以題解題 鏈接與賦能

☉福建省福鼎市教師進(jìn)修學(xué)校 許可雄

解決問(wèn)題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心組成部分.但有些老師為了提高學(xué)生的解題能力，不考慮質(zhì)量和效率地讓學(xué)生進(jìn)行機(jī)械解題，試圖通過(guò)題海戰(zhàn)術(shù)來(lái)訓(xùn)練學(xué)生的能力，不僅耗費(fèi)了大量的時(shí)間和精力，而且效果并不理想.所謂“以題解題”就是指在解題后主動(dòng)進(jìn)行強(qiáng)化題目特征、梳理知識(shí)結(jié)構(gòu)、歸納方法規(guī)律、探究變式引申、嘗試自主編題，實(shí)現(xiàn)知識(shí)與問(wèn)題鏈接、問(wèn)題與問(wèn)題鏈接、問(wèn)題與能力鏈接，實(shí)現(xiàn)舉一反三、多題一解、多題歸一，提高解決問(wèn)題的有效性，實(shí)現(xiàn)能力轉(zhuǎn)移，并提供新的思維創(chuàng)造力.

建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為：學(xué)習(xí)是一個(gè)雙向過(guò)程，通過(guò)新知識(shí)與舊知識(shí)的相互作用，豐富和調(diào)整認(rèn)知結(jié)構(gòu).以題解題旨在一方面運(yùn)用舊知識(shí)解決新問(wèn)題，在探究的過(guò)程中，將舊知識(shí)進(jìn)行一定地調(diào)整或重組，以獲得新的知識(shí)和意義，從而不斷增加和構(gòu)建知識(shí)體系；另一方面，在解決新問(wèn)題時(shí)通過(guò)類(lèi)比結(jié)構(gòu)、鏈接知識(shí)、探究變式、自主編題，將新舊問(wèn)題聯(lián)系在一起，實(shí)現(xiàn)更加快速地解決問(wèn)題.

一、知識(shí)鏈接，尋找發(fā)力點(diǎn)

在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，根據(jù)問(wèn)題中給出的信息來(lái)源，鏈接到自己的儲(chǔ)備知識(shí)，由此展開(kāi)相關(guān)聯(lián)想，將問(wèn)題與知識(shí)有機(jī)地聯(lián)系在一起，使問(wèn)題與知識(shí)彼此之間相互轉(zhuǎn)移和轉(zhuǎn)化，充分激活原有的知識(shí)鏈，從而形成新的思維鏈，并快速尋找解決問(wèn)題的方法.教師應(yīng)教給學(xué)生簡(jiǎn)單、合理、適合其最近發(fā)展區(qū)的解題方法，并在原有的基礎(chǔ)上檢索知識(shí)、激活知識(shí)、提取知識(shí)、重組知識(shí)，尋求解決問(wèn)題的發(fā)力點(diǎn)，使解題與思維發(fā)展同步.解題不斷深入的過(guò)程，其實(shí)就是知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系與生成對(duì)知識(shí)結(jié)構(gòu)不斷地調(diào)整與補(bǔ)充的過(guò)程，也是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)繼續(xù)學(xué)習(xí)的過(guò)程.在解題中如何有效地鏈接知識(shí)，找到最佳的解決問(wèn)題的發(fā)力點(diǎn)是需要我們?nèi)ヌ骄颗c歸納的.

例1（1）已知函數(shù)f（x）=lnx-ax在區(qū)間［1，3］上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.

（2）已知函數(shù)f（x）=ax（a＞1）的定義域與值域都是［m，n］，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.

（3）若不等式x對(duì)于任意實(shí)數(shù)x恒成立，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.

我們可以將這三個(gè)問(wèn)題做如下轉(zhuǎn)化：

（2）由函數(shù)（fx）=a（xa＞1）單調(diào)遞增，可得，即方程ax=x有兩個(gè)不等的根，轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)不等的根；

（1）定義域（0，+∞）；

（3）在（0，e）上單調(diào)遞增；在（e，+∞）上單調(diào)遞減.

這些知識(shí)的歸納與總結(jié)可以幫助學(xué)生解決一些問(wèn)題，在解決問(wèn)題的過(guò)程中，通過(guò)仔細(xì)審題，找到條件和問(wèn)題之間的邏輯聯(lián)系，并不斷地改造和轉(zhuǎn)化問(wèn)題，呈現(xiàn)出問(wèn)題最清晰的形式，進(jìn)而快速鏈接到相應(yīng)的知識(shí)，最終尋找到最佳的解題發(fā)力點(diǎn).而解題之后對(duì)知識(shí)的歸納整理、變式引申、重新組合，豐富了學(xué)生的知識(shí)體系.知識(shí)體系越豐富，知識(shí)鏈接就會(huì)越迅速，解題方法就會(huì)越直接，從而真正做到多題一解，多題歸一.

