化粒子濾波（novel particle swarm optimization particle filter，NPSO-PF）算法。該算法在采樣過(guò)程中通過(guò)遺傳變異控制函數(shù)，使粒子優(yōu)化過(guò)程分為前后期，加快了粒子集的收斂，提高了運(yùn)算速度。同時(shí)通過(guò)變異操作，控制粒子的多樣性，避免了粒子貧乏，利用率不高的問(wèn)題。將算法用于非線性信號(hào)的降噪具有穩(wěn)定，快速，有效的優(yōu)點(diǎn)。本文首先介紹PF、PSO 和PSO-PF 算法原理并分析其缺陷，然后構(gòu)造出NPSO-PF 算法。為驗(yàn)證變異算子的性能，先進(jìn)行迭代仿真實(shí)驗(yàn)，為驗(yàn)證NPSO-PF 算法的濾波性能，進(jìn)行了狀態(tài)估計(jì)實(shí)驗(yàn)，為驗(yàn)證NPSO-PF 算法的濾波降噪，進(jìn)行了去噪仿真實(shí)驗(yàn)。

1 常規(guī)粒子濾波算法及其不足

1.1 粒子濾波原理

PF 算法的本質(zhì)是基于蒙特卡洛法的最優(yōu)貝葉斯估計(jì)。主要根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)向量的經(jīng)驗(yàn)條件分布產(chǎn)生的粒子樣本來(lái)模擬給定系統(tǒng)的當(dāng)前狀態(tài)，然后根據(jù)各個(gè)時(shí)刻的測(cè)量值不斷修正和調(diào)整粒子的權(quán)值及位置，最后通過(guò)調(diào)整后的粒子信息修正最初的經(jīng)驗(yàn)條件分布以獲得最精確的估計(jì)值［12］。

選取非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)狀態(tài)方程和觀測(cè)方程模型如下：

其中xk為k時(shí)刻的系統(tǒng)狀態(tài)，yk為觀測(cè)輸出，別為非線性函數(shù)。

PF 的具體實(shí)現(xiàn)步驟如下：

步驟1：初始化。在k=0 時(shí)刻，根據(jù)P(x0)分布采樣得到{即。

歸一化重要性權(quán)值

步驟3：重采樣。根據(jù)重要性權(quán)值ω~i

k從集合中重新采樣得到k 時(shí)刻的新粒子集合，根據(jù)得到新的粒子權(quán)值。

步驟4：輸出。狀態(tài)估計(jì)為：

1.2 常規(guī)粒子濾波的不足

常規(guī)PF 算法的核心算法的主要缺陷是會(huì)出現(xiàn)樣本貧化的問(wèn)題。位于先驗(yàn)概率分布尾部的觀測(cè)概率或似然函數(shù)，使權(quán)值更新后的粒子權(quán)值會(huì)很小。差異很小的粒子表示的后驗(yàn)概率，重采樣后，粒子樣本集的多樣性會(huì)很小甚至只剩單一樣本［13］，從而產(chǎn)生粒子貧乏的問(wèn)題。

當(dāng)系統(tǒng)初始狀態(tài)未知時(shí)，需要采集大量粒子樣本才能實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)是常規(guī)粒子濾波的另一個(gè)缺陷。采集的粒子數(shù)目很小，粒子很難收斂到真實(shí)狀態(tài)附近，實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)確的估計(jì)；增大粒子集的數(shù)目，計(jì)算量增大，計(jì)算效率低下，不適合實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)的問(wèn)題。

2 粒子群優(yōu)化粒子濾波算法及其不足

2.1 粒子群優(yōu)化算法原理

PSO 算 法 是Kennedy 和Eberhart 等 于1995 年最先提出的，它通過(guò)群體中粒子個(gè)體間的協(xié)作和競(jìng)爭(zhēng)來(lái)有效的實(shí)現(xiàn)復(fù)雜空間全局最優(yōu)解的搜索，是一類模擬群體智能行為的優(yōu)化算法［14］。具體可表述為：隨機(jī)初始化一個(gè)N 維空間數(shù)量為m 的粒子 群 。 其 中 第 i 個(gè) 粒 子 位 置 為，其速度它的個(gè)體極值為，種群的全局極值為。確定上述兩個(gè)極值后，就可以根據(jù)下述公式來(lái)不斷更新粒子的速度和位置：式（5）中：r 是介于( 0，1) 區(qū)間的隨機(jī)數(shù)，c1和c2統(tǒng)稱為學(xué)習(xí)因子或加速度因子，一般c1=c2=1.469 2。ω 為慣性系數(shù)。

