從三角問題解法錯(cuò)誤上進(jìn)行的探究性教學(xué)思考

☉安徽省臨泉第二中學(xué) 劉 帥

幫助學(xué)生修正學(xué)習(xí)中的錯(cuò)誤是教師的教學(xué)日常，因此，幫助學(xué)生有效認(rèn)識(shí)錯(cuò)因并修正錯(cuò)誤也就成了教師教學(xué)中的重大任務(wù).很多教師在實(shí)際教學(xué)中喜歡采取直接告知的方式來糾正學(xué)生的錯(cuò)誤，但這樣的教學(xué)行為卻往往無法收到教師預(yù)期的教學(xué)效果.事實(shí)上，教師準(zhǔn)確把握學(xué)生的錯(cuò)誤及原因并因此啟發(fā)學(xué)生反思錯(cuò)因、探究錯(cuò)誤的修正方法，才能真正使學(xué)生學(xué)有所獲.

以下是筆者在學(xué)生的一些錯(cuò)誤練習(xí)上進(jìn)行的探究性教學(xué)，圍繞學(xué)生的解法與錯(cuò)誤所展開的教學(xué)簡錄.

一、課堂簡錄

1.凸顯矛盾并制造問題

問題1：已知2cosx=1+sinx，求

（筆者在講評(píng)之前打印了學(xué)生的四種解法并發(fā)給了學(xué)生，這四種解法都具有一定的代表性.）

解法1：兩邊平方，得4cos2x=（1+sinx）2.

因?yàn)閏os2x=1-sin2x，所以4（1-sin2x）=（1+sinx）2，

解法2：因?yàn)椋?cosx=+sinx，兩邊同除以cosx得+tanx，解得tanx=

2.揭示矛盾并探究問題

師：大部分同學(xué)在本次練習(xí)中的表現(xiàn)都很好，現(xiàn)在請(qǐng)大家對(duì)以上四種解法進(jìn)行認(rèn)真的研究并闡述一下自己的想法.

（有意識(shí)地請(qǐng)運(yùn)用解法1的學(xué)生代表首先進(jìn)行了闡述）

生1：我運(yùn)用的是解法1，我認(rèn)為自己做得沒錯(cuò)，不過對(duì)于解法3、解法4中出現(xiàn)的“-1”這個(gè)答案，我感到困惑.

師：你在解答過程中舍去了當(dāng)sinx=-1時(shí)的情況，你這樣做的理由是什么呢？

生1（理直氣壯）：因?yàn)楫?dāng)sinx=-1時(shí)，cosx=0，因此可知tanx沒有意義，利用二倍角的正切公式求是行不通的，因此將這一情況舍去.

（大家紛紛點(diǎn)頭并表示贊賞）

師：很好，由以上討論可知，解法2是不正確的，那么大家對(duì)于解法2的錯(cuò)誤之處能進(jìn)行仔細(xì)地分析嗎？

生4：在解法2中，兩邊同除以cosx的過程中漏掉了cosx=0這一情況的討論，因此將-1這個(gè)解遺漏了.實(shí)際上，當(dāng)cosx=0時(shí)，sinx=-1，等式成立，根據(jù)解法1可得=-1；由求時(shí)，解法1中的錯(cuò)誤就再次發(fā)生了.

師：你的分析很到位，太棒了！大家再對(duì)解法3和解法4進(jìn)行一下研究吧，看結(jié)果是對(duì)的，那解題過程是否有問題？

生5：兩種解法都對(duì)且在運(yùn)算上顯得很簡潔.

師：大家的分析都很棒，大家比較一下這些解法并談?wù)勈斋@吧.

生6：解法3和解法4目標(biāo)明確且運(yùn)算簡單，漏解和多解的現(xiàn)象也不易發(fā)生.

生7：方程的思想在以上四種解法中都得到了很好的運(yùn)用.