二、結(jié)構(gòu)類(lèi)比，突破關(guān)鍵點(diǎn)

類(lèi)比是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想方法.類(lèi)比的核心是尋找新舊知識(shí)之間的聯(lián)系點(diǎn)，并將現(xiàn)有的知識(shí)、方法和理論應(yīng)用于解決新問(wèn)題的過(guò)程中.數(shù)學(xué)中許多公式、定理和法則都可以用類(lèi)比的方法進(jìn)行推導(dǎo)，比如相似形與全等形、等差數(shù)列與等比數(shù)列、平面幾何與立體幾何等方面的知識(shí).同樣，為了進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)解決問(wèn)題的理解，教師可以在解決問(wèn)題的過(guò)程中引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問(wèn)題的結(jié)構(gòu)進(jìn)行類(lèi)比，使用已學(xué)的知識(shí)去解決未知的問(wèn)題，使用簡(jiǎn)單直接的經(jīng)驗(yàn)來(lái)解決復(fù)雜的問(wèn)題，從而提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力和邏輯思考的能力.請(qǐng)看下面三個(gè)題目：

圖2

例2在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，則成立，類(lèi)比此性質(zhì)，如圖2，在四面體P-ABC中，PA、PB、PC兩兩垂直，PD⊥平面ABC于點(diǎn)D，則可得到的結(jié)論是______.（答案是）

例3在△ABC中，如果三邊的長(zhǎng)分別是a，b，c，內(nèi)切圓的半徑為r，則△ABC的面積為（a+b+c），類(lèi)比上述命題，在四面體中，若四個(gè)面的面積是S1，S2，S3，S4，內(nèi)切球的半徑為R，則四面體的體積是______（.答案是：V=

例4如圖3，在△ABC中，內(nèi)角平分線AD分線段BC所成的比BD：DC=AB：AC，類(lèi)比此性質(zhì)，如圖4，在三棱錐A-BCD中，若平面DCE平分二面角A-CD-B，且與棱AB相交于點(diǎn)E，則有______.

這三個(gè)題目都是平面幾何類(lèi)比空間幾何，在知識(shí)的結(jié)構(gòu)、邏輯的推理上都是相類(lèi)似的，而且有很多的可比性，故可以用類(lèi)比的方法來(lái)解決問(wèn)題.用同樣的方法我們可以去解決以下這道數(shù)列問(wèn)題：已知在等差數(shù)列{an}中，如果a9=0，那么a1+a2+a3+…+an=a1+a2+a3+…+a17-n（n＜17，n∈N*）成立.類(lèi)比等比數(shù)列{bn}，如果b10=1，可以得到的結(jié)論b1b2b3…bn=b1b2b3…b19-n（n＜19，N∈N*）.

當(dāng)我們面對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)新問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是要尋找解題最直接的思路.通過(guò)與現(xiàn)有的知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，類(lèi)比兩個(gè)問(wèn)題結(jié)構(gòu)的相似點(diǎn)，想辦法聯(lián)想到曾經(jīng)做過(guò)的、熟悉的、類(lèi)似的問(wèn)題上來(lái)思考，將現(xiàn)有的知識(shí)遷移到新問(wèn)題之中，把已有問(wèn)題的解決方法移植過(guò)來(lái)，為所要解決的問(wèn)題指引方向.

三、變式探究，拓展發(fā)散點(diǎn)

將變式探究納入數(shù)學(xué)教學(xué)有助于加深對(duì)知識(shí)的理解，從而提高學(xué)生的思維能力.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，不斷地轉(zhuǎn)換表現(xiàn)形式，從不同角度暴露出知識(shí)與問(wèn)題的本質(zhì)，揭示不同知識(shí)點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)探索，從而發(fā)現(xiàn)學(xué)生的認(rèn)知失衡，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題并解決問(wèn)題，讓學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)掌握問(wèn)題的本質(zhì)特征，找到解決類(lèi)似或相似問(wèn)題的思路和方法.同樣，數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決方案也不能僅僅滿足于問(wèn)題，應(yīng)該善于在解決問(wèn)題后重新思考，將條件進(jìn)行變式或?qū)l件結(jié)構(gòu)固化，以及探究原問(wèn)題的逆問(wèn)題等.通過(guò)這樣的探究，可以極大地提高解題的興趣與效率，進(jìn)一步拓展學(xué)生思維的發(fā)散點(diǎn).

例5若函數(shù)f（x）在R上可導(dǎo)，且滿足f（x）-xf′（x）＞0，則（ ）.

A.3f（1）＜f（3）B.3f（1）＞f（3）

C.3f（1）=f（3）D.f（1）=f（3）

解 ：由于（fx）滿足（fx）-xf ′（x）＞0，則0恒成立，因此在R上是單調(diào)遞減函數(shù).所以，即3（f1）＞（f3）.故選B.

這道題目在導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的教學(xué)中比較常見(jiàn)，而一般老師講過(guò)也就結(jié)束了，并沒(méi)有進(jìn)行過(guò)多的變式探究，當(dāng)學(xué)生碰到以下這道題目：

例6若函數(shù)f（x）在R上可導(dǎo)，滿足f（x）＞f′（x），且f（0）=1，則不等式f（x）＜ex的解集為_(kāi)_____.