2.2 PSO-PF 算法

將PSO 算法融合到PF 算法中，將最新的觀測(cè)值引入到粒子樣本的采樣過(guò)程中，并定義粒子群優(yōu)化算法中的適應(yīng)度函數(shù)為：

其中，Rt是觀測(cè)噪聲方差，Ynew是最新的觀測(cè)值，Ypred是預(yù)測(cè)觀測(cè)值。

在采樣過(guò)程中，如果粒子集分布在真實(shí)狀態(tài)附近，根據(jù)式（6）可知，粒子的適應(yīng)度值會(huì)很大。而不在真實(shí)狀態(tài)附近的粒子其適應(yīng)度值就會(huì)很小。此時(shí)利用PSO 尋優(yōu)算法，根據(jù)當(dāng)前最優(yōu)值和公式（5）不斷地更新每個(gè)粒子的速度與位置，使得粒子不斷地向真實(shí)狀態(tài)附近移動(dòng)。從而避免遺漏重要粒子，既保證了粒子的多樣性，又提高了有效粒子的使用率。

2.3 PSO-PF 算法的不足

PSO-PF 算法的實(shí)質(zhì)是在PF 算法的采樣過(guò)程中先利用PSO 算法將粒子集向真實(shí)狀態(tài)附近集中，在重采樣過(guò)程中能有效的采集對(duì)估計(jì)真正起作用的粒子，從而提高PF 的效率和精度。然而傳統(tǒng)的PSO 算法在迭代后期，粒子的速度越來(lái)越小使粒子在局部空間范圍內(nèi)反復(fù)搜索，容易出現(xiàn)局部最優(yōu)現(xiàn)象。而隨著所有粒子都隨公式（5）不斷向局部最優(yōu)值移動(dòng)，使粒子喪失了多樣性，從而降低了PF 的精度和效率。

3 帶變異算子的PSO 優(yōu)化PF 算法

3.1 帶變異算子的PSO 算法

為了改善常規(guī)PSO 優(yōu)化算法易陷入局部最優(yōu)解的問(wèn)題，鑒于遺傳變異算法的變異思想，將遺傳算法的操作算子引入到PSO 算法中［15］。其具體做法是引入一個(gè)變異控制函數(shù)，用來(lái)控制變異的粒子數(shù)目，以保持種群內(nèi)部的多樣性，進(jìn)而避免過(guò)早的在局部最優(yōu)處收斂。

引入的變異控制函數(shù)為：

其中h 表示當(dāng)前迭代次數(shù)，hmax表示最大迭代次數(shù)，α、β 表示控制系數(shù)。

根據(jù)式（7），計(jì)算變異算子的控制率：

其中u 是變異率，m 是預(yù)設(shè)變異率，設(shè)定后不變。

根據(jù)式（8），計(jì)算變異操作的粒子數(shù)目：

根據(jù)式（9），隨機(jī)從粒子群中選取要進(jìn)行變異操作的粒子，用實(shí)數(shù)編碼。假設(shè)第k 個(gè)粒子被選中進(jìn)行變異操作，如其中第j 個(gè)元素進(jìn)行變異，則操作策略為：

