另辟蹊徑，換角度思考優(yōu)化解題策略

☉江蘇省海門(mén)市第一中學(xué) 俞昉昉

數(shù)學(xué)是一門(mén)很靈活的學(xué)科，數(shù)學(xué)的知識(shí)點(diǎn)之間自成體系又互相關(guān)聯(lián)，這給我們解決數(shù)學(xué)問(wèn)題帶來(lái)了更多選擇，我們不僅可以利用最相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)和最常用的方法來(lái)解決問(wèn)題，有時(shí)也可以另辟蹊徑，結(jié)合問(wèn)題特色，轉(zhuǎn)變思考角度，同樣也能解決問(wèn)題，甚至可以?xún)?yōu)化解題策略.北京市特級(jí)教師孫維剛也經(jīng)常在教學(xué)過(guò)程中向?qū)W生強(qiáng)調(diào)換角度思考的學(xué)習(xí)方法，換角度思考的方法經(jīng)常能夠幫助我們化繁為簡(jiǎn)，將未知的、陌生的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為已知的、熟悉的問(wèn)題.事實(shí)上，具有換角度思考的意識(shí)和能力不僅能幫助學(xué)生更好且更快地解決問(wèn)題，還能讓學(xué)生更加熟悉數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，能夠提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)體系的整體掌握程度，能夠幫助學(xué)生打開(kāi)視野.為了樹(shù)立學(xué)生換角度思考的意識(shí)，鍛煉其問(wèn)題轉(zhuǎn)化能力，教師要有意識(shí)地強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識(shí)的體系性，打破學(xué)生思維的局限性，除此之外，教師還應(yīng)該多總結(jié)能夠體現(xiàn)換角度思考方法的問(wèn)題，以教師講解和學(xué)生練習(xí)的形式讓學(xué)生清楚什么是換角度思考以及怎樣更好地選取思考角度.本文中筆者將分類(lèi)選取一些教學(xué)片段和經(jīng)典例題來(lái)和各位讀者分享自己的教學(xué)經(jīng)驗(yàn).

一、巧用參數(shù)分離，解決不等式求參數(shù)問(wèn)題

不等式求參數(shù)問(wèn)題的一般形式是給出不等式關(guān)系，求其中參數(shù)的范圍，常見(jiàn)的思路是利用解不等式或者方程的思想來(lái)限定參數(shù)的范圍，經(jīng)常需要運(yùn)用分類(lèi)討論的思想.在有些情況下，可以利用參數(shù)分離的方法來(lái)解決.

下題是2011年某省名校聯(lián)考的試題：已知函數(shù)f（x）=xlnx，（1）試求函數(shù)f（x）的最小值；（2）如果對(duì)于?x≥1，都有f（x）≥ax-1，試求參數(shù)a（a∈R）的取值范圍.

問(wèn)題分析：由于（1）比較簡(jiǎn)單，此處不作詳細(xì)分析，對(duì)于（2），如果想利用不等式和函數(shù)的思想來(lái)解決，則需要先移項(xiàng)，構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-ax+1，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)于?x≥1，都有g(shù)（x）≥0，求此時(shí)參數(shù)a的取值范圍，再利用導(dǎo)數(shù)求取g（x）的最小值，求出此時(shí)滿足不等式條件的參數(shù)的取值范圍，這樣的方法可以解決本題，但此例中還需要對(duì)參數(shù)a的范圍進(jìn)行分類(lèi)討論，較為麻煩.其實(shí)，觀察函數(shù)原型不難發(fā)現(xiàn)，函數(shù)的定義域是{x|x>0}，我們可以嘗試換角度思考，不需要對(duì)a進(jìn)行分類(lèi)討論，而是利用參數(shù)分離的方法直接求出其取值范圍.

問(wèn)題解答：在本題中，不等式（fx）≥ax-1恒成立等價(jià)于a≤lnx恒成立，我們只需要求出右邊表達(dá)式的最小值就可以算出參數(shù)a的取值范圍.構(gòu)造函數(shù)h（x）=lnx+，對(duì)其求導(dǎo)可得，h（′x），導(dǎo)函數(shù)在討論區(qū)間［1，+∞）上恒正，由此可知函數(shù)h（x）在區(qū)間［1，+∞）上單調(diào)遞增，所以可得h（x）min=h（1）=1，為了使不等式恒成立，我們可以得出參數(shù)a的取值范圍是（-∞，1］.

