對一道圓錐曲線題的解法探究與類析

☉西北大學(xué)附屬中學(xué) 郭 濤

歷年高考中均有一些較為優(yōu)秀的考題，這些考題的特點(diǎn)和解法具有一定的代表性，若深刻挖掘考題則可以發(fā)現(xiàn)其命題的來源，從中也可提煉出一些數(shù)學(xué)結(jié)論.本文將以2018年的一道圓錐曲線題為例，開展解法探究與類題溯源，以期與讀者交流.

一、考題再現(xiàn)，解法探究

考題1：（2018年新課標(biāo)理科卷Ⅰ第19題）設(shè)橢圓C：=1的右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線l與橢圓C相交于點(diǎn)A和B，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，0）.

（1）當(dāng)l與x軸相垂直時(shí)，求直線AM的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)O為坐標(biāo)的原點(diǎn)，證明：∠OMA=∠OMB.

評析：本題目屬于高考圓錐曲線壓軸題，給出了橢圓C的方程以及直線AM所經(jīng)過的點(diǎn).第（1）問求直線AM的方程，屬于常規(guī)問題.第（2）問在坐標(biāo)系中構(gòu)建了幾何角，求證等角關(guān)系，考慮到本題目是以圓錐曲線為背景，因此求解幾何等角問題存在一定的難度.同時(shí)對于該問題可以從不同的視角，采用不同的策略來進(jìn)行分析，下面對其進(jìn)行深入探析.

2.解法探究

（1）已知直線l經(jīng)過點(diǎn)F，且與x軸相垂直，可求點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1，0），則直線l的解析式為x=1.又知直線l與橢圓C相交于點(diǎn)A和B，將直線l的解析式代入橢圓方程中，可解得y=±，則點(diǎn)A的坐標(biāo)可能有兩個(gè)，即和）.已知點(diǎn)A和點(diǎn)M的坐標(biāo)，采用兩點(diǎn)式即可確定直線AM的方程，即x-y-2=0或x+y-2=0.

圖1

（2）該問以橢圓和直線為背景構(gòu)建了兩個(gè)幾何角，求證兩角相等，由于線段OM與坐標(biāo)的x軸相重合，則可以將等角證明問題轉(zhuǎn)化為分析直線的斜率問題，即分析直線AM和BM的斜率.根據(jù)題干繪制圖像，如圖1所示，顯然若∠OMA=∠OMB，則直線AM和BM的斜率互為相反數(shù)，即kAM+kBM=0.常規(guī)的思路是聯(lián)立直線和橢圓的方程，采用設(shè)而不求的代換思路來證明.另外考慮到直線l的斜率未知，因此需要分斜率存在和不存在兩種情形來加以討論.

1.考題再現(xiàn)

①當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，其斜率不存在，此時(shí)直線OM為線段AB的垂直平分線，顯然有∠OMA=∠OMB.

②當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，其斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=k（x-1），點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），直線AM和BM的斜率分別為kAM和kBM.聯(lián)立直線與橢圓的方程，整理可得（2k2+1）x2-4k2x+2k2-2=0，由根與系數(shù)的關(guān)系可得）=0，所以=0，則∠OMA=∠OMB.

二、解法拓展，多解探析

考題的第（2）問是以橢圓和直線為背景，來求解幾何角相等，屬于圓錐曲線中較為特殊的考題.上述在求解時(shí)采用了常規(guī)的求法：利用幾何角與直線斜率的關(guān)系，將證明等角問題轉(zhuǎn)化為分析直線的斜率問題，然后聯(lián)立直線與橢圓的方程，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，采用設(shè)而不求的思路來完成證明.其中的幾何角的代數(shù)轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵一步，對于該問還存在以下幾種方法，下面分別進(jìn)行探析.

1.法一：角度向正切的轉(zhuǎn)化

第（2）問證明幾何角相等，可以在圖像中構(gòu)建直角三角形，利用幾何角與正切的關(guān)系來完成證明，具體思路如下：

①直線l與x軸垂直時(shí)，其斜率不存在，證明同上，略；

②直線l與x軸不垂直時(shí)，其斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=k（x-1），點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），其中y1·y2≤0.過點(diǎn)A作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)D，再過點(diǎn)B作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)E，如圖2所示，則求證∠OMA=∠OMB，只需要證明tan∠OMA=tan∠OMB即可.若tan∠OMA=tan∠OMB，則有入有，即證明0，后續(xù)解法同上.