其中r ∈( )-a，a 是隨機(jī)數(shù)。

動(dòng)態(tài)慣性系數(shù)的計(jì)算為：

其中，wmax表示最大慣性系數(shù)，wmin表示最小慣性系數(shù)。

變異算子控制PSO 算法的運(yùn)行是通過(guò)粒子的變異率，動(dòng)態(tài)慣性系數(shù)和變異操作來(lái)實(shí)現(xiàn)的。而變異率是由式（7）確定，動(dòng)態(tài)慣性系數(shù)是由式（11）確定，變異操作是由式（8）～式（10）來(lái)完成的，其都與算法的迭代次數(shù)相關(guān)的。在算法迭代的前期，控制函數(shù)和動(dòng)態(tài)慣性系數(shù)取較大的值，進(jìn)行變異操作的粒子數(shù)目和變異尺度都比較大，既保證了種群內(nèi)部粒子的多樣性，又使得PSO 算法大范圍的在解空間內(nèi)進(jìn)行搜索。在算法的后期，控制函數(shù)和動(dòng)態(tài)慣性系數(shù)取較小的值，進(jìn)行變異操作的粒子數(shù)目和變異尺度都很小，甚至不進(jìn)行變異操作，既使種群內(nèi)部的粒子能很快進(jìn)行收斂，又使PSO 算法小范圍的在解空間內(nèi)進(jìn)行搜索。因此，算法的收斂速度和收斂精度都得到了提高。NPSO 算法具體步驟為：

步驟1：初始化群體數(shù)目N，學(xué)習(xí)因子C1和C2，慣性系數(shù)w，初始粒子的位置Xi和速度Vi，最大迭代次數(shù)hmax，預(yù)設(shè)變異率m。

步驟2：按式（7）計(jì)算控制函數(shù)y()h ，按式（11）計(jì)算慣性系數(shù)w。

步驟3：根據(jù)式（8）計(jì)算變異率u，根據(jù)式（9）計(jì)算變異粒子數(shù)M，按式（10）進(jìn)行變異操作。

步驟4：對(duì)于每個(gè)粒子，按式（6）適應(yīng)度值fit[i] ，并與其個(gè)體最優(yōu)值Pi進(jìn)行比較如果fit[i ]＞Pi那么令。

步驟5：求解全局最優(yōu)值Gi，即如果Pi＞Gi那么令Gi=Pi。

步驟6：根據(jù)式（5）更新粒子的速度Vi和位置Xi；

步驟7：當(dāng)達(dá)到最大迭代次數(shù)或者粒子群的最優(yōu)值符合某閥值ε 時(shí)，則輸出結(jié)果，否則返回第二步。

3.2 NPSO-PF 算法

NPSO-PF 算法的原理是利用帶變異算子的PSO 算法快速準(zhǔn)確的收斂性能來(lái)優(yōu)化PF 的采樣過(guò)程。通過(guò)適應(yīng)度值使所有粒子向最優(yōu)粒子移動(dòng)，以改善粒子集的分布情況，使粒子集都集中在真實(shí)狀態(tài)附近，從而提高了濾波的精度和效率，具體的步驟為：

步驟1：初始化。在k=0時(shí)刻，根據(jù)P(x0)分布采樣得到即。步驟2：NPSO-PF 優(yōu)化粒子集分布。結(jié)合利用3.1 節(jié)講述的NPSO-PF 實(shí)施步驟對(duì)粒子群進(jìn)行尋優(yōu)，當(dāng)達(dá)到迭代次數(shù)或者粒子群的最優(yōu)值符合某閥值ε時(shí)，輸出粒子，即可得到新的粒子樣本x^ik。

步驟5：輸出。根據(jù)式（4）得到更新后的狀態(tài)估計(jì)。

4 試驗(yàn)仿真與結(jié)果分析

4.1 標(biāo)準(zhǔn)PSO 和引入變異算子的PSO 仿真對(duì)比

為了驗(yàn)證加入變異算子的粒子群優(yōu)化算法具有不陷入局部最優(yōu)值的性能以及其準(zhǔn)確性和收斂精度，給定非線性函數(shù)為：

取c1=20，n=2，δ=2.71282 時(shí)，該函數(shù)為有很多局部極小值的Ackley 函數(shù)。用此時(shí)的f()

x 為目標(biāo)函數(shù)，可以有效的測(cè)試算法的收斂性能。分別用引入變異算子的PSO 算法和標(biāo)準(zhǔn)PSO 算法對(duì)函數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)。根據(jù)相關(guān)參考文獻(xiàn)和經(jīng)驗(yàn)以及多次試驗(yàn)，其中仿真參數(shù)分別為：粒子個(gè)數(shù)N=30，適應(yīng)度閾值ε=0.001，最大迭代數(shù)hmax=100，變異控制系數(shù)α，β 分別為1.7 和10，慣性權(quán)重ω 最大和最小值分別為0.729 8 和0.1，加速度常數(shù)c1和c2分別為1.469 2。計(jì)算機(jī)的處理器是Inter（R）Core（TM）i7-4970 CPU@3.60 GHz 3.60 GHz。隨機(jī)取某次仿真結(jié)果如圖1 所示。