類(lèi)似的例子還有很多，都顯示出了參數(shù)分離的強(qiáng)大，再比如2009年浙江高考中有一題：已知函數(shù)f（x）=x3-（k2-k+1）x2+5x-2，g（x）=k2x2+kx+1，其中參數(shù)k∈R，設(shè)函數(shù)p（x）=f（x）+g（x），若p（x）在區(qū)間（0，3）上不單調(diào)，求參數(shù)k的取值范圍.

問(wèn)題分析：根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)，如果函數(shù)p（x）在區(qū)間（0，3）上不單調(diào)，那么其導(dǎo)函數(shù)p′（x）=3x2+2（k-1）x+（k+5）在區(qū)間上有零點(diǎn)，且存在x0，x1∈（0，3），使得p（x0）≥0，p（x1）≤0，等號(hào)不同時(shí)取到，如果想通過(guò)解方程的方式求取參數(shù)的范圍，計(jì)算過(guò)程將會(huì)比較繁瑣，我們也可以采用參數(shù)分離的方法來(lái)求解.

問(wèn)題解答：由導(dǎo)函數(shù)等于零，故可以分離參數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求在區(qū)間（0，3）上的取值范圍，利用換元以及對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)，我們可以求得k∈（-5，-2］，又當(dāng)k=-2時(shí)，不存在x0，x1，使得p（x0）·p（x1）＜0，所以舍棄這一值，最終k的取值范圍是k∈（-5，-2）.

二、用函數(shù)的思想研究集合

集合是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要知識(shí)模塊，高考中建立在集合基礎(chǔ)上的考題也很多，在研究集合類(lèi)題目的時(shí)候，我們可以多從函數(shù)的角度思考，跳出集合思維的限制.下面是筆者想分享的一段教學(xué)實(shí)況.

問(wèn)題情境：若已知兩個(gè)集合A，B，A={x|x2-3x+2＜0}，B={x|x2-ax+2＜0}，且已知A∩B=A，試求參數(shù)a的取值范圍.

問(wèn)題分析：這道題表面上是建立在集合的基礎(chǔ)之上的，實(shí)際上是需要學(xué)生利用集合關(guān)系將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)來(lái)分析問(wèn)題，是一道“披著集合皮的函數(shù)題”，學(xué)生需要能夠跳出集合思維的限制，將集合關(guān)系轉(zhuǎn)化為函數(shù)概念，從解決函數(shù)問(wèn)題的角度思考.

教學(xué)情境：筆者在給出這道題目之后，讓學(xué)生自行思考了一會(huì)兒，接著讓其分享自己的思考過(guò)程.

學(xué)生A：“我先解出了第一個(gè)集合中的不等式，它其實(shí)等價(jià)于A={x|1＜x＜2}，然后根據(jù)集合交運(yùn)算的性質(zhì)，我知道了集合A是集合B的子集，也就是所有集合A中的元素都在集合B中，然后我就有點(diǎn)不知道怎么做了.”

教師：“很好，要解這道題，我們確實(shí)先要從集合的角度來(lái)理解條件，但是接下來(lái)的求解過(guò)程用集合的知識(shí)仿佛難以展開(kāi)，那我們不妨試試轉(zhuǎn)變角度，用別的知識(shí)點(diǎn)來(lái)思考，比如，這個(gè)集合給出的限定條件是不等式，你們能不能試試看在坐標(biāo)軸上表示集合A和集合B中的元素的分布情況呢？”

學(xué)生B：“我知道了！我們可以把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，因?yàn)榻o出的兩個(gè)限定條件都是開(kāi)口向上的拋物線，我們只需要確保函數(shù)f（x）=x2-ax+2的兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2滿足條件x1≤1，x2≥2，求出此時(shí)參數(shù)a的取值范圍就可以了.”

教師：“非常棒！用這樣的方式解決這道題會(huì)十分輕松，這道題的求解過(guò)程可以分成兩個(gè)階段，第一個(gè)階段是在集合視角下來(lái)解讀條件，第二個(gè)階段是用函數(shù)知識(shí)來(lái)求解答案，集合的限定條件常常以函數(shù)或不等式的形式出現(xiàn)，這提示我們要根據(jù)解題目標(biāo)和問(wèn)題特點(diǎn)靈活地轉(zhuǎn)換解題視角，下面就請(qǐng)各位同學(xué)嘗試著解決這道題.”

