巧放縮，妙證明
——一道數(shù)列不等式試題的證明

☉安徽省太和縣第一中學(xué) 洪 振

證明數(shù)列型的不等式問題，由于其交匯性大，構(gòu)造性強(qiáng)，思維跨度大，需要有較高的放縮技巧，因而充滿思考性和挑戰(zhàn)性，能比較全面且綜合地考查學(xué)生的潛能與能力，故一直成為高考壓軸題及各級各類競賽試題命題的重要素材與考查場所.破解此類數(shù)列型的不等式問題的求解策略往往是通過多角度觀察所給數(shù)列通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)，深入剖析其特征，抓住其式子規(guī)律進(jìn)行恰當(dāng)放縮，從而得以巧妙證明.

一、問題呈現(xiàn)

【問題】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足an+1=2Sn+6，且a1=6.

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

本題通過數(shù)列通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn的關(guān)系式給出，可以利用變換，較快捷地確定數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.而通過數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式的轉(zhuǎn)化來確定數(shù)列}的特征，進(jìn)n而確定前n項(xiàng)和Tn的關(guān)系式，轉(zhuǎn)化所要證明的不等式.如何正確通過轉(zhuǎn)化并利用放縮法來證明不等式＜3是本題的重點(diǎn)與難點(diǎn)，可以通過常見不等式性質(zhì)加以放縮，也可以借助裂項(xiàng)相消法加以放縮，還可以通過數(shù)列的構(gòu)造或函數(shù)的構(gòu)造得到相應(yīng)的不等式后再加以放縮，均能有效達(dá)到正確放縮的目的.

二、多解證明

解：（1）由已知得，當(dāng)n≥2時(shí)，an+1-an=（2Sn+6）-（2Sn-1+6）=2（Sn-Sn-1）=2an，

可得an+1=3an，

又a2=2S1+6=2a1+6=18=3a1，

所以數(shù)列{an}是以a1=6為首項(xiàng)，公比為q=3的等比數(shù)列.

證法1：利用“Tn”的單調(diào)性放縮.

證法2：利用“糖水不等式”從第二項(xiàng)開始放縮.

證法3：利用“（n≥2）”從第二項(xiàng)開始放縮.

證法4：利用“（n≥2）”從第四項(xiàng)開始放縮.

解法5：利用“（n≥2）”從第四項(xiàng)開始放縮

解法6：利用裂項(xiàng)相消法放縮

點(diǎn)評：借助關(guān)系式的轉(zhuǎn)化與變形，結(jié)合放縮并利用裂項(xiàng)相消法加以轉(zhuǎn)化，進(jìn)而得以巧妙證明.

放縮法是證明數(shù)列型的不等式問題的一種特殊方法，利用放縮法證明數(shù)列型的不等式問題時(shí)，需要有明確的目標(biāo)，才能放縮適當(dāng)，其理論依據(jù)是不等式的傳遞性.利用放縮法處理問題時(shí)，往往是利用已知的基本不等式（如均值不等式）或某些函數(shù)、代數(shù)式的有界性、單調(diào)性等適當(dāng)放縮以達(dá)到證明不等式的目的，其具體做法要依據(jù)數(shù)列型的不等式問題的結(jié)構(gòu)來具體確定.W