圖1 兩種算法的迭代曲線Fig.1 Iteration curves of two algorithms

從圖1 可以看出，帶變異算子的PSO 算法在早期和后期的收斂速度快于標(biāo)準(zhǔn)PSO 算法，中期略低于標(biāo)準(zhǔn)PSO 算法。為了比較2 種算法的整體收斂性能，在上述實(shí)驗(yàn)函數(shù)和參數(shù)不變的情況下，分別進(jìn)行了20 次實(shí)驗(yàn)，得到了2 種算法的迭代次數(shù)和收斂函數(shù)值的平均值。MATLAB 運(yùn)算結(jié)果表明，標(biāo)準(zhǔn)PSO 算法的平均收斂迭代次數(shù)為60 次，引入變異算子的PSO 算法為40 次。收斂時(shí)的適應(yīng)度函數(shù)平均值分別為0.010 和0.001。結(jié)果表明，帶變異算子的PSO 算法在函數(shù)優(yōu)化中的應(yīng)用優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)的PSO 算法。

4.2 粒子濾波仿真試驗(yàn)及對(duì)比

為驗(yàn)證3 種算法的濾波和估計(jì)性能，試驗(yàn)選取的動(dòng)態(tài)非線系統(tǒng)的狀態(tài)方程和觀測(cè)方程。

狀態(tài)方程：

觀測(cè)方程：

其中vk-1和nk為零均值高斯噪聲。xk為狀態(tài)變量，yk為觀測(cè)變量。k 為模擬步長(zhǎng)。利用PF算法、PSO-PF 算法、NPSO-PF 算法分別對(duì)該非線性系統(tǒng)進(jìn)行狀態(tài)估計(jì)和跟蹤，為比較3 種算法的性能，粒子數(shù)分別取n=50，500，1 000，取初始狀態(tài)概率密度函數(shù)為N(0，2)，測(cè)量噪聲方差和過(guò)程噪聲方差分別為Rt=1×10-3和Q=1×10-2，模擬步長(zhǎng)為k=50，粒子群優(yōu)化算法相關(guān)參數(shù)同上，估計(jì)值和真實(shí)值之間差值的絕對(duì)值用σ 表示。隨機(jī)選取不同粒子數(shù)目下某次仿真結(jié)果如圖2 所示。其中均方根誤差R 的計(jì)算公式為：

為了比較3 種算法的整體性能，將仿真實(shí)驗(yàn)進(jìn)行30 次，測(cè)得在3 種不同粒子數(shù)目下3 種算法的30 次運(yùn)算的均方根誤差和程序運(yùn)行時(shí)間的平均值，如表1 和表2 所示。

從圖2 可知，NPSO-PF 算法估計(jì)出的粒子狀態(tài)更接近粒子的真實(shí)狀態(tài)，估計(jì)誤差也更小，隨著估計(jì)的粒子數(shù)目的增加效果越來(lái)越明顯。而PSO-PF算法的估計(jì)性能略好于PSO 算法，并隨著粒子數(shù)目的增加效果差異越來(lái)越小。從表1 和表2 的結(jié)果來(lái)看，NSPO-PF 算法的平均估計(jì)誤差和運(yùn)行時(shí)間要低于另外兩者，隨著粒子數(shù)目的增加，效果更明顯。而PSO-PF 算法只是略好于PF 算法，隨著粒子數(shù)目的增加兩者性能基本相同。綜上可知，NPSO-PF 算法比PSO-PF 和PF 算法具有更好的、更穩(wěn)定的估計(jì)性能。

圖2（a）n=100，（c）n=500，（e）n=1 000 狀態(tài)估計(jì)曲線；（b）n=100，（d）n=500，（f）n=1 000 誤差曲線Fig.2（a）n=100，（c）n=500，（e）n=1 000 state estimation curves；（b）n=100，（d）n=500，（f）n=1 000 error curves