三、化抽象為形象，用數(shù)形結(jié)合的視角解決函數(shù)問(wèn)題

函數(shù)能幫助我們忽視客觀現(xiàn)象的雜蕪，直接揭示蘊(yùn)于其中的數(shù)學(xué)關(guān)系，大多數(shù)時(shí)候函數(shù)是一個(gè)強(qiáng)大且有力的工具，但是有時(shí)單純從函數(shù)的視角下來(lái)研究問(wèn)題會(huì)顯得較為抽象，解決過(guò)程也會(huì)比較繁瑣，這時(shí)候我們不妨借助函數(shù)圖像，由形至數(shù)，形象直觀地感悟問(wèn)題，則可能會(huì)取得很好的效果.

比如有這樣一道例題：若已知方程y=1與y=x2-|x|+a有四個(gè)公共解，求參數(shù)a的取值范圍.

問(wèn)題分析：一般來(lái)說(shuō)，方程的公共解問(wèn)題可以通過(guò)聯(lián)立方程組來(lái)解決，但是本題中，y=x2-|x|+a不是我們所熟悉的方程類(lèi)型，故難以求解，這時(shí)候我們不妨轉(zhuǎn)變思考角度，用數(shù)形結(jié)合的思維來(lái)分析這個(gè)問(wèn)題，有序數(shù)對(duì)（x，y）可以看成是坐標(biāo)系中的點(diǎn)，方程組的公共解實(shí)際上可以等價(jià)為曲線的交點(diǎn)，此時(shí)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為直線y=1與曲線y=x2-|x|+a有四個(gè)交點(diǎn)，作出兩條曲線的難度遠(yuǎn)小于求出公共解，再通過(guò)分離參數(shù)，即可很快地求得結(jié)果.

問(wèn)題解答：?jiǎn)栴}可以轉(zhuǎn)化為曲線y=x2-|x|與直線y=1-a有四個(gè)交點(diǎn)，如圖1所示作出曲線的圖像.

再比如我們常見(jiàn)的方程零點(diǎn)問(wèn)題，也可以用數(shù)形結(jié)合的思維來(lái)分析，如下題.

如果關(guān)于x的方程x2+（m+2）x+3=0有兩個(gè)均大于1的零點(diǎn)，試求參數(shù)m（m∈R）的取值范圍.

問(wèn)題分析：以函數(shù)的思想來(lái)分析該題，我們需要解出方程的根，但由于方程中含有未知參數(shù)，若利用判別式法解題時(shí)會(huì)出現(xiàn)根號(hào)，求解較為繁瑣，因此我們可以嘗試通過(guò)參數(shù)分離的方法將問(wèn)題簡(jiǎn)化，再利用數(shù)形結(jié)合的思想來(lái)求解該問(wèn)題.

圖2

問(wèn)題解答：首先經(jīng)過(guò)移項(xiàng)，我們可以得到方程-（m+2）=x+，再畫(huà)出y=x+的圖像（如圖2），觀察函數(shù)y=-（m+2）在什么情況下會(huì)與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，求出此時(shí)參數(shù)的取值范圍即可，易知參數(shù)需滿足2（m+2）＜4，即-6＜m＜-2-2

當(dāng)然，換角度思考的例子還有很多，筆者在這里只列舉出了幾個(gè)較為典型的案例.通過(guò)上述例題，我們能夠直觀地感受到換角度思考帶來(lái)的便利.教師在日常教學(xué)中應(yīng)有意識(shí)地讓學(xué)生多接觸這樣的例題，鼓勵(lì)學(xué)生提出新穎的思考視角，幫助學(xué)生保持思維的活躍，讓他們?cè)谟龅郊值膯?wèn)題或者陌生的問(wèn)題時(shí)能夠靈活應(yīng)變，同時(shí)多進(jìn)行這種轉(zhuǎn)變思維的練習(xí)，能讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的魅力，激發(fā)起學(xué)生探索的欲望，拓寬學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，提升他們的知識(shí)遷移應(yīng)用能力，這也對(duì)其將來(lái)的學(xué)習(xí)有著深遠(yuǎn)的積極影響.