2.法二：角度向共線的轉(zhuǎn)化

求證∠OMA=∠OMB，已知點(diǎn)A和B為直線l與橢圓的交點(diǎn)，若過點(diǎn)A作關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A′，則等角成立時(shí)有B、A′和M三點(diǎn)共線.圓錐曲線中的三點(diǎn)共線可以通過分析兩點(diǎn)所在的直線的斜率來完成，具體如下：

①直線l與x軸垂直時(shí)，其斜率不存在，證明同上，略；

②直線l與x軸不垂直時(shí)，其斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=k（x-1），點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），其中y1·y2≤0，過點(diǎn)A作x軸的對稱點(diǎn)A′，如圖3所示，則其坐標(biāo)為（x1，-y1）.若∠OMA=∠OMB，則B、A′和M三點(diǎn)共線.只需要分析直線MA′和直線MB的斜率即可.其中MA′的斜率可表示為，MB的斜率可表示為，則只需要證明=0即可，后續(xù)解法同上.

圖2

圖3

三、類題追溯，結(jié)論提煉

1.類題追溯

本試題是2018年新課標(biāo)卷Ⅰ的圓錐曲線壓軸題，問題涉及直線方程的求解以及幾何等角的構(gòu)建與證明，屬于圓錐曲線中的經(jīng)典問題.實(shí)際上該考題是對歷年考題的變式改編，形異而質(zhì)同，本題目與2015年的全國卷Ⅰ的第20題相似，下面對其解法加以探析.

考題2：（2015年全國卷Ⅰ第20題）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C：y=與直線：y=kx+a（a＞0）相交于M，N兩點(diǎn).

（1）當(dāng)k=0時(shí)，分別求曲線C在點(diǎn)M和N處的切線方程；

（2）分析y軸上是否存在一點(diǎn)P，使得當(dāng)k變動時(shí)，總有∠OPM=∠OPN？并說明理由.

解析：（1）該問求k=0時(shí)，曲線C在點(diǎn)M和N處的切線方程，解題的關(guān)鍵是求解曲線C的切線方程，后續(xù)只需要將點(diǎn)M和N的坐標(biāo)代入即可，分析可得點(diǎn)M處的切線方程為x-y-a=0，點(diǎn)N處的切線方程為+y+a=0.

（2）該問看似屬于圓錐曲線中的動點(diǎn)問題，但實(shí)際上可以視為證明當(dāng)∠OPM=∠OPN時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).參照上述的常規(guī)思路，可將等角問題轉(zhuǎn)化為證明直線的傾斜角問題，具體如下：

設(shè)點(diǎn)P（0，b）為符合條件的點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)M和N的坐標(biāo)分別為（x1，y1）、（x2，y2），直線PM和PN的斜率分別為k1和k2，聯(lián)立直線y=kx+a和曲線C的方程，整理可得x2-4kx-4a=0，由根與系數(shù)的關(guān)系可得x1+x2=4k，x1·x2=-4a，則k1+k2=.當(dāng)a=-b時(shí)，有k+k=0，此時(shí)直線12PM與直線PN的傾斜角互補(bǔ)，則有∠OPM=∠OPN，因此P（0，-a）為符合題意的點(diǎn).

圖4

上述第（2）問求等角時(shí)y軸上動點(diǎn)P的坐標(biāo)，同樣屬于圓錐曲線中的幾何角問題，與考題1相比，不同之處在于圓錐曲線的類型，考題1是以橢圓為背景，而該題目是以拋物線為背景，但解題的思路是一致的，同樣可以采用不同的方法加以分析.其中常規(guī)的解法是轉(zhuǎn)化為直線的斜率問題，聯(lián)立方程進(jìn)行求解.視角的拓展則是考題1的切線轉(zhuǎn)化和共線轉(zhuǎn)化.

2.結(jié)論提煉

另外，對于上述兩道考題可以提煉出關(guān)于幾何等角的結(jié)論，具體如下：

結(jié)論一——拋物線為背景

在直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C的解析式為x2=2py（p＞0），直線l的方程為y=kx+b，拋物線C與直線l相交于點(diǎn)M和N，則在y軸上存在一點(diǎn)P，當(dāng)k變動時(shí)總有∠OPM=∠OPN.

結(jié)論二——橢圓為背景

上述兩個(gè)結(jié)論是對問題本質(zhì)的深刻挖掘，具有一般性，可以依據(jù)該結(jié)論來全面地認(rèn)識問題，同時(shí)對其加以適當(dāng)?shù)淖冃尾⑼茝V到其他類型的題目中，這對于函數(shù)與幾何知識的融合也有一定的幫助.W