表1 三種算法的RTab.1 R of three algorithms

表2 三種算法的運(yùn)行時(shí)間Tab.2 Running times of three algorithms

表3 三種算法的仿真降噪結(jié)果對(duì)比Tab.3 Comparisons of simulated noise reduction results from three algorithms

4.3 降噪實(shí)驗(yàn)仿真

利用上述3 種方法對(duì)下列信號(hào)進(jìn)行降噪仿真實(shí)驗(yàn)，選取的原始信號(hào)方程如下：

加入大小和原始信號(hào)一樣的隨機(jī)噪音信號(hào)后得：

用原始信號(hào)方程（16），加噪信號(hào)方程（17）分別代替4.2 節(jié)中狀態(tài)方程（13）和觀測(cè)方程（14），從而構(gòu)成3 種算法中的空間模型，其中Y(t)為原始信號(hào)峰值變量，Z(t)為加噪信號(hào)峰值變量，t 為模擬時(shí)間步長(zhǎng)。其中取初始概率密度函數(shù)為N(0，2)，狀態(tài)初始值為1，測(cè)量噪聲方差Rt=1×10-4，過(guò)程噪聲方差Q=1×10-5，模擬時(shí)間步長(zhǎng)為t=204 8，PSO 算法相關(guān)參數(shù)同上，分別對(duì)4.2 節(jié)中3 種粒子數(shù)目進(jìn)行實(shí)驗(yàn)仿真，現(xiàn)將粒子數(shù)n=100 時(shí)分別用PF 算法，PSO-PF 算法和NPSO-PF 降噪后的結(jié)果展示如圖3 所示。

圖3 降噪仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果：（a）原始信號(hào)，（b）原始信號(hào)加噪，（c）PF 算法降噪，（d）PSO-PF 算法降噪，（e）NPSO-PF 算法降噪Fig.3 Simulation experiment results of noise reduction：（a）original signal，（b）original signal plus noise，（c）noise reduction by PF algorithm，（d）noise reduction by PSO-PF algorithm，（e）noise reduction by NPSO-PF algorithm

從圖3 可以看出，3 種算法都具有相當(dāng)不錯(cuò)的降噪效果，用NPSO-PF 算法降噪后的信號(hào)峰值更清晰。信噪比是指原始信號(hào)與純?cè)胍粜盘?hào)的比值，信噪比數(shù)值越大表示噪音越小，因此信噪比是衡量降噪效果好壞的重要指標(biāo)。為了更好比較3種算法的降噪性能，對(duì)上述實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行信噪比S分析。取50 次降噪實(shí)驗(yàn)3 種算法在3 種粒子數(shù)目下的信噪比均值進(jìn)行分析，其結(jié)果如表3 所示，信噪比計(jì)算公式為：

從表3 可以看出經(jīng)NPSO-PF 算法濾波后的信噪比在3 種粒子數(shù)目的試驗(yàn)下都要比其他2 種算法高，而經(jīng)PSO-PF 和PF 算法濾波后的信噪比基本一樣。說(shuō)明NPSO-PF 算法的降噪性能要優(yōu)于其他2 種算法，而PSO-PF 和PF 算法的降噪性能基本一樣。NPSO-PF 算法的信噪比提高值普遍大于其他兩種算法，并且隨著粒子數(shù)目的增加有持續(xù)上升的趨勢(shì)，而PSO-PF 和PSO 算法基本達(dá)到飽和。綜上所述，NPSO-PF 算法具有更好更穩(wěn)定的濾波降噪性能。

5 結(jié) 語(yǔ)

本文將變異算子帶入PSO 算法中，構(gòu)成新型NPSO 算法，改善了PSO 算法的結(jié)構(gòu)，優(yōu)化了傳統(tǒng)PSO 算法易于陷入局部最優(yōu)解的問(wèn)題，提高了PSO算法的性能。將其與粒子濾波算法相結(jié)合構(gòu)成NPSO-PF 算法，該算法不僅具有更好的估計(jì)性能，而且在濾波降噪方面也有更好的效果。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明NPSO-PF算法適用于信號(hào)的濾波降噪處理。