（學(xué)生在分析、比較并收獲解題心得后表現(xiàn)得更加積極.）

3.積極實(shí)踐并深化認(rèn)識(shí)

師：在三角函數(shù)的范疇中，角的范圍對(duì)三角函數(shù)的取值往往能起到?jīng)Q定性的影響，三角函數(shù)的值對(duì)于角的范圍也同樣會(huì)起到?jīng)Q定性的作用.大家在解決涉及角的范圍、三角函數(shù)取值之類的問題時(shí)一定要把握好兩者之間的關(guān)系，把握好這一制約關(guān)系能使大家對(duì)題目形成更深層次的挖掘，很多錯(cuò)解也就能夠得到很好的避免.

二、教學(xué)感悟

單純的正面示范與反復(fù)練習(xí)在糾錯(cuò)中無法取得更好的效果，學(xué)生的“自我否定”往往能使其在產(chǎn)生內(nèi)在的“觀念沖突”時(shí)形成更好的思維，很多批判性的思維也會(huì)因此形成.

很多老師在平時(shí)教學(xué)中都會(huì)感覺較難搜集探究性學(xué)習(xí)的資料，事實(shí)上，很多的資料上提供的探究性學(xué)習(xí)材料與實(shí)際教學(xué)是無法有機(jī)銜接的，很多老師和學(xué)生面對(duì)這些材料時(shí)往往感覺無從下手，費(fèi)時(shí)費(fèi)力的同時(shí)也無法達(dá)到預(yù)期的教學(xué)效果.筆者認(rèn)為，很多探究性學(xué)習(xí)的材料就在我們時(shí)時(shí)處處的留心之處，只要教師能夠處處留心，就會(huì)發(fā)現(xiàn)很多能夠促進(jìn)學(xué)生理解力提升、問題意識(shí)形成、想象力和創(chuàng)造力發(fā)展的探究性學(xué)習(xí)材料.當(dāng)然，教師在發(fā)現(xiàn)這些材料之余，還應(yīng)注意材料內(nèi)容、難度與學(xué)生已有知識(shí)的契合程度，恰當(dāng)?shù)匕盐詹牧系闹R(shí)范疇與難度，才能令學(xué)生真正得到發(fā)展.事實(shí)上，學(xué)生的作業(yè)錯(cuò)誤、測試錯(cuò)誤、課堂生成問題等等都是教師可以好好利用的探究性材料.學(xué)生面對(duì)這些探究性學(xué)習(xí)材料時(shí)往往能結(jié)合自身的經(jīng)驗(yàn)、認(rèn)知能力進(jìn)行新的審視與分析.本文所進(jìn)行的解題探究就是在學(xué)生的解題錯(cuò)誤上所形成的，具有初步解題思考的學(xué)生在面對(duì)解題錯(cuò)誤時(shí)所產(chǎn)生的思考令人欣慰.學(xué)生在這樣的探究過程中也更加具有自主參與和探究的熱情，靜態(tài)的知識(shí)也會(huì)因此頓時(shí)變得活躍，學(xué)生的自主發(fā)現(xiàn)與知識(shí)構(gòu)建也因此變得積極而有意義，課堂活動(dòng)充滿張力與激情.

總之，學(xué)生在自主參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的過程中往往會(huì)經(jīng)歷更多的思考與體驗(yàn)，正確體驗(yàn)與錯(cuò)誤體驗(yàn)不斷交替出現(xiàn)的過程也將學(xué)生的問題一一暴露出來，學(xué)生的錯(cuò)誤觀念得到徹底糾正的同時(shí)也會(huì)因此形成正確的認(rèn)知.因此，教師在平時(shí)教學(xué)中應(yīng)善待學(xué)生的解題錯(cuò)誤，在學(xué)生的解題錯(cuò)誤上設(shè)計(jì)探究性活動(dòng)并令學(xué)生全身心地投入到數(shù)學(xué)活動(dòng)的思考、分析、反思與總結(jié)過程中.W