對(duì)于這道題目很多學(xué)生感到束手無(wú)策，從題目的條件看很簡(jiǎn)單，但與問(wèn)題聯(lián)系不明確；總感覺(jué)似曾相識(shí)，但找不到相似題型與之相匹配，聯(lián)系不到相應(yīng)的知識(shí)點(diǎn)來(lái)切入.如果老師在講解完例5之后，作如下的歸納：

（1）對(duì)于不等式xf（′x）+（fx）＞0（＜0），構(gòu)造函數(shù)F（x）=x（fx）.

（2）對(duì)于不等式xf（′x）-（fx）＞0（＜0），構(gòu)造函數(shù)F（x）=

（3）對(duì)于不等式f（′x）＞k（＜k）（k≠0），構(gòu)造函數(shù)F（x）=（fx）-kx；

（4）對(duì)于不等式xf（′x）-n（fx）＞0（＜0），構(gòu)造函數(shù)F（x）（x0）（n∈N*）；

（5）對(duì)于不等式f（′x）+（fx）＞0（＜0），構(gòu)造函數(shù)F（x）=e·x（fx）；

（6）對(duì)于不等式f（′x）-（fx）＞0（＜0），構(gòu)造函數(shù)F（x）=

甚至還可以得到更多的結(jié)論：

（7）對(duì)于不等式f′（x）+kf（x）＞0（＜0），構(gòu)造函數(shù)F（x）=ekx·f（x）；

（8）對(duì)于不等式f′（x）-kf（x）＞0（＜0），構(gòu)造函數(shù)F（x）=

而例6的解題借助上述結(jié)論（6）可以快速地解決問(wèn)題.首先將條件中（fx）＞f（′x）移項(xiàng)后得到f（′x）-（fx）＜0，而不等式（fx）＜ex可以轉(zhuǎn)化為1（其中ex＞0），問(wèn)題就能迎刃而解.而這種解題后對(duì)結(jié)論進(jìn)行整理歸納、提煉引申、變式探究，可以得到更多結(jié)論，進(jìn)而去解決更多問(wèn)題，從而大大提高了解題的有效性，也訓(xùn)練了學(xué)生思維的發(fā)散點(diǎn).

四、自主編題，提升創(chuàng)新點(diǎn)

通過(guò)解決問(wèn)題，可以鞏固知識(shí)點(diǎn)，培養(yǎng)思維技能，增強(qiáng)解決問(wèn)題的能力.但解題時(shí)如果只是就題論題，沒(méi)有弄清編題者的出發(fā)點(diǎn)與意圖，沒(méi)有挖掘題目本身的核心內(nèi)涵，而只是為了加強(qiáng)對(duì)知識(shí)的記憶，則無(wú)法實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)的深層學(xué)習(xí)，從而無(wú)法培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力.以單個(gè)題目為基礎(chǔ)，深度分析題目鏈接的知識(shí)點(diǎn)，系統(tǒng)地研究知識(shí)之間的結(jié)合點(diǎn)，通過(guò)建構(gòu)知識(shí)新體系，不斷改變題目的條件，重新整合條件與問(wèn)題，從而編寫(xiě)出更多的新題，賦予思維新能力.自主編題更加關(guān)注解題后對(duì)知識(shí)的引申、思維的重組以及能力的遷移，力求把要研究的題目做細(xì)、做透，盡可能提高學(xué)生的創(chuàng)新思維能力.

例7已知正數(shù)x，y滿足的最小值為_(kāi)_____.

解：-5=1，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào).

很多學(xué)生說(shuō)答案能看懂，但恐怕很難想到.其實(shí)大家對(duì)于不等式：當(dāng)x＞0時(shí)≥2（當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)），當(dāng)y＞0時(shí)≥4（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）并不陌生，而這道題目是由和組合而成的，再將其進(jìn)行拆分，便可得），將取等號(hào)條件x=1賦給前半部分就是條件，而后半部分就是所要求解的問(wèn)題.當(dāng)然也可以把取等號(hào)條件x=1賦給后半部分，就得到與之“對(duì)稱”的另外一道題目：已知正數(shù)x，y滿足，則的最小值為_(kāi)_____.還可以將式子進(jìn)行任意拆分，一部分作為已知，另一部分作為目標(biāo)式，這就是所謂的所給代數(shù)式和所求代數(shù)式的線性組合，且能夠利用基本不等式求最值的問(wèn)題.

笛卡爾曾說(shuō)：每解一題都要成為以后解題的范例.以題解題，鏈接相關(guān)知識(shí)，賦予思維新能力.教師要引導(dǎo)、訓(xùn)練學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)，把原題鏈接到相關(guān)的、相近的或相似的知識(shí)中，再進(jìn)行結(jié)構(gòu)類(lèi)比、變式探究、自主編題，通過(guò)改變或增減某些條件，拓展它們?cè)诓煌瑢用娴膽?yīng)用，還要探索各個(gè)知識(shí)之間更多的聯(lián)系，以建構(gòu)出新的、更為龐大的知識(shí)體系，使學(xué)生對(duì)整個(gè)關(guān)聯(lián)知識(shí)的認(rèn)知更加有條理、更